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sose2020/la/uebungen/la7.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
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+\title{Lineare Algebra 2: Übungsblatt 7}
+\author{Dominik Daniel, Miriam ?, Christian Merten}
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+\begin{document}
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+\punkte[26]
+
+\begin{aufgabe}
+    Sei $R$ ein Ring, $M$ und $N$ zwei $R$-Moduln und $\varphi \colon M \to N$ ein $R$-Modulhom.
+    Sei $\iota\colon \text{ker } \varphi \to M$ die kanonische Inklusion.
+
+    Beh.: Zu jedem $R$-Modul $U$ und jedem $R$-Modulhomomorphismus $f\colon U \to M$ mit $\varphi \circ f = 0$
+    gibt es einen eindeutig bestimmten $R$-Modulhomomorphismus $g\colon U \to \text{ker } \varphi$
+    mit $f = \iota \circ g$.
+    \begin{proof}
+        \begin{enumerate}[(i)]
+           \item Existenz: Definiere
+               \begin{align*}
+                   g \colon U &\to  \text{ker } \varphi \\
+                   u &\mapsto f(u)
+               .\end{align*}
+               $g$ ist wohldefiniert, da $\varphi \circ f = 0$, also
+               $\text{Bild}(f) \subseteq \text{ker } \varphi$. Da $f$ $R$-Modulhom., ist auch
+               $g$ $R$-Modulhom.
+
+               Dazu sei weiter $u \in U$ beliebig. Dann ist $f(u) = g(u) = \iota(g(u))$, also
+               $f = \iota \circ g$.
+            \item Eindeutigkeit: Seien $g$, $g'\colon U \to \text{ker } \varphi$ R-Modulhom.s mit
+                $f = \iota \circ g = \iota \circ g'$. Dann gilt $\forall u \in U$:
+                $g'(u) = \iota(g'(u)) = f(u) = \iota(g(u)) = g(u)$. Also folgt
+                $g = g'$.
+       \end{enumerate} 
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Seien $R$ ein Ring und $(M_i)_{i \in I}$ Familie von freien $R$-Moduln. Sei
+    $M = \bigoplus_{i \in I} M_i$. Sei weiter $(x_{i,j})_{j \in J_i}$ eine Basis von $M_i$ und
+    \[
+        K \coloneqq \bigcup_{i \in  I} \left( \{i\} \times J_i \right) 
+    .\] Betrachte $(x_{i,j})_{(i,j) \in K}$ via der kanonischen Inklusionen $q_i \colon M_i \to M$ als
+    Familie von Elementen von $M$. Sei $N$ ein Modul mit Familie von Elementen $(y_{i,j})_{(i,j) \in K}$
+    aus N.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: $\forall i \in I$ gibt es einen eindeutigen $R$-Modulhomomorphismus $f_i \colon M_i \to N$
+            mit $f_i(x_{i,j}) = y_{i,j}$ $\forall j \in J_i$.
+            \begin{proof}
+                Sei $i \in I$ beliebig. Nach Vorr. ist $M_i$ frei mit Basis $(x_{i,j})_{j \in J_i}$.
+                Also erfüllt nach VL $(M_i, (x_{i,j})_{j \in J_i})$ die Eigenschaft (UF). Damit folgt,
+                angewendet auf $N$ und die Familie $(y_{i,j})_{(i,j) \in K}$ die Behauptung.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $M$ ist frei.
+            \begin{proof}
+                Nach VL g.z.z., dass $(M, (x_{i,j})_{(i,j) \in K})$ die Eigenschaft (UF) erfüllt, also dass
+                genau ein $R$-Modulhom. $f\colon M \to N$ existiert mit
+                $f(x_{i,j}) = y_{i,j}$ $\forall (i,j) \in K$.
+
+                Da $M$ direkte Summe der $M_i$ ist, erfüllt $M$ die Eigenschaft (US). Wende diese auf $N$
+                mit den Homomorphismen $f_i\colon M_i \to N$ aus (a) an. Damit folgt
+                es ex. genau ein $f\colon M \to N$ mit $f_i = f \circ q_i$ $\forall i \in I$. Wegen
+                (a) gilt $\forall (i,j) \in K$ $f_i(x_{i,j}) = y_{i,j}$ $(*)$.
+
+                Z.z.: $\forall i \in I$ $f_i = f \circ q_i$ $\iff$ $f(x_{i,j}) = y_{i,j}$
+                $\forall (i,j) \in K$.
+                \begin{itemize}
+                    \item ,,$\implies$``: Sei $(i,j) \in K$ beliebig.
+                        \[
+                            f(x_{i,j}) = f(q_i(x_{i,j})) \; \stackrel{\text{Vorr.}}{=} \; f_i(x_{i,j}) \stackrel{(*)}{=} y_{i,j}
+                        .\] 
+                    \item ,,$\impliedby$``: Sei $m \in M_i$ beliebig. Da $M_i$ frei mit Basis
+                        $(x_{i,j})_{j \in J_i}$ ex. $(r_j)_{j \in J} \in R^{(J)}$ mit
+                        $m = \sum_{j \in J_i} r_j x_{i,j}$. Damit folgt
+                        \begin{salign*}
+                            f_i(m) &= f_i\left(\sum_{j \in J_i} r_j x_{i,j} \right) \\
+                            &\stackrel{f_i \text{ } R\text{-Modulhom.}}{=}
+                            \sum_{j \in J_i} r_j f_i(x_{i,j}) \\
+                            &\stackrel{(*)}{=}
+                            \sum_{j \in J_i} r_j y_{i,j} \\
+                            &\stackrel{\text{Vorr.}}{=} \sum_{j \in J_i} r_j f(x_{i,j}) \\
+                            &= f \left( \sum_{i \in J_i} r_j x_{i,j} \right) \\
+                            &= f(m)
+                        .\end{salign*}
+                \end{itemize}
+                Aufgrund der Eindeutigkeit von $f$ mit der Eigenschaft $f_i = f \circ q_i$ $\forall i \in I$
+                und der gezeigten Äquivalenz, folgt die Existenz und Eindeutigkeit von $f$ mit der Eigenschaft
+                $f(x_{i,j}) = y_{i,j}$ $\forall (i,j) \in K$, also (UF).
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}