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\documentclass[uebung]{../../../lecture}
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\begin{document}
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\punkte[2]
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\author{Christian Merten}
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\title{Theo II: Übungsblatt 3}
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Falls $l_0 \le 0$: In beiden Fällen findet keine Bewegung statt.
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Sei also $l_0 > 0$. Die verallgemeinerte Koordinate sei
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$l > 0$, der Abstand des untersten Massepunkts von der Tischkante. Damit ist
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$l(0) = l_0$.
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Zunächst gilt, wegen $m_{\text{ges}} = 2 m$:
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\[
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T = m \dot{l}^2
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.\]
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Die potentielle Energie ist abhängig von $l$:
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\[
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V = \begin{cases}
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- m g l & l \le L \\
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- m g l - m g (l - L) & l > L
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\end{cases}
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.\] Damit folgt
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\[
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\mathcal{L} = T - V = \begin{cases}
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m\dot{l}^2 + mgl & l \le L \\
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m\dot{l}^2 + 2mgl & l > L
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\end{cases}
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.\]
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\item Für die kinetische Energie gilt
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\[
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T = \frac{M}{2} \dot{l}^2
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.\] Da die potentielle Energie mit der Länge der überhängenden Kette
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steigt, folgt für $l \le L$:
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\begin{align*}
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V &= - g \int_{0}^{l} \frac{\d h}{L} Mh = - \frac{Mg}{2L}l^2
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\intertext{Für $l > L$ muss die Kette durch die Länge $L$ begrenzt werden, damit folgt}
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V &= - g \int_{l-L}^{l} \frac{M}{L} g h \d h = - Mg \left(l - \frac{L}{2}\right)
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.\end{align*}
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Insgesamt folgt damit:
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\[
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\mathcal{L} = T - V = \begin{cases}
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\frac{M}{2} \dot{l}^2 + \frac{Mg}{2L}l^2 & l \le L \\
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\frac{M}{2} \dot{l}^2 + Mg \left( l - \frac{L}{2} \right) & l > L
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\end{cases}
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.\]
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\end{enumerate}
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\item Mit den Langrange Gleichungen
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\[
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\frac{\mathrm{d}}{\d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{\dot{q}_i}}
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- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{q_i}} = 0
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.\] folgt
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Mit $l(0) = l_0$ und $v_0 = 0$ folgt für $l \le L$:
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\[
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2 m\ddot{l} - mg = 0 \implies l(t) = \frac{1}{4} g t^2 + l_0
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.\] Für $l > L$ folgt mit $t_e := \sqrt{\frac{4}{g} (L - l_0)}$ und
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$v_e := \dot{l}(t_e)$:
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\[
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2 m \ddot{l} - 2mg = 0 \implies l(t-t_e) = \frac{1}{2}g t^2 + v_e t + L
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.\]
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\item Für $l \le L$ folgt
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\begin{align*}
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M\ddot{l} - \frac{Mg}{L} l &= 0
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\intertext{Mit $w^2 := \frac{g}{L}$ folgt}
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l_{1,2}(t) &= e^{\pm \omega t} \\
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l(t) &= A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}
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\intertext{Aus den Anfangsbedingungen $l(0) = l_0$ und $v_0 = 0$ folgt}
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l(t) &= \frac{l_0}{2} \left(e^{\omega t} + e^{-\omega t} \right)
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.\end{align*}
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Für $l > L$ folgt für $t \ge t_e$ analog zu (i) eine freie Fallbewegung:
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\[
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l(t - t_e) = \frac{1}{2} g t^2 + v_e t + L
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.\]
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\end{enumerate}
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\item Mit $E = T + V$ folgt jeweils für $l \le L$:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item
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\begin{align*}
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E &= m \dot{l}^2 - mgl
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= mg \left(\frac{1}{4} g t^2 - \frac{1}{4} gt^2 - l_0\right) = - m g l_0 \\
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\implies \frac{\d E}{\d t} &= 0
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.\end{align*}
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\item
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\begin{align*}
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E &= \frac{M}{2} \frac{l_0^2}{4} \omega^2 \left( e^{\omega t} - e^{-\omega t} \right)^2
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- \frac{Mg}{2L} \frac{l_0^2}{4} \left( e^{\omega t} + e^{- \omega t} \right)^2 \\
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&= \frac{M}{2} \frac{l_0^2}{4} \left( \omega^2 \left(e^{\omega t} - e^{- \omega t} \right)^2
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- \omega^2\left(e^{\omega t} + e^{-\omega t}\right)^2 \right) \\
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&= - \frac{M}{2} l_0^2 \omega^2 \\
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||||
\implies \frac{\d E}{\d t} &= 0
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.\end{align*}
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\end{enumerate}
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Für $l > L$ liegt eine freie Fallbewegung vor, hier ist die Energie offensichtlich erhalten.
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Analoge Rechnung zu (i).
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}[Verständnisfragen]
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Verallgemeinerte Kräfte sind das Analogon zum Übergang von karthesischen
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Koordinaten zu verallgemeinerten Koordinaten. Sie haben jetzt genau
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$f$ Komponenten und haben, genauso wie die verallgemeinerten Koordinaten, nicht mehr die
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Einheit einer Kraft.
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\[
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F_j = \sum_{k=1}^{n} F_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j}
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.\]
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\item Die Lagrange-Gleichungen 2. Art sind eine Neuformulierung des 2. Newton'schen Axioms, wobei
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die karthesischen Koordinaten aufgegeben werden und anstatt dessen verallgemeinerte
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Koordinaten eingesetzt werden, die automatisch alle Zwangsbedingungen erfüllen. Das
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2. Newton'sche Axiom wird damit durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt, indem der
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$3N$-Konfigurationsraum auf die $f$ dimensionale Untermannigfaltigkeit eingeschränkt wird.
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\item
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\end{document}
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Reference in New Issue
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