update la10

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                 $\implies \text{ker } \left.p\right|_{K[x]_{< n}} = \{0\} $.
 
                 Sei nun $A \in K[x] / f K[x]$. Dann ex. ein $g \in K[x]$ mit $A = g + f K[x]$.
-                Definiere nun rekursiv durch Polynomdivision:
+                Teile nun $g$ durch $f$ mit Rest. Dann ex. $q, r \in K[x]$, s.d.
-                \[
-                    g_k := q_{k+1} \cdot f + g_{k+1}
-                .\]
-                mit $g_1 := g$. Dabei gilt nach VL $\text{deg}(g_{k+1}) < \text{deg}(g_k)$. Wähle
-                das erste $g_k$, sodass gilt $\text{deg}(g_k) < n$. Damit folgt
                 \begin{align*}
-                    &g = g_1 = q_1 \cdot f + \ldots + q_{k} \cdot f + g_k = (q_1 + \ldots + q_k) \cdot f + g_k \\
+                    &g = q \cdot f + r \\
-                    \implies &g - g_k = \underbrace{(q_1 + \ldots + q_k) \cdot f}_{\in f K[x]}
+                    \implies &g- r = \underbrace{q \cdot f}_{\in f K[x]}\\
+                    \implies& g \sim r
                 .\end{align*}
-                $\implies$ $g \sim g_k$ und wegen $\text{deg}(g_k) < n$ folgt $g_k \in K[x]_{< n}$.\\
+                Dabei gilt nach VL $\text{deg}(r) < \text{deg}(f) = n \implies r \in K[x]_{< n}$.\\
-                $\implies \left.p\right|_{K[x]_{<n}}(g_k) = A$.
+                $\implies \left.p\right|_{K[x]_{<n}}(r) = r + f K[x] \stackrel{r \; \sim \; g}{=} g + f K[x] = A$.
 
                 Damit ist $\left.p\right|_{K[x]_{<n}}$ bijektiv und damit Isomorphismus, da
                 $K[x]_{<n}$ endlich dimensional folgt direkt