add theo3

sose2020/theo/uebungen/theo3.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\punkte[2]
+\author{Christian Merten}
+\title{Theo II: Übungsblatt 3}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Falls $l_0 \le 0$: In beiden Fällen findet keine Bewegung statt.
+            Sei also $l_0 > 0$. Die verallgemeinerte Koordinate sei
+            $l > 0$, der Abstand des untersten Massepunkts von der Tischkante. Damit ist
+            $l(0) = l_0$.
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item Zunächst gilt, wegen $m_{\text{ges}} = 2 m$:
+                    \[
+                        T = m \dot{l}^2
+                    .\] 
+                    Die potentielle Energie ist abhängig von $l$:
+                    \[
+                    V = \begin{cases}
+                        - m g l & l \le L \\
+                        - m g l - m g (l - L) & l > L
+                    \end{cases}
+                    .\] Damit folgt
+                    \[
+                        \mathcal{L} = T - V = \begin{cases}
+                            m\dot{l}^2 + mgl & l \le L \\
+                            m\dot{l}^2 + 2mgl & l > L
+                        \end{cases}
+                    .\] 
+                \item Für die kinetische Energie gilt
+                    \[
+                        T = \frac{M}{2} \dot{l}^2
+                    .\] Da die potentielle Energie mit der Länge der überhängenden Kette
+                    steigt, folgt für $l \le L$:
+                    \begin{align*}
+                        V &= - g \int_{0}^{l} \frac{\d h}{L} Mh = - \frac{Mg}{2L}l^2
+                        \intertext{Für $l > L$ muss die Kette durch die Länge $L$ begrenzt werden, damit folgt}
+                        V &= - g \int_{l-L}^{l} \frac{M}{L} g h \d h = - Mg \left(l - \frac{L}{2}\right)
+                    .\end{align*}
+                    Insgesamt folgt damit:
+                    \[
+                        \mathcal{L} = T - V = \begin{cases}
+                            \frac{M}{2} \dot{l}^2 + \frac{Mg}{2L}l^2 & l \le L \\
+                            \frac{M}{2} \dot{l}^2 + Mg \left( l - \frac{L}{2} \right) & l > L
+                        \end{cases}
+                    .\] 
+            \end{enumerate}
+        \item Mit den Langrange Gleichungen
+            \[
+                \frac{\mathrm{d}}{\d t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{\dot{q}_i}}
+                - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{q_i}} = 0
+            .\] folgt
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item Mit $l(0) = l_0$ und $v_0 = 0$ folgt für $l \le L$:
+                    \[
+                        2 m\ddot{l} - mg = 0 \implies l(t) = \frac{1}{4} g t^2 + l_0
+                    .\] Für $l > L$ folgt mit $t_e := \sqrt{\frac{4}{g} (L - l_0)}$ und
+                    $v_e := \dot{l}(t_e)$:
+                    \[
+                        2 m \ddot{l} - 2mg = 0 \implies l(t-t_e) = \frac{1}{2}g t^2 + v_e t + L
+                    .\] 
+                \item Für $l \le L$ folgt
+                    \begin{align*}
+                        M\ddot{l} - \frac{Mg}{L} l &= 0
+                        \intertext{Mit $w^2 := \frac{g}{L}$ folgt}
+                        l_{1,2}(t) &= e^{\pm \omega t} \\
+                        l(t) &= A e^{\omega t} + B e^{-\omega t}
+                        \intertext{Aus den Anfangsbedingungen $l(0) = l_0$ und $v_0 = 0$ folgt}
+                        l(t) &= \frac{l_0}{2} \left(e^{\omega t} + e^{-\omega t} \right)
+                    .\end{align*}
+                    Für $l > L$ folgt für $t \ge t_e$ analog zu (i) eine freie Fallbewegung:
+                    \[
+                        l(t - t_e) = \frac{1}{2} g t^2 + v_e t + L
+                    .\] 
+            \end{enumerate}
+        \item Mit $E = T + V$ folgt jeweils für $l \le L$:
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item
+                    \begin{align*}
+                        E &= m \dot{l}^2 - mgl
+                        = mg \left(\frac{1}{4} g t^2 - \frac{1}{4} gt^2 - l_0\right) = - m g l_0 \\
+                        \implies \frac{\d E}{\d t} &= 0
+                    .\end{align*}
+                \item 
+                    \begin{align*}
+                        E &= \frac{M}{2} \frac{l_0^2}{4} \omega^2 \left( e^{\omega t} - e^{-\omega t} \right)^2
+                        - \frac{Mg}{2L} \frac{l_0^2}{4} \left( e^{\omega t} + e^{- \omega t} \right)^2 \\
+                        &= \frac{M}{2} \frac{l_0^2}{4} \left( \omega^2 \left(e^{\omega t} - e^{- \omega t} \right)^2
+                        - \omega^2\left(e^{\omega t} + e^{-\omega t}\right)^2 \right) \\
+                        &= - \frac{M}{2} l_0^2 \omega^2 \\
+                        \implies \frac{\d E}{\d t} &= 0
+                    .\end{align*}
+            \end{enumerate}
+            Für $l > L$ liegt eine freie Fallbewegung vor, hier ist die Energie offensichtlich erhalten.
+            Analoge Rechnung zu (i).
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Verständnisfragen]
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Verallgemeinerte Kräfte sind das Analogon zum Übergang von karthesischen
+            Koordinaten zu verallgemeinerten Koordinaten. Sie haben jetzt genau
+            $f$ Komponenten und haben, genauso wie die verallgemeinerten Koordinaten, nicht mehr die
+            Einheit einer Kraft.
+            \[
+            F_j = \sum_{k=1}^{n} F_i \frac{\partial x_i}{\partial q_j}
+            .\] 
+        \item Die Lagrange-Gleichungen 2. Art sind eine Neuformulierung des 2. Newton'schen Axioms, wobei
+            die karthesischen Koordinaten aufgegeben werden und anstatt dessen verallgemeinerte
+            Koordinaten eingesetzt werden, die automatisch alle Zwangsbedingungen erfüllen. Das
+            2. Newton'sche Axiom wird damit durch die Zwangsbedingungen eingeschränkt, indem der
+            $3N$-Konfigurationsraum auf die $f$ dimensionale Untermannigfaltigkeit eingeschränkt wird.
+        \item 
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}