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@@ -14,6 +14,14 @@
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\lhead{\@title}
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+125 -49
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@@ -1,9 +1,21 @@
\documentclass{../../../lecture}
\documentclass[uebung]{../../../lecture}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\title{Übungsblatt Nr. 5}
\author{Christian Merten, Mert Biyikli}
\begin{document}
\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}}
\hline
Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline
Punkte & & & & & & \\[5mm] \hline
\end{tabular}
\vspace{5mm}
\begin{aufgabe}
Es sei $K$ Körper, $M$ eine Menge und $m_0 \in M$ ein fest gewähltes
@@ -11,11 +23,23 @@ Element. In \\$V = \text{Abb}(M, K)$ betrachten wir die Teilmengen
$U = \{f \in V \mid f(m_0) = 0\} $ und
\\$W = \{f \in V \mid \forall x, y \in M \colon f(x) = f(y)\} $
Zunächst: $K$ ist K-Vektorraum mit $(K, +, 0)$. Damit wird
$V = \text{Abb}(M, K)$ zum Vektorraum.
\begin{enumerate}[a)]
\item Beh.: $U \subset V$ ist Untervektorraum.
\item Zunächst: $K$ ist K-Vektorraum. Damit wird
$V = \text{Abb}(M, K)$ mit $0_V(m) = 0 \text{ } \forall m \in M$ zum K-Vektorraum.
Damit eine Teilmenge $M \subset V$ zum Untervektorraum von $V$ wird, muss gelten:
\[
m_1 + m_2 \in M \text{ } \forall m_1,m_2 \in M
.\] und
\[
a m_1 \in M \text{ } \forall m_1 \in M, a \in K
.\] Die Inversen der zugehörigen Untergruppe sind gegeben durch
\[
m^{-1} = (-1)_K m \in M \text{ } \forall m \in M
.\]
Beh.: $U \subset V$ ist Untervektorraum.
\begin{proof}
Seien $f_1, f_2 \in U$, $a \in K$ beliebig. Zu zeigen:
@@ -48,11 +72,15 @@ $V = \text{Abb}(M, K)$ zum Vektorraum.
\item Beh.: $U \cap W = \{0\} $
\begin{proof}
Zunächst: $0_V(m_0) = 0 \implies 0_V \in U$ und
$0_V(x) = 0 = 0_V(y) \text{ } \forall x,y \in M \implies 0_V \in W$. Daraus folgt
$0_V \in U \cap W \implies U \cap W \neq \emptyset$.
Sei $f \in U \cap W$ beliebig:
\begin{align*}
&\forall m \in M \colon f(m) = f(m_0) \land f(m_0) = 0 \\
\implies &\forall m \in M \colon f(m) = 0 \\
\implies &f = 0
\implies &f = 0_V
.\end{align*}
\end{proof}
\item Beh.: $V = U + W$
@@ -123,13 +151,13 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
\begin{align*}
\partial(v_1+v_2)(i) &= (i+1) \cdot (v_1 + v_2)(i+1) \\
&= (i+1) \cdot (v_1(i+1) + v_2(i+1)) \\
&= (i+1)v_1(i+1) + (i+1)v_2(i+1) \\
&= (i+1) \cdot v_1(i+1) + (i+1) \cdot v_2(i+1) \\
&= \partial(v_1)(i) + \partial(v_2)(i)
.\end{align*}
\begin{align*}
\partial(a v_1)(i) &= (i + 1)(a v_1)(i+1) \\
&= a (i+1) v_1 (i+1) \\
&= a \partial(v_1)(i)
\partial(a v_1)(i) &= (i + 1) \cdot (a v_1)(i+1) \\
&= a (i+1) \cdot v_1 (i+1) \\
&= a \cdot \partial(v_1)(i)
.\end{align*}
\end{proof}
@@ -139,17 +167,17 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
Seien $v_1, v_2 \in V$ mit $\psi(v_1) = \psi(v_2)$. Dann
\begin{align*}
&\psi(v_1) = \left( f_1(0), f_1(1), \ldots, f_1(n+1) \right)
= \left( f_2(0), f_2(1), \ldots, f_2(n+1) \right) = \psi(v_2)\\
\implies& f_1(k) = f_2(k) \text{ }\forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
\implies& f_1 = f_2
&\psi(v_1) = \left( v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \right)
= \left( v_2(0), v_2(1), \ldots, v_2(n+1) \right) = \psi(v_2)\\
\implies& v_1(k) = v_2(k) \text{ }\forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
\implies& v_1 = v_2
.\end{align*}
$\implies \psi$ ist injektiv.
Sei $c = (c_0, \ldots, c_{n+1}) \in K^{n+2}$, dann ex. ein $f \in V$, s.d.
Sei $c = (c_0, \ldots, c_{n+1}) \in K^{n+2}$, dann ex. ein $v \in V$, s.d.
\begin{align*}
&f(k) = c_k \text{ } \forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
\implies &\psi(f) = c
&v(k) = c_k \text{ } \forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
\implies &\psi(v) = c
.\end{align*}
$\implies \psi$ ist surjektiv.
\end{proof}
@@ -175,32 +203,63 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
k+1 \neq 0$ $\forall k \in \{0, \ldots, n\} $.
\begin{align*}
&k + 1 \neq 0 \\
\stackrel{k > 0}{\iff} & k + 1 \neq \text{char}K \\
\stackrel{0 \le k \le n}\iff & \text{char}K = 0 \lor \text{char}K > n + 1 \\
\stackrel{k \ge 0}{\iff} & k + 1 \neq \text{char}K \\
\stackrel{1 \le k + 1 \le n + 1}\iff & \text{char}K = 0 \lor \text{char}K > n + 1 \\
\iff & \text{char}K \not\in \{2, \ldots, n+1\}
.\end{align*}
\end{proof}
\item Beh.: $\psi(\text{ker }\partial) =
\left\{ (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}}) \mid c \in K\right\} $
\begin{proof}
Zunächst: $\text{ker }\partial$.
Damit $r \in V$ im Kern von $\partial$ liegt, muss gelten:
$\partial(r)(k) = 0$ $\forall k \in \{0, \ldots, n\}$
\item Bestimmen Sie $\psi(\text{ker }K) \subset K^{n+2}$.
\begin{proof}[Lösung]
\begin{align*}
&\partial(r)(k) = (k+1) \cdot r(k+1) \\
\stackrel{k+1 \neq 0}{\implies} &r(k+1) = 0
&\ker \partial =
\{f \in V \mid \left( \partial(f) \right)(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots n\} \}
.\end{align*}
Damit: $r(k) = 0$ $\forall k \in \{1, \ldots, n+1\} $.
Damit $f \in \text{ker } \partial$, muss folglich gelten:
\begin{align*}
\psi(r) &= \left( r(0), r(1), \ldots, r(n+1) \right) \\
&= (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}}) \text{ } \forall c \in K
&(\partial(f))k = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}
.\end{align*}
Das heißt:
\[
\psi(\text{ker }\partial) = \left\{ (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}}) \mid c \in K\right\}
.\]
$\iff$
\begin{align*}
(k+1) \cdot f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}
.\end{align*}
$\stackrel{K \text{ Körper}}{\iff}$
\begin{align*}
k+1 = 0 \lor f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\}
.\end{align*}
Aus (c) folgt: $k+1 \neq 0 \iff \text{char K} \not\in \{2, \ldots, n+1\} $.
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\text{char }K \not\in \{2, \ldots, n+1\} $. Dann ist $k + 1 \neq 0$, d.h.
\begin{align*}
&f(k+1) = 0 \text{ } \forall k \in \{0, 1, \ldots, n\} \\
\implies &f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \\
\implies & \text{ker } \partial = \{f \in V \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \}
.\end{align*}
Damit folgt:
\[
\psi(\text{ker }\partial) =
\{(a, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}}) \mid c \in K\}
.\]
\item $\text{char }K \in \{2, \ldots, n+1\} $. Dann gilt für $k = \text{char }K-1$:
\[
k + 1 = \text{char } K - 1 + 1 = \text{char } K = 0_K
.\]
Für alle $k \in \{0, 1, \ldots, n\}, k \neq \text{char } K - 1$, folgt analog zu (i):
\[
f(k + 1) = 0
.\]
Damit folgt:
\[
\text{ker } \partial
= \left\{ f \in V \mid f(k) = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\}
\setminus \{\text{char } K - 1\} \right\}
.\] Damit ergibt sich:
\[
\psi(\text{ker } \partial) = \{ (a_0, a_1, \ldots, a_{n+1}) \in K^{n+2}
\mid a_k = 0 \text{ } \forall k \in \{1, \ldots, n+1\} \setminus \{\text{char }K - 1\} \}
.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{enumerate}
@@ -221,8 +280,8 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
= f^{*}(\varphi_1) + f^{*}(\varphi_2) \\
f^{*}(a \varphi_1) &=
(a \varphi_1) \circ f
\stackrel{\varphi_1 \text{ linear}}{=}
a ((\varphi_1) \circ f)
=
a (\varphi_1 \circ f)
= a f^{*}(\varphi_1)
.\end{align*}
\end{proof}
@@ -234,14 +293,14 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
\begin{proof}
Seien $u_1, u_2 \in U$, $a \in K$ und $f \in U^{*}$ beliebig.
\begin{align*}
\text{ev}(u_1 + u_2)(f) &=
(\text{ev}(u_1 + u_2))(f) &=
f(u_1 + u_2)
\stackrel{f \text{ linear}} {=} f(u_1) + f(u_2)
= \text{ev}(u_1)(f) + \text{ev}(u_2)(f) \\
\text{ev}(a u_1)(f) &=
= (\text{ev}(u_1))(f) + (\text{ev}(u_2))(f) \\
\left(\text{ev}(a u_1)\right)(f) &=
f(a u_1)
\stackrel{f \text{ linear}} {=} a f(u_1)
= a \cdot \text{ev}(u_1)(f)
= a \cdot (\text{ev}(u_1))(f)
.\end{align*}
\end{proof}
\end{enumerate}
@@ -251,7 +310,7 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
Es sei $K$ ein Körper und $U, V$ zwei $K$-Vektorräume.
\begin{enumerate}[a)]
\item Die Abbildung $*$:
\item Beh.: Die Abbildung $*$:
$\text{Hom}_K(U,V) \to \text{Hom}_K(V^{*}, U^{*})$
ist linear.
@@ -260,19 +319,36 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
$\varphi \in V^{*}$
und $a \in K$ beliebig.
\begin{align*}
*(f_1 + f_2)(\varphi) &= (f_1 + f_2)^{*}(\varphi)
(*(f_1 + f_2))(\varphi) &= ((f_1 + f_2)^{*})(\varphi)
= \varphi \circ (f_1 + f_2)
= \varphi \circ f_1 + \varphi \circ f_2
= *(f_1)(\varphi) + *(f_2)(\varphi) \\
*(a f_1)(\varphi)
&= (a f_1)*(\varphi)
= (*(f_1))(\varphi) + (*(f_2))(\varphi) \\
(*(a f_1))(\varphi)
&= ((a f_1)^{*})(\varphi)
= \varphi \circ (a f_1)
= a (\varphi \circ f_1)
= a*(f_1)(\varphi)
= a\cdot (*(f_1))(\varphi)
.\end{align*}
\end{proof}
\item Ist $f\colon U \to V$ linear und surjektiv, so ist
\item Beh.: Ist $f\colon U \to V$ linear und surjektiv, so ist
$f^{*}\colon V^{*} \to U^{*}$ injektiv.
\begin{proof}
Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in \text{Hom}_K(V,K) = V^{*}$ mit
$f^{*}(\varphi_1) = f^{*}(\varphi_2)$. Dann folgt:
\begin{align*}
\varphi_1 \circ f = \varphi_2 \circ f
.\end{align*}
das heißt:
\begin{align*}
\forall u \in U\colon \varphi_1(f(u)) = \varphi_2(f(u))
.\end{align*}
Wegen $f$ surjektiv gilt: $V = f(U)$ und damit:
\begin{align*}
\forall v \in V\colon \varphi_1(v) = \varphi_2(v)
.\end{align*}
$\implies \varphi_1 = \varphi_2$
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{aufgabe}