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lecture.cls

@@ -14,6 +14,14 @@
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+\DeclareOption{uebung}{
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 % PAGE GEOMETRY
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     left=15mm,

ws2019/la/uebungen/la5.tex

@@ -1,9 +1,21 @@
-\documentclass{../../../lecture}
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
 
 \usepackage{enumerate}
+\usepackage{array}
+
+\title{Übungsblatt Nr. 5}
+\author{Christian Merten, Mert Biyikli}
 
 \begin{document}
 
+\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}}
+    \hline
+    Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline
+    Punkte & & & & & & \\[5mm] \hline
+\end{tabular}
+
+\vspace{5mm}
+
 \begin{aufgabe}
 
 Es sei $K$ Körper, $M$ eine Menge und $m_0 \in M$ ein fest gewähltes
@@ -11,11 +23,23 @@ Element. In \\$V = \text{Abb}(M, K)$ betrachten wir die Teilmengen
 $U = \{f \in V  \mid f(m_0) = 0\} $ und
 \\$W = \{f \in V  \mid \forall x, y \in M \colon f(x) = f(y)\} $ 
 
-Zunächst: $K$ ist K-Vektorraum mit $(K, +, 0)$. Damit wird
-$V = \text{Abb}(M, K)$ zum Vektorraum.
-
 \begin{enumerate}[a)]
-    \item Beh.: $U \subset V$ ist Untervektorraum.
+    \item Zunächst: $K$ ist K-Vektorraum. Damit wird
+        $V = \text{Abb}(M, K)$ mit $0_V(m) = 0 \text{ } \forall m \in M$ zum K-Vektorraum.
+
+        Damit eine Teilmenge $M \subset V$ zum Untervektorraum von $V$ wird, muss gelten:
+        \[
+            m_1 + m_2 \in M \text{ } \forall m_1,m_2 \in M 
+        .\] und
+        \[
+            a m_1 \in M \text{ } \forall m_1 \in M, a \in K
+        .\] Die Inversen der zugehörigen Untergruppe sind gegeben durch
+        \[
+            m^{-1} = (-1)_K m \in M \text{ } \forall m \in M
+        .\] 
+
+        
+        Beh.: $U \subset V$ ist Untervektorraum.
 
         \begin{proof}
             Seien $f_1, f_2 \in U$, $a \in K$ beliebig. Zu zeigen:
@@ -48,11 +72,15 @@ $V = \text{Abb}(M, K)$ zum Vektorraum.
     \item Beh.: $U \cap W = \{0\} $
 
         \begin{proof}
+            Zunächst: $0_V(m_0) = 0 \implies 0_V \in U$ und
+            $0_V(x) = 0 = 0_V(y) \text{ } \forall x,y \in M \implies 0_V \in W$. Daraus folgt
+            $0_V \in U \cap W \implies U \cap W \neq \emptyset$.
+
             Sei $f \in U \cap W$ beliebig:
             \begin{align*}
                 &\forall m \in M \colon f(m) = f(m_0) \land f(m_0) = 0 \\
                 \implies &\forall m \in M \colon f(m) = 0 \\
-                \implies &f = 0
+                \implies &f = 0_V
             .\end{align*}
         \end{proof}
     \item Beh.: $V = U + W$
@@ -123,13 +151,13 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
         \begin{align*}
             \partial(v_1+v_2)(i) &= (i+1) \cdot (v_1 + v_2)(i+1) \\
                                &= (i+1) \cdot (v_1(i+1) + v_2(i+1)) \\
-                               &= (i+1)v_1(i+1) + (i+1)v_2(i+1) \\
+                               &= (i+1) \cdot v_1(i+1) + (i+1) \cdot v_2(i+1) \\
                                &= \partial(v_1)(i) + \partial(v_2)(i)
         .\end{align*}
         \begin{align*}
-            \partial(a v_1)(i) &= (i + 1)(a v_1)(i+1) \\
-                               &= a (i+1) v_1 (i+1) \\
-                               &= a \partial(v_1)(i)
+            \partial(a v_1)(i) &= (i + 1) \cdot (a v_1)(i+1) \\
+                               &= a (i+1) \cdot v_1 (i+1) \\
+                               &= a \cdot \partial(v_1)(i)
         .\end{align*}
             
         \end{proof}
@@ -139,17 +167,17 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
 
             Seien $v_1, v_2 \in V$ mit $\psi(v_1) = \psi(v_2)$. Dann
             \begin{align*}
-                &\psi(v_1) = \left( f_1(0), f_1(1), \ldots, f_1(n+1) \right)
-                = \left( f_2(0), f_2(1), \ldots, f_2(n+1) \right) = \psi(v_2)\\
-                \implies& f_1(k) = f_2(k) \text{  }\forall k \in \{0, \ldots, n+1\}  \\
-                \implies& f_1 = f_2
+                &\psi(v_1) = \left( v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \right)
+                = \left( v_2(0), v_2(1), \ldots, v_2(n+1) \right) = \psi(v_2)\\
+                \implies& v_1(k) = v_2(k) \text{  }\forall k \in \{0, \ldots, n+1\}  \\
+                \implies& v_1 = v_2
             .\end{align*}
             $\implies \psi$ ist injektiv.
 
-            Sei $c = (c_0, \ldots, c_{n+1}) \in K^{n+2}$, dann ex. ein $f \in V$, s.d.
+            Sei $c = (c_0, \ldots, c_{n+1}) \in K^{n+2}$, dann ex. ein $v \in V$, s.d.
             \begin{align*}
-                &f(k) = c_k \text{ } \forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
-                \implies &\psi(f) = c
+                &v(k) = c_k \text{ } \forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
+                \implies &\psi(v) = c
             .\end{align*}
             $\implies \psi$ ist surjektiv.
         \end{proof}
@@ -175,32 +203,63 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
             k+1 \neq 0$ $\forall k \in \{0, \ldots, n\} $.
             \begin{align*}
                 &k + 1 \neq 0 \\
-                \stackrel{k > 0}{\iff} & k + 1 \neq \text{char}K \\
-                \stackrel{0 \le k \le n}\iff & \text{char}K = 0 \lor \text{char}K > n + 1 \\
+                \stackrel{k \ge  0}{\iff} & k + 1 \neq \text{char}K \\
+                \stackrel{1 \le k + 1 \le n + 1}\iff & \text{char}K = 0 \lor \text{char}K > n + 1 \\
                 \iff & \text{char}K \not\in \{2, \ldots, n+1\}
             .\end{align*}
         \end{proof}
-    \item Beh.: $\psi(\text{ker }\partial) =
-        \left\{ (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}})  \mid c \in K\right\} $
-
-        \begin{proof}
-            Zunächst: $\text{ker }\partial$.
-
-            Damit $r \in V$ im Kern von  $\partial$ liegt, muss gelten:
-            $\partial(r)(k) = 0$ $\forall k \in \{0, \ldots, n\}$
+    \item Bestimmen Sie $\psi(\text{ker }K) \subset K^{n+2}$.
+        \begin{proof}[Lösung]
             \begin{align*}
-                &\partial(r)(k) = (k+1) \cdot r(k+1) \\
-                \stackrel{k+1 \neq 0}{\implies} &r(k+1) = 0
+                &\ker \partial =
+                \{f \in V  \mid \left( \partial(f) \right)(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots n\}  \}
             .\end{align*}
-            Damit: $r(k) = 0$ $\forall k \in \{1, \ldots, n+1\} $.
+            Damit $f \in \text{ker } \partial$, muss folglich gelten:
             \begin{align*}
-                \psi(r) &= \left( r(0), r(1), \ldots, r(n+1) \right) \\
-                        &= (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}}) \text{ } \forall c \in K
+                &(\partial(f))k = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\} 
             .\end{align*}
-            Das heißt:
-            \[
-            \psi(\text{ker }\partial) = \left\{ (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}})  \mid c \in K\right\} 
-            .\] 
+            $\iff$
+            \begin{align*}
+                (k+1) \cdot f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\} 
+            .\end{align*}
+            $\stackrel{K \text{ Körper}}{\iff}$
+            \begin{align*}
+                k+1 = 0 \lor f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\} 
+            .\end{align*}
+
+            Aus (c) folgt: $k+1 \neq 0 \iff \text{char K} \not\in \{2, \ldots, n+1\} $.
+
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item $\text{char }K \not\in \{2, \ldots, n+1\} $. Dann ist $k + 1 \neq 0$, d.h.
+                    \begin{align*}
+                        &f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}  \\
+                        \implies &f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\}  \\
+                        \implies & \text{ker } \partial = \{f \in V  \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \} 
+                    .\end{align*}
+                    Damit folgt:
+                    \[
+                        \psi(\text{ker }\partial) =
+                        \{(a, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}})  \mid c \in K\} 
+                    .\] 
+                \item $\text{char }K \in \{2, \ldots, n+1\} $. Dann gilt für $k = \text{char }K-1$:
+                    \[
+                        k + 1 = \text{char } K - 1 + 1 = \text{char } K = 0_K
+                    .\] 
+                    Für alle $k \in \{0, 1, \ldots, n\}, k \neq \text{char } K - 1$, folgt analog zu (i):
+                    \[
+                        f(k + 1) = 0
+                    .\] 
+                    Damit folgt:
+                    \[
+                        \text{ker } \partial
+                        = \left\{ f \in V  \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\}
+                            \setminus \{\text{char } K - 1\} \right\} 
+                    .\] Damit ergibt sich:
+                    \[
+                        \psi(\text{ker } \partial) = \{ (a_0, a_1, \ldots, a_{n+1}) \in K^{n+2} 
+                        \mid a_k = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \setminus \{\text{char }K - 1\}  \}
+                    .\] 
+            \end{enumerate}
         \end{proof}
 \end{enumerate}
 
@@ -221,8 +280,8 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
                     = f^{*}(\varphi_1) + f^{*}(\varphi_2) \\
                     f^{*}(a \varphi_1) &=
                     (a \varphi_1) \circ f
-                    \stackrel{\varphi_1 \text{ linear}}{=}
-                    a ((\varphi_1) \circ f)
+                    =
+                    a (\varphi_1 \circ f)
                     = a f^{*}(\varphi_1)
                 .\end{align*}
             \end{proof}
@@ -234,14 +293,14 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
             \begin{proof}
                 Seien $u_1, u_2 \in U$, $a \in K$ und $f \in U^{*}$ beliebig.
                 \begin{align*}
-                    \text{ev}(u_1 + u_2)(f) &=
+                    (\text{ev}(u_1 + u_2))(f) &=
                     f(u_1 + u_2)
                     \stackrel{f \text{ linear}} {=} f(u_1) + f(u_2)
-                    = \text{ev}(u_1)(f) + \text{ev}(u_2)(f) \\
-                    \text{ev}(a u_1)(f) &=
+                    = (\text{ev}(u_1))(f) + (\text{ev}(u_2))(f) \\
+                    \left(\text{ev}(a u_1)\right)(f) &=
                     f(a u_1)
                     \stackrel{f \text{ linear}} {=} a f(u_1)
-                    = a \cdot \text{ev}(u_1)(f)
+                    = a \cdot (\text{ev}(u_1))(f)
                 .\end{align*}
             \end{proof}
     \end{enumerate}
@@ -251,7 +310,7 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
     Es sei $K$ ein Körper und $U, V$ zwei $K$-Vektorräume.
 
     \begin{enumerate}[a)]
-        \item Die Abbildung $*$:
+        \item Beh.: Die Abbildung $*$:
             $\text{Hom}_K(U,V) \to \text{Hom}_K(V^{*}, U^{*})$
             ist linear.
 
@@ -260,19 +319,36 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
                 $\varphi \in V^{*}$
                 und $a \in K$ beliebig.
                 \begin{align*}
-                    *(f_1 + f_2)(\varphi) &= (f_1 + f_2)^{*}(\varphi)
+                    (*(f_1 + f_2))(\varphi) &= ((f_1 + f_2)^{*})(\varphi)
                     = \varphi \circ (f_1 + f_2)
                     = \varphi \circ f_1 + \varphi \circ f_2
-                    = *(f_1)(\varphi) + *(f_2)(\varphi) \\
-                    *(a f_1)(\varphi)
-                    &= (a f_1)*(\varphi)
+                    = (*(f_1))(\varphi) + (*(f_2))(\varphi) \\
+                    (*(a f_1))(\varphi)
+                    &= ((a f_1)^{*})(\varphi)
                     = \varphi \circ (a f_1)
                     = a (\varphi \circ f_1)
-                    = a*(f_1)(\varphi)
+                    = a\cdot (*(f_1))(\varphi)
                 .\end{align*}
             \end{proof}
-        \item Ist $f\colon U \to V$ linear und surjektiv, so ist
+        \item Beh.: Ist $f\colon U \to V$ linear und surjektiv, so ist
             $f^{*}\colon V^{*} \to U^{*}$ injektiv.
+
+            \begin{proof}
+                Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in \text{Hom}_K(V,K) = V^{*}$ mit
+                $f^{*}(\varphi_1) = f^{*}(\varphi_2)$. Dann folgt:
+                \begin{align*}
+                    \varphi_1 \circ f = \varphi_2 \circ f
+                .\end{align*}
+                das heißt:
+                \begin{align*}
+                    \forall u \in U\colon \varphi_1(f(u)) = \varphi_2(f(u))
+                .\end{align*}
+                Wegen $f$ surjektiv gilt: $V = f(U)$ und damit:
+                \begin{align*}
+                     \forall v \in V\colon \varphi_1(v) = \varphi_2(v)
+                .\end{align*}
+                $\implies \varphi_1 = \varphi_2$
+            \end{proof}
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}