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@@ -1,233 +0,0 @@
-\documentclass{lecture}
-
-\begin{document}
-\section{Grundlagen}
-
-\subsection{Abbildungen}
-
-Die Gesamtheit aller Abbildungen einer Menge $M$ in eine Menge $N$ ist wieder eine Menge und wird mit $Abb(M, N)$ bezeichnet.
-
-\begin{definition}[]
-    Seien $M$, $N$, $K$ Mengen
-    und $f: M \to N$, $g: N \to K$. Die Abb $g \circ f: M \to K, m \mapsto g(f(m))$
-    heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man auch als
-    Mengenabbildung auffassen:
-    \[
-        \circ: Abb(M, N) \times Abb(N, K) \to Abb(M, K)
-    \] 
-    \[
-        (f, g) \mapsto g \circ f
-    .\] 
-\end{definition}
-
-\begin{lemma}[]
-    Seien $I$ und $M$ Mengen und es sei: $(M_{i})_{i \in  I}$ die
-    Familie von (immergleichen) Mengen $M_{i} = M$ indiziert
-    über $i \in I$. Dann existiert eine natürliche Bijektion
-    \[
-        \Phi: Abb(I, M) \to^{\thicksim} \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I} (= M^I)
-    .\] 
-\end{lemma}
-\begin{proof}
-    rechts: Tupel $(m_{i})_{i \in I}, m_{i} \in M_{i} = M$
-    links: Abbildung $f: I \to M$.
-    Eine solche Abbildung ist dadurch gegeben, dass man jedem $i \in  I$
-    ein $m_{i} = f(i) \in M$ zuordnet. Wir definieren $\Phi$ durch die
-    Zuordnung:
-    \[
-    \Phi: f \in Abb(I, M) \mapsto (f(i))_{i \in I} \in \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I}
-    .\] 
-    Da die Abb. $f$ durch ihre Werte $f(i) \in M, i \in I$, gegeben ist,
-    ist $\Phi$ injektiv.
-
-    Ist umgekehrt $(m_{i}) \in \prod M_{i}$ gegeben, so ist die Abbildung
-    $f: I \to M, i \mapsto m_{i} \in M$ ein Urbild unter $\Phi$. Daher
-    ist $\Phi$ surjektiv.
-\end{proof}
-
-\section{Gruppen, Ringe, Körper}
-
-\subsection{Gruppen}
-
-\begin{definition}[Verknüpfung]
-    Eine (binäre) Verknüpfung auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung:
-    \[
-    *: M \times M \to M
-    .\] 
-\end{definition}
-
-\begin{definition}[Gruppe]
-    Eine Gruppe $(G, *, e)$ ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung $*$ und
-    einem (ausgezeichneten) Element $e \in G$, so dass:
-    \begin{enumerate}
-        \item $g*(h*k) = (g*h*)*k$ $\forall g,h,k \in G$ (Assoziativität)
-        \item $e * g = g$ $\forall g \in G$ ((Links)neutrales Element)
-        \item $\forall g \in G$: $\exists h \in G$: $h * g = e$ (Linksinverses)
-    \end{enumerate}
-    Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch wenn zusätzlich gilt:
-    \begin{enumerate}
-        \item $g * h = h * g$ $\forall g, h \in G$
-    \end{enumerate}
-\end{definition}
-
-\begin{bsp}[]
-    \begin{enumerate}
-        \item $(\Z, +, 0)$ ist abelsche Gruppe
-        \item $(\Q, +, 0)$, $(\R, +, 0)$, $(\C, +, 0)$ sind abelsche Gruppen.
-        \item $(\Q \setminus{\{0\}}, \cdot, 1)$ ist eine abelsche Gruppe
-        \item $(\R_{>0}, \cdot, 1)$ ist abelsche Gruppe
-    \end{enumerate}
-\end{bsp}
-
-\begin{bem}[]
-    Menge der Restklassen:
-    \[
-    \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} = \Z / n\Z 
-    .\] 
-    $(\Z / n\Z, +, \overline{0})$ ist eine abelsche Gruppe.
-    Wie ist die Summe von Restklassen definiert?
-
-    Seien $A, B \in \Z / n\Z$. Vorschrift für ,,+''.
-    \begin{enumerate}
-        \item Wähle ,,Vertreter'' $a,b \in \Z$ von $A,B$, d.h. $a \in A$,
-            $b \in B$.
-        \item bilde $a+b$ in $\Z$
-        \item $A+B =^{def} \overline{a+b}$, d.h. die Restklasse zu der
-            $a+b$ gehört.
-    \end{enumerate}
-    Damit diese Definition widerspruchsfrei ist (Sprich: ,,+''
-    ist \textit{wohldefiniert}) muss man nachweisen, dass das Ergebnis nicht
-    von der Auswahl im ersten Schritt abhängt.
-\end{bem}
-
-\begin{bsp}[]
-    Die symmetrische Gruppe $O_{n}$
-    \[
-        O_{n} := \text{die Menge aller bijektiven Abb.}\\
-    \pi: \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\} 
-    .\] 
-    (sogennante Permutationen)
-
-    $* = \circ$ Komposition von Abbildungen\\
-    $e = id_{\{1, \ldots, n\}}$\\
-    Wir schreiben Permutationen in der Form:
-    \[
-        \pi =
-        \begin{pmatrix}
-            1 & 2 & 3 & \ldots & n \\
-            \pi(1) & \pi(2) & \pi(3) & \ldots & \pi(n)
-        \end{pmatrix} 
-    .\] 
-    Elementare Kombinationen: $n$ Möglichkeiten für $\pi(1)$, $(n-1)$
-    Möglichkeiten, für $\pi(2)\ldots$, 1 Möglichkeit für $\pi(n)$.
-    \[
-        \#O_{n} = n! \text{ (Fakultät)}
-    .\] 
-    Verifikation der Gruppenaxiome
-    \begin{enumerate}
-        \item $g*(h*k) = g \circ (h \circ k) = (g \circ h) \circ k = (g * h) * k$
-        \item $e * g = id * g = g$
-        \item Sei g eine Permutation und $h = g^{-1}$ die Umkehrabbildung.
-            Dann gilt $h*g = g^{-1} \circ g = id = e$.
-    \end{enumerate}
-    Für $n \ge 3$ ist $\sigma_{n}$ nicht kommutativ.
-    \[
-        \begin{pmatrix} 
-            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
-            2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
-        \end{pmatrix} 
-        \circ
-        \begin{pmatrix}
-            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
-            1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
-        \end{pmatrix} 
-        =
-        \begin{pmatrix}
-            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
-            2 & 3 & 1 & 4 & \ldots
-        \end{pmatrix} 
-    .\] 
-    \[
-    \begin{pmatrix} 
-        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
-        1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
-    \end{pmatrix} 
-    \circ
-    \begin{pmatrix}
-        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
-        2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
-    \end{pmatrix} 
-    =
-    \begin{pmatrix}
-        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
-        3 & 1 & 2 & 4 & \ldots
-    \end{pmatrix} 
-    .\] 
-
-\end{bsp}
-
-\begin{satz}[]
-    Sei $G = (G, *, e)$ eine Gruppe. Dann gilt für alle $g, h, k \in G$.
-    \begin{enumerate}
-        \item $g * h = g * k \implies h = k$ (Linkskürzung)
-        \item $g * h = k * h \implies g = k$ (Rechtskürzung)
-        \item $g * e = g$ (das (links)neutrale Element ist auch rechtsneutral)
-        \item aus $g*h=g$ oder $h*g=g$ für ein einziges $g\in G$, so folgt $h=e$
-        \item $\forall g \in G$: existiert ein eindeutig bestimmtes Element
-            $g^{-1} \in G$ mit $g^{-1} * g = e = g * g^{-1}$.
-        \item Aus $h * g = e$ oder $g*h=e$ folgt $h=g^{-1}$.
-        \item $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$ $\forall g \in G$
-    \end{enumerate}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}[Beweis 1]
-    Sei $g * h = g * k$.
-    
-    Nach (G3) $\exists s \in G$, sodass $s * g = e$.
-    Daher gilt $s*(g*h) = (s*g)*h = e*h = k$.\\
-    Analog: $s*(g*k) = (s*g)*k = e*k = k$
-    Daraus folgt: $h = k$.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis 3]
-    Nach (G3) existiert $h\in G$ und $h*g=e$.
-
-    Es folgt $h*(g*e)=(h*g)*e=e*e=e=h*g$\\
-    Nach (1) folgt $g*e=g$
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis 5, Existenz]
-    Sei $h\in G$ mit $h*g = e$ (ex. nach G3) 
-
-    $h*(g*h) = (h*g)*h = e * h = h = h * e$\\
-    Durch Linkskürzung erhalten wir $g * h = e$.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis 2]
-    Sei $g*k=h*k$. Sei $s \in G$ so dass $k*s=e$ (existenz nach 5).
-
-    $\implies (g*k)*s = g*(k*s) = g*e = g$, analog\\
-    $\implies (h*k) * s = h*(k*s) = h*e = h$\\
-    Daraus folgt $g = h$.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis 4]
-    $g * h = g = g * e \implies h = e$, analog\\
-    $h*g = g = e*g \implies h=e$
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis 5 Eindeutigkeit und 6]
-    Seien $h, h' \in G$ mit $h*g=e=h'*g$ Nach Rechtskürzung folgt
-    $h = h'$. Daher ist $g^{-1} eindeutig$. Sei $h \in G$ mit
-    $g * h = e$. Wegen $g^{-1}*g = e$ folgt mit Linkskürzung, dass $h = g^{-1}$.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis 7]
-    aus $g * g^{-1} = e$ folgt $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$
-\end{proof}
-
-\begin{bem}[]
-    $g, h \in  G$, so gilt $(g * h)^{-1} = h^{-1} * g^{-1}$\\
-    Grund: $(h^{-1} * g^{-1}) * (g *h) = h^{-1} * (g*g^{-1}) * h = h^{-1}* e * h = h * h^{-1} = e.$
-\end{bem}
-\end{document}
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+++ /dev/null
@@ -1,259 +0,0 @@
-\documentclass{lecture}
-
-\begin{document}
-\section{Gruppen, Ringe, Körper}
-
-\subsection{Ringe}
-
-\begin{definition}[Ring]
-    Ein Ring $R = (R, +, \cdot, O_{R})$ ist eine Menge $R$ und zwei
-    Verknüpfungen $+, \cdot: R \times R \to  R$ und einem
-    Element $O_{R} \in R$ so dass:
-    \begin{enumerate}
-        \item $(R, +, O_{R})$ ist eine abelsche Gruppe
-        \item $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $\forall a,b,c \in R$
-        \item $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, $(a + b) \cdot c = ac + bc$
-    \end{enumerate}
-
-    Ein unitärer Ring (,,Ring mit 1'') ist ein Tupel
-    $(R, +, \cdot, 0_{R}, 1_{R})$, so dass $(R, +, \cdot, 0_{R})$ ein
-    Ring ist und $1_R \in R$, so dass gilt:
-    \begin{enumerate}
-        \item $1_{R} \cdot a = a = a \cdot 1_{R}$
-    \end{enumerate}
-
-    Ein Ring heißt kommutativ, wenn
-    \begin{enumerate}
-        \item $a \cdot b = b \cdot a$ $\forall a, b \in R$
-    \end{enumerate}
-\end{definition}
-
-\begin{bem}[Notation]
-    Das inverse Element von $a \in R$ bezüglich $+$ bezeichnet man mit
-    $-a$. Ein Inverses bezüglich $\cdot$ existiert i.A. nicht.
-
-    Die Eins in einem unitären Ring ist eindeutig bestimmt.
-\end{bem}
-
-\begin{bsp}
-    $(\Z, +, \cdot, 0, 1)$ ist ein kommutativer Ring mit 1
-\end{bsp}
-
-\begin{bsp}[$\Z / n\Z$]
-    ist ein kommutativer Ring mit 1. Multiplikationsvorschrift ist die
-    folgende: Für $A, B \in \Z / n\Z$
-    \begin{enumerate}
-        \item Wähle Vertreter $a, b \in \Z$ von $A$ und $B$.
-        \item bilde $a \cdot b$ in $\Z$
-        \item $A \cdot B :=$ Restklasse von $a \cdot b$
-    \end{enumerate}
-    Nachzuweisen: Unabhängigkeit der Definition von der Auswahl der Vertreter
-    im ersten Schritt.
-\end{bsp}
-
-\begin{bsp}[Die Menge der geraden ganzen Zahlen]
-    ist ein kommutativer Ring ohne 1.
-\end{bsp}
-
-\begin{lemma}
-    $R = (R, +, \cdot, 0_{R})$ Ring. Dann gilt
-    \begin{enumerate}
-        \item $0_{R} \cdot a = 0_R = a \cdot 0_R$
-        \item $a \cdot (-b) = - ab = (-a) \cdot b$
-    \end{enumerate}
-    Ist R unitär, so gilt:
-    \begin{enumerate}
-        \item $-b = (-1_{R}) \cdot b$
-    \end{enumerate}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}[Beweis 1]
-    \[
-        0_{R} \cdot a + 0_{R} = 0_{R} = 0_{R} a = (0_R + 0_R)a = 0_R a + 0_R a
-    .\] 
-    Mit kürzen folgt: $0_R = 0_R a$
-    Analog für $a \cdot 0_R = 0_R$
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis 2]
-    \[
-        0_R = a 0_R = a \left((-b) + b\right) = a(-b) + a b
-    \] also $a(-b) = -ab$.
-\end{proof}
-
-\begin{proof}[Beweis 3]
-    Ist R unitär, so setzt man in 2 $a = 1_{R}$ ein und erhält 3.
-\end{proof}
-
-\begin{bsp}
-    $R = \{0\} $ mit den einzig möglichen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$
-    heißt der \textit{Nullring}.
-    Nullring ist ein kommutativer Ring mit 1 ($0_R = 0 = 1_R$).
-    Dies ist der einzige Ring mit $1_R = 0_R$.
-
-    Begründung: Gelte $0_R = 1_R$, so folgt für jedes $r \in R$:
-    \[
-        r = r \cdot 1_R = r \cdot 0_R = 0_R
-    .\] Egal welches Element herausgenommen wird, es ist immer $0_R$, d.h.
-    $R$ muss ein Nullring sein.
-\end{bsp}
-
-\begin{lemma}
-    Sei $R = (R, +, \cdot, 0_R, 1_R)$ ein unitärer Ring und
-    $R^{\times } \subset R$ die Menge der Elemente die ein Links- und
-    ein Rechtsinverses bezüglich $\cdot$ haben, das heißt
-    \[
-    R^{\times } = \{r \in R  \mid \exists s, t \in R : s r = 1_R = r t\}
-    .\] 
-    Dann ist $(R^{x}, \cdot, 1_R)$ eine Gruppe.
-    Man nennt $R^{x}$ die Einheitengruppe von $R$.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Seien $r, \overline{r} \in R^{\times }$ und $s, \overline{s}, t, \overline{t}$
-    mit
-    \[
-    s r = 1 = r t
-   .\] und
-   \[
-   \overline{s} \overline{r} = 1 = \overline{r} \overline{t}
-   .\] Dann
-   \[
-       (s' s)(r r') = s'(s r) r' = s'1r' = s'r' = 1
-   .\] 
-   \[
-        (r r') (t' t) = r (r' t') t = r 1 t = r t = 1 
-   .\] $\implies r \cdot r' \in R^{\times }$
-
-   Wir überprüfen die Gruppenaxiome: G1 folgt aus R2
-
-   $1 \in R$ ist neutral $\to$ G2
-
-   Bleibt zu zeigen: $\forall r \in R^{\times }: \exists r' \in R: r r' = 1$
-   Nach Definition: $\exists s \in R: s r = 1$. Zu zeigen: $s \in R^{\times }$.
-   Offenbar hat das Rechtsinverse $r$. Aber $r$ ist auch linksinvers zu $s$:
-
-   Wähle $t \in  R$ mit $r t = 1$. Dann gilt $s = s (r t) = (s r) t = t$
-   $\implies$ rs = rt = 1.
-\end{proof}
-
-\begin{bem}
-    $0_R \in R^{\times } \implies \exists r \in R: 0_R r = 1_R \implies 0_R = 1_R \implies$ $R$ ist der Nullring.
-\end{bem}
-
-\begin{definition}[Körper]
-    Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring mit 1: $(K, +, 0_K, 1_K)$
-    mit $K^{\times } = K \ \{0_K\}$
-\end{definition}
-
-\begin{bsp}
-    \begin{enumerate}
-        \item $\Q, \R, \C$ sind Körper
-        \item $\Z$ ist kein Körper ($\Z^{\times } = \{+1, -1\} $)
-    \end{enumerate}
-\end{bsp}
-
-\begin{lemma}[]
-    In einem Körper $K$ gilt, dass
-    \[
-    a b = 0_K \implies a = 0 \wedge b = 0
-    .\] 
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Angenommen $a \neq 0_K$: Dann existiert $a^{-1} \in K$ mit
-    $a^{-1} a = 1_K$. Es folgt
-    \[
-    b = 1_K b = a^{-1} a b = a^{-1} 0_K = 0_K
-    .\] 
-\end{proof}
-
-\begin{lemma}
-    Ist $p$ eine Primzahl, so ist $\Z / p\Z$ ein Körper.
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}[]
-    $\Z / p \Z$ ist kommutativer Ring mit 1 (siehe oben).
-
-    Zu zeigen: $\forall A \in \Z / p\Z, A \neq \overline{0}$ ist
-    die $\overline{1}$ im Bild der Abbildung:
-    \[
-    A\cdot : \Z / p \Z \to  \Z / p \Z, B \mapsto A \cdot B
-    .\] 
-    Wir zeigen sogar, dass $A \cdot$ surjektiv ist.
-    Da $\Z / p \Z$ endlich ist, genügt es z.z., dass $A \cdot$ injektiv ist.
-
-    Angenommen es gäbe Restklassen $B, C \in  \Z / p \Z$ mit
-    \[
-        A \cdot B = A \cdot C
-    .\] Seien $a, b, c \in \Z$ Vertreter.
-    Wegen $A \neq \overline{0}$ gilt $a$ nicht durch $p$ teilbar.
-    Wegen $AB = AC$ gilt $ab =- ac$ mod $p \implies p$ teilt $a (b -c)$.
-
-    Weil $p$ eine Primzahl ist und $p$ teilt nicht $a$ folgt
-    $p / (b -c)$, also $b =- c$ mod $p \implies B = C$ 
-\end{proof}
-
-\begin{bem}
-    Ist $n \in N$ keine Primzahl, so ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
-\end{bem}
-
-\begin{proof}
-    Für $n=1$ ist $\Z / n\Z$ der Nullring (kein Körper).
-    
-    Nun sei $n > 1$ keine Primzahl
-    $\implies \exists a, b \in \N, 1 < a, b < n$ mit $a b = n$ Für die
-    Restklassen bedeutet dies: $\overline{a} \neq \overline{0}$,
-    $\overline{b} \neq  \overline{0}$ aber
-    $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} = \overline{n} = \overline{0}$. Wir erhalten Widerspruch zu Lemma 1.15. Also
-    ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
-\end{proof}
-
-\begin{definition}[Charakteristik]
-    Sei $K$ Köper. Die kleinste natürliche Zahl $n$ mit n mal
-    $1_K + \ldots + 1_K = 0_K$ (in $K$) heißt die
-    Charakteristik von K.
-
-    Notation: char(K).
-    Gibt es eine solche Zahl $n$ nicht, dann setzt man char(K) = 0.
-\end{definition}
-
-\begin{bem}
-
-    \begin{enumerate}
-        \item char(K) $=0$ oder char(K) $\ge 2$ (wegen $0_K \neq 1_K$).
-        \item \Q, \R, \C haben Charakteristik Null.
-        \item \Z / p \Z hat die Charakteristik p.
-    \end{enumerate}
-\end{bem}
-
-\begin{satz}
-    char(K) ist entweder 0 oder Primzahl.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}
-    Sei char(K) $\neq 0$, also char(K) $= n \ge 2$.
-
-    Wäre $n$ keine Primzahl, so existieren $a, b \in \N, 1 < a ,b < n$
-    mit $ab = n$. Dann gilt:
-    \[
-        (1_K + \ldots + 1_K) \cdot (1_K + \ldots + 1_K)
-        = (1_K + \ldots + 1_K) = 0
-    .\] Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt $(1_K + \ldots + 1_K)$ = $0_K$
-    oder $(1_K + \ldots + 1_K) = 0_K$
-
-    Das Widerspricht der Minimalität von n.
-\end{proof}
-
-\subsection{Homomorphismen}
-
-\begin{definition}
-    Seien $(G, *_G, e_G)$ und $(H, *_H, e_H)$ Gruppen.
-    Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus wenn für alle
-    $g, g' \in G$ gilt:
-    \[
-        f(g *_G g') = f(g) *_H f(g')
-    .\] 
-\end{definition}
-
-\end{document}