ana13
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\documentclass{../../../lecture}
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\begin{document}
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\subsection{Konvergenz in $\mathbb{C}$}
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Eine Folge $(z_n)_{n\in\N}$ komplexer Zahlen $(z_n \in \mathbb{C} \quad \forall n \in \N)$ konvergiert
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gegen $z \in \mathbb{C}$, falls $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $|z_n - z| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$
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Genauso wird die Beschränktheit und Begriff der C.F. übertragen.
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Aus Definitionen:
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\[
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|z| := \sqrt{(\text{Re}(z))^{2} + (\text{Im}(z))^{2}}
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.\] und der Ungleichung:
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\[
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max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2} \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R
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.\] folgt:
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\begin{enumerate}
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\item $z_n \to z, n \to \infty$ in $\mathbb{C}$ $\iff \text{Re}(z_n) \to \text{Re}(z) $ und $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(z)$
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\item $(z_n)_{n\in\N}$ ist eine C.F. in $\mathbb{C} \iff$ \\
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$(\text{Re}(z_n))_n$ und $\left( \text{Im}(z_n) \right)_n $ sind
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C.F. in $\R$
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\item $\mathbb{C}$ ist vollständig, d.h. jede C.F. in $\mathbb{C}$
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ist konvergent.
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\item Jede beschränkte Folge in $\mathbb{C}$ besitzt eine
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konvergente Teilfolge.
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\end{enumerate}
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\begin{bsp}
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\begin{enumerate}
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\item
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$\frac{1+i(n+1)}{n} = \frac{1}{n} + i\left(1 + \frac{1}{n}\right) \to i$, $n \to \infty$
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\item $z_n = \left( \frac{i}{2} \right) ^{n} = \left( \frac{i}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{i}{8}, \frac{1}{16}, \ldots \right) $ \\
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$|z_n| = \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \to 0$, $n \to \infty$
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\item $q^{n} \to 0$, $n \to \infty$ $\forall q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$.
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\subsection{Unendliche Summe (,,Reihen'')}
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\begin{definition}
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Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir
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betrachten die Folge der $n$-ten Partialsumme $(s_n)_{n \in \N}$
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definiert durch:
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\[
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s_n := \sum_{k=1}^{\infty} a_k
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.\] Die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ konvergiert (divergiert),
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wenn die Folge der Partialsummen $(s_n)_{n\in\N}$ konvergiert (divergiert).
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Im Fall von Konvergenz bezeichnet:
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\[
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s_\infty := \lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
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.\] die Summe oder den Wert der Reihe.
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\end{definition}
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\begin{bem}
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Man kann auch Reihen $\sum_{k=l}^{\infty} a_k$ mit
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$l \in \Z$ betrachten.
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\end{bem}
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\begin{bsp}[Geometrische Reihe]
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\[
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\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = 1 + q + q^2 + q^{3} + \ldots
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.\] $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}$ konvergiert genau
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für alle $ q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$ und
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es gilt $\sum_{0=1}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q}$.
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\label{geometrischereihe}
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\end{bsp}
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\begin{proof}
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Folge der Partialsummen
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\[
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s_n = \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = \begin{cases}
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\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad q \neq 1 & q \neq 1 \\
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n + 1 & q = 1
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\end{cases}
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.\]
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Für $|q| < 1$ gilt $|q|^{n+1} \to 0$, $n \to \infty$
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\[
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\implies s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1 - q} \to \frac{1}{1-q} \quad \text{für } |q| < 1
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.\]
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Bleibt zu zeigen: $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} $ divergent für $|q| \ge 1$.
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Angenommen $\exists q \in \mathbb{C}$ mit $|q| \ge 1$ und
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$(s_n)_{n \in \N}$ konvergiert.
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Dann
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\[
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|q|^{n+1} = |\underbrace{s_{n+1}}_{\to s_*} - \underbrace{s_n}_{\to s_*}|
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.\]
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Widerspruch, da $|q|^{n+1} \ge 1$ für $|q| \ge 1$
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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Ist $\sum_{k}^{\infty} a_k$ konvergent, dann ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine
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Nullfolge.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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$a_{n+1} = s_{n+1} - s_n \to s_{\infty} - s_{\infty} = 0$, $n \to \infty$
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\end{proof}
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\begin{bem}
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Die Eigenschaft von $(a_k)_{k\in\N}$ eine Nullfolge zu sein,
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reicht nicht für die Konvergenz von $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ aus!
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\end{bem}
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\begin{bsp}[Harmonische Reihe]
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\[
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\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \qquad \text{ist strikt divergent}
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.\]
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\begin{proof}
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Folge der Partialsummen ist unbeschränkt:
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\begin{align*}
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S_{2^{m}} &= \sum_{k=1}^{2^{m}} \frac{1}{k}\\
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&=
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\underbrace{1}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{2}}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\ge 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\ge 4\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}} + \ldots +
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\underbrace{\frac{1}{2^{n-1}+1} + \ldots + \frac{1}{2^{m}}}_{\ge 2^{m-1} \cdot \frac{1}{2^{m}} = \frac{1}{2}} \ge \frac{m}{2}
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\end{bsp}
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\begin{bsp}
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\[
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\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}
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.\]
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\begin{enumerate}[a)]
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\item \[
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\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = (1-1) + (1-1) + \ldots =
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0 + 0 + \ldots = 0
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.\]
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\item
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\[
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\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = 1 + (-1+1) + (-1+1) + \ldots
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= 1 + 0 + 0 = 1
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\]
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\item
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\[
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\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} = \frac{1}{1 -(-1)} = \frac{1}{2}
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.\]
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\end{enumerate}
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Alles Falsch (Kostina: ,,Alles Schrot!''), weil $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} $ divergent.
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\end{bsp}
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\subsubsection{Konvergenzkriterien}
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Die Konvergenz einer Reihe ist nichts anderes als die Konvergenz der
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Folge der Partialsummen.
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\begin{satz}
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\begin{enumerate}
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\item
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\[
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\sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_{\infty} \quad \text{und} \quad \sum_{k=1}^{\infty} b_k = b_{\infty}
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.\] $\implies$
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\[
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\sum_{k=1}^{\infty} (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda a_{\infty} + \mu b_{\infty} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{C}
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.\]
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\item Ist $a_k \in \R$ mit $a_k \ge 0$ $\forall k \in \N$
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dann gilt: $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konvergent $\iff$ $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ nach oben beschränkt.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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(1) folgt aus der linearen Kombination von Folgen. \\
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(2) Falls $a_k \ge 0 \implies$ Folge $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ ist monoton wachsend.
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Für solche Folgen gilt: Konvergenz $\iff$ Beschränktheit
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\end{proof}
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\begin{satz}[Leibniz-Kriterium]
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Ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine monoton fallende reelle Nullfolge, so
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ist die alternierende Reihe:
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\[
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\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_k = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots
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.\] konvergent mit folgender Abschätzung:
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\[
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\left| \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k} a_k \right| \le |a_n| \quad \forall n \in \N
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.\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Aus Voraussetzungen: $a_k \ge 0$, $s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k$.
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\[
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s_{2n+1} = s_{2n-1} + a_{2n} - a_{2n+1} \stackrel{a_{2n} \ge a_{2n+1}}{\ge } s_{2n-1}
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.\] Folge mit ungeraden Indizes: $s_1 \le s_3 \le s_5 \le \ldots$.
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\[
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s_{2n} = s_{2n-2} - a_{2n-1} + a_{2n} \le s_{2n-2}
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.\] Folge mit geraden Indizes: $ \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$
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$s_{2n} > s_{2n+1}$ ($s_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1})$ \\
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$s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$, $n \to \infty$
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$s_1 \ge s_3 \le s_5 \le \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$
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$\implies [s_{2n+1}, s_{2n}]$ bilden eine Intervallschachtelung, d.h.
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\[
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\exists s_{\infty} = \bigcap_{k = 1}^{\infty} [s_{2k +1}, s_{2k}]
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.\] $s_{\infty} = \lim_{n \to \infty} s_{2n+1} = \lim_{n \to \infty} s_{2n}$
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\[
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s_{2n+1} \le s_{\infty} \le s_{2n}
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.\] Damit gilt $\forall k \in \N$ :
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\[
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0 \le s_{\infty} - s_{2n+1} \le s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1}
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.\] und
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\[
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0 \ge s_{\infty} - s_{2n} \ge s_{2n+1} - s_{2n} = - a_{2n+1} \ge - a_{2n}
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.\] $\implies$
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\[
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0 \le |s_{\infty} - s_n| \le a_n \to 0 \quad n \to \infty
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.\] und
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\[
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\left|\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}_{s_{\infty}} - \sum_{k=1}^{n} a_k \right|
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= \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k\right| \le a_n
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.\]
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\end{proof}
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\begin{bsp}[,,Alternierende harmonische Reihe'']
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\[
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\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots
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.\] ist konvergent
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\end{bsp}
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\begin{definition}
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Eine Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ heißt absolut konvergent falls
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$\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| $ konvergiert.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ist
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konvergent nach Leibniz Kriterium, aber nicht absolut konvergent, weil
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$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergiert.
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\end{bsp}
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\begin{satz}
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Aus absoluter Konvergenz einer Reihe folgt deren Konvergenz.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei $\sum_{k}^{} a_k $ absolut konvergent, d.h.
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$\sum_{k}^{} |a_k|$ konvergiert.
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\[
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s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k, t_n := \sum_{k=1}^{n} |a_k|
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.\] Dann gilt für $m, n \in \N$ mit $m \ge n$.
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\[
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|s_m - s_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right|
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\le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| = t_m - t_n = |t_m - t_n|
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.\]
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Da $(t_n)_{n \in \N}$ konvergiert $\implies (t_n)_{n \in \N}$ ist C.F.
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Aus $|s_m - s_n| \le |t_m - t_n| < \epsilon$
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\begin{align*}
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&\implies (s_n)_{n \in \N} \text{ ist auch C.F. in $\R$ bzw. $\mathbb{C}$} \\
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&\implies \sum_{k} a_k \quad \text{konvergiert}
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\end{document}
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Reference in New Issue
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