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@@ -6,8 +6,14 @@
 
 \section{Prime Restklassen und der Satz von Euler-Fermat}
 
-\textit{Einleitung: - Besondere Eigenschaften von Restklassenringen bei Primzahlen
-- Satz von Euler-Fermat}
+\textit{
+    Einleitung
+    \begin{itemize}
+        \item Eigenschaften von $\Z / n \Z$
+        \item Lösung von Kongruenzen
+        \item Satz von Euler-Fermat
+    \end{itemize}
+}
 
 \begin{definition}[Nullteiler]
     Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$ heißt ein Nullteiler, wenn es ein $y \in R, y\neq 0$
@@ -28,6 +34,8 @@ $y \in R, y \neq 0$ existiert.}
 
 \begin{definition}[Einheit]
     Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$  heißt eine Einheit, wenn es ein $y \in R$ mit $xy = 1$ gibt.
+    Bezeichnung: $x^{-1} := y$.
+    Die Einheiten im Ring $\Z/n\Z$ heißen \underline{prime Restklassen modulo n}.
     \textit{also: wenn ein Inverses bezüglich Multiplikation existiert}
 \end{definition}
 
@@ -49,15 +57,15 @@ $y \in R, y \neq 0$ existiert.}
             Insbesondere gibt es für jedes $x \in R^{\times }$ genau ein $y \in R^{\times }$ mit
             $xy = 1$. Dieses Element bezeichnen wir mit $x^{-1}$ und nennen es das
             (multiplikativ) Inverse zu $x$.
+
+            Die Gruppe $(\Z / n \Z)^{\times}$ wird als \underline{prime Restklassengruppe modulo n} bezeichnet.
         \item Ist $x \in R^{\times }$, dann ist $x$ kein Nullteiler.
             \label{lemma:einheitengruppe:nullteiler}
         \item Falls $R$ endlich ist, dann gilt auch die Umkehrung von (b): Ist $x \in R$ kein Nullteiler,
             dann ist $x$ eine Einheit.
     \end{enumerate}
     \textit{Insbesondere gilt im Fall $R = \Z / n \Z$ , $n \in \N$, für $\overline{x} \in R$, dass $\overline{x}$
-    genau dann eine Einheit ist, wenn $\overline{x}$ kein Nullteiler ist.} Die Einheiten im
-    Ring $\Z / n \Z$ nennt man prime Restklassen modulo n, die Gruppe $(\Z / n \Z)^{\times }$
-    dementsprechend die Gruppe der primen Restklassen modulo n.
+    genau dann eine Einheit ist, wenn $\overline{x}$ kein Nullteiler ist.}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
@@ -127,8 +135,9 @@ $y \in R, y \neq 0$ existiert.}
     insbesondere ist $\Z / n \Z$ nicht nullteilerfrei.
 \end{proof}
 
-\textit{Anmerkung: Den erweiterten euklidischen Algorithmus verwenden wir noch weiter um die Einheiten
-im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.}
+\textit{Anmerkung: Letzte Woche haben wir bereits Kongruenzrelationen in $\Z$ kennengelernt, heute:
+lernen Kongruenzen zu lösen. Frage: Wann hat eine Kongruenz eine Lösung in $\Z$?}
+\vspace{5mm}
 
 \begin{lemma}
     Es seien $a$, $b \in \Z$, $n \in \N$. Dann sind äquivalent:
@@ -158,24 +167,6 @@ im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.}
     \] und damit die Behauptung zeigt.
 \end{proof}
 
-\begin{korrolar}
-    Es sei $a \in \Z, n \in \N$. Dann sind äquivalent
-    \begin{enumerate}[(i)]
-        \item Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$.
-        \item $\overline{a} \in (\Z / n\Z)^{\times }$
-        \item $\text{ggT}(a,n) = 1$
-    \end{enumerate}
-\end{korrolar}
-
-\begin{proof}
-    (i) $\iff$ (ii): Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod }n)$ entspricht der Gleichung
-    $\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{1}$ in $\Z / n \Z$, welche
-    genau dann lösbar ist, wenn $\overline{x}$ eine Einheit in $\Z / n \Z$ ist.
-
-    (i) $\iff$ (iii): $\text{ggT}(a,n) = 1 \iff \text{ggT}(a,n)  \mid 1$. Folgt mit $b = 1$ aus
-    \ref{lemma:kongruenz}.
-\end{proof}
-
 \begin{bsp}
     %\begin{enumerate}[(a)]
         %\item Die Kongruenz $15x \equiv 7$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $ggT(15,21) = 3 \nmid 7$ keine
@@ -192,6 +183,33 @@ im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.}
     %\end{enumerate}
 \end{bsp}
 
+\begin{korrolar}
+    Es sei $a \in \Z, n \in \N$. Dann sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$.
+        \item $\overline{a} \in (\Z / n\Z)^{\times }$
+        \item $\text{ggT}(a,n) = 1$
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    (i) $\iff$ (ii): Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod }n)$ entspricht der Gleichung
+    $\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{1}$ in $\Z / n \Z$, welche
+    genau dann lösbar ist, wenn $\overline{x}$ eine Einheit in $\Z / n \Z$ ist.
+
+    (i) $\iff$ (iii): $\text{ggT}(a,n) = 1 \iff \text{ggT}(a,n) \mid 1$.
+    \textit{Anmerkung: Hinrichtung klar, Rückrichtung: $\text{ggT}(a,n)  \mid 1$ heißt,
+    1 ist ein Vielfaches des $\text{ggT}(a,n)$, d.h.
+    der $\text{ggT}(a,n)$ ist bereits 1}. Folgt mit $b = 1$ aus
+    \ref{lemma:kongruenz}.
+
+    \textit{Hier wird klar, warum die Einheiten in $\Z / n \Z$ prime Restklassen heißen:
+    teilerfremd wird auch als relativ prim bezeichnet.}
+\end{proof}
+
+\textit{Frage: Wie können große Potenzen modulo n vereinfacht werden? Dazu wird Satz v. Euler-Fermat
+helfen, dafür brauchen wir aber noch ein paar Definitionen}
+
 \begin{definition}[Ordnung]
     Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Die Ordnung von $G$ (Notation: $|G|$) ist definiert als die Anzahl
     der Elemente von $G$.
@@ -265,13 +283,27 @@ Notation für Gruppen: Verknüpfung multiplikativ und neutrales Element ist $1$.
 \end{proof}
 
 \begin{bsp}
-    Es ist $3^{19} \equiv 10$ $(\text{mod } 17)$, denn $\overline{3} \in (\Z / 17 \Z)^{\times}$ und
-    \[
-        3^{16} = 3^{\varphi(17)} \qquad\qquad \stackrel{\text{Satz v. Euler-Fermat}}{\equiv} \qquad \qquad 1 \quad (\text{mod } 17)
-    .\] Damit folgt
-    \[
-        3^{19} = 3^{3} \cdot 3^{16} = 27 \cdot 1 \equiv 10 \quad (\text{mod } 17)
-    .\] 
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Es ist $3^{19} \equiv 10$ $(\text{mod } 17)$, denn $\overline{3} \in (\Z / 17 \Z)^{\times}$ und
+            \[
+                3^{16} = 3^{\varphi(17)} \qquad\qquad \stackrel{\text{Satz v. Euler-Fermat}}{\equiv} \qquad \qquad 1 \quad (\text{mod } 17)
+            .\] Damit folgt
+            \[
+                3^{19} = 3^{3} \cdot 3^{16} \equiv 27 \cdot 1 \equiv 10 \quad (\text{mod } 17)
+            .\] 
+        \item Was ist die letzte Dezimalstelle von $7^{222}$? Also welche Zahl ist
+            $7^{222}$ kongruent modulo 10?
+
+            Zunächst $\varphi(10) = 4$. Und $\text{ggT}(7,10) = 1$. Dann folgt
+            \[
+                7^{4} = 7^{\varphi(10)} \qquad\qquad \stackrel{\text{Satz v. Euler-Fermat}}{\equiv}
+                \qquad \qquad 1 \quad (\text{mod } 10)
+            .\] Dann teile $222$ durch $4$ mit Rest. Damit
+            \[
+                7^{222} = 7^{4 \cdot 55 + 2} = (7^{4})^{55}  \cdot 7^{2} \equiv 1^{55} \cdot 7^{2}
+                \equiv 49 \equiv 9 \quad (\text{mod } 10)
+            .\] 
+    \end{enumerate}
 \end{bsp}
 
 \begin{korrolar}[Kleiner Satz von Fermat]