diff --git a/lecture.cls b/lecture.cls index cec1f4c..12979f2 100644 --- a/lecture.cls +++ b/lecture.cls @@ -213,7 +213,7 @@ } % replace all relations with align characters (&) and add the needed padding \regex_replace_all:nnN - { (\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) } + { (\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) } { \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} } \l__lec_text_tl \l__lec_text_tl diff --git a/sose2020/ana/lectures b/sose2020/ana/lectures index f4c36cb..0368910 160000 --- a/sose2020/ana/lectures +++ b/sose2020/ana/lectures @@ -1 +1 @@ -Subproject commit f4c36cb12910467bc75b2e19d99fa0090c9a9b4e +Subproject commit 0368910241ebb1c6cc82f15ad0ddfabe8a4fbaca diff --git a/sose2020/num/uebungen/num4.pdf b/sose2020/num/uebungen/num4.pdf index 06a0f19..9cc4363 100644 Binary files a/sose2020/num/uebungen/num4.pdf and b/sose2020/num/uebungen/num4.pdf differ diff --git a/sose2020/num/uebungen/num4.tex b/sose2020/num/uebungen/num4.tex index dbe9b31..55ca4e6 100644 --- a/sose2020/num/uebungen/num4.tex +++ b/sose2020/num/uebungen/num4.tex @@ -98,7 +98,7 @@ \quad \text{also insbes.} \quad m \Vert u_{k} \Vert_{\infty} \le \Vert u_k \Vert_1 \quad \forall k \in \N .\] - Wegen $\Vert u_k \Vert = 1$ $\forall k \in \N$, folgt also + Wegen $\Vert u_k \Vert_{\infty} = 1$ $\forall k \in \N$, folgt also \[ m \le \Vert u_k\Vert_1 \quad \forall k \in \N \quad \contr \text{ zu } \Vert u_k \Vert \xrightarrow{k \to \infty} 0 diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf b/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf index e3497a4..0bc7685 100644 Binary files a/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf and b/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf differ diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex b/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex index 3d6664d..25e1731 100644 --- a/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex +++ b/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex @@ -33,8 +33,10 @@ \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}} &= M R^2 \dot{\vartheta} =: p_{\vartheta} \\ \intertext{Damit folgt die Hamilton Funktion} - H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L = \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta + H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L \\ + &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} + - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta \\ + &= \frac{p_{\vartheta}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} \omega^2 \sin^2\vartheta + mgR\cos\vartheta .\end{align*} \item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist die kinetische Energie des Systems gegeben als @@ -51,23 +53,23 @@ \begin{align*} \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \dot{\vartheta} \\ - \frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta - mg R \sin\vartheta - = mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta - g) = - \dot{p}_{\vartheta} + \frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta + mg R \sin\vartheta + = mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta + g) = \dot{p}_{\vartheta} .\end{align*} \item Für stationäre Lösungen gilt $\dot{\vartheta} = 0$, also $p_{\vartheta} = 0$, damit folgt \begin{align*} - mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta -g ) &= 0 + mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta +g ) &= 0 .\end{align*} Als stationäre Lösungen folgen damit $\vartheta_1 = 0$ und $\vartheta_2 = \pi$, denn dann ist - $\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $- mRg = 0$, dies ist also + $\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $mRg = 0$, dies ist also nur möglich, falls Masse oder Radius 0 sind. Für $R \neq 0$, $m \neq 0$, $\sin\vartheta \neq 0$ und $\omega \neq 0$ folgt \begin{align*} - \underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta - g) &= 0 \\ - \implies R \omega^2 \cos\vartheta - g &= 0 \\ - \implies \vartheta &= \arccos \left( \frac{g}{R\omega^2} \right) + \underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta + g) &= 0 \\ + \implies R \omega^2 \cos\vartheta + g &= 0 \\ + \implies \vartheta &= \arccos \left( -\frac{g}{R\omega^2} \right) .\end{align*} Wie zu erwarten ist $\vartheta \xrightarrow{\omega \to \infty} \frac{\pi}{2}$. \end{enumerate} @@ -134,20 +136,21 @@ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{c}{v^2}R = 0 .\end{align*} - \item Sei $c > 0$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$. + \item Sei $c > 0$ und $\omega^2 = c$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$. Aus der DGL für $R$ folgt \begin{align*} - &\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\tilde{R} - r \frac{\partial \tilde R}{\partial r^2}}{r^2} \right) + \frac{c}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\ - \implies &\frac{1}{r} \left( - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r} - + \frac{c}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\ - \implies & - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{c}{v^2} \tilde R = 0 \\ - \implies & \tilde{R} = A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) \\ - \implies & R = \frac{A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)}{r} + &\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{r \frac{\partial \tilde R}{\partial r} - \tilde{R}}{r^2} \right) + \frac{\omega^2}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\ + \implies &\frac{1}{r} \left( \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r} + + \frac{\omega^2}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\ + \implies & \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{\omega^2}{v^2} \tilde R = 0 \\ + \implies & \tilde{R} = A \sin\left( \frac{\omega}{v}r \right) + B \cos\left( \frac{\omega}{v}r \right) \\ + \implies & R = \frac{A \sin\left( \frac{\omega}{v}r \right) + B \cos\left( \frac{\omega}{v}r \right)}{r} + \intertext{Mit der Vorraussetzung $R$ bei $r=0$ stetig folgt $B=0$:} + &R = \frac{A}{r} \sin \left( \frac{\omega}{v}r \right) .\end{align*} Damit folgt \[ - q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\sqrt{c} t - \delta) - \left( A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)\right) + q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\omega t - \delta) \sin\left(\frac{\omega}{v} r\right) .\] \end{enumerate} \end{aufgabe}