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@@ -0,0 +1,742 @@ |
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\documentclass{../../lecture} |
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\usepackage[]{tikz-cd} |
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\begin{document} |
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\stepcounter{section} |
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\section{p-adische Zahlen} |
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\subsection{Der Ring $\Z_p$ und sein Quotientenkörper $\Q_p$} |
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Sei $p \in \N$ eine im Folgenden fest gewählte Primzahl. |
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Genauso wie eine natürliche Zahl $m \in \N$ bezüglich der Basis $10$ dargestellt werden kann, |
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ist das auch bezüglich der Basis $p$ möglich. Jede natürliche Zahl besitzt also eine |
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$p$-adische Entwicklung der Form |
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\[ |
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m = a_0 + a_1 p + \ldots + a_n p^{n} |
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\] wobei die Koeffizienten $a_i$ in $\{0, 1, \ldots, p-1\} $ liegen. Die Darstellung ist damit eindeutig. |
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\begin{bsp}[] |
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Diese Darstellung finden wir durch sukzessives Dividieren mit Rest. Für $n = 216$ erhalten |
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wir für $p = 5$ |
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\begin{salign*} |
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216 &= 1 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 |
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.\end{salign*} |
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\end{bsp} |
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Um nun auch negative und sogar gebrochene Zahlen darstellen zu können, gehen wir zu unendlichen |
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Reihen über, wir betrachten also Objekte der Form |
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\[ |
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\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots |
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\] mit $0 \le a_i < p$ für $i \in \N_0$. |
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\begin{bem}[] |
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$\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ ist rein formal gemeint, d.h. bezeichnet einfach |
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die Folge der Partialsummen |
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\[ |
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s_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \in \Z, \quad n \in \N |
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.\] |
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\end{bem} |
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Um nun die ganzen $p$-adischen Zahlen zu definieren, betrachten wir |
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die Folgen der Restklassen |
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\[ |
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\overline{s}_{n} = s_n \; \text{mod } p^{n} \in \Z / p^{n} \Z |
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.\] |
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Zwischen den Ringen $\Z / p^{n} \Z$ existieren kanonische Projektionen |
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\begin{salign*} |
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\phi_{n}\colon \Z / p^{n+1}\Z &\to \Z / p^{n} \Z \\ |
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\overline{a} &\mapsto a \; \text{mod } p^{n} |
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,\end{salign*} d.h. es entsteht eine Folge |
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\[ |
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\Z / p \Z \xleftarrow{\phi_1} \Z / p^2 \Z \xleftarrow{\phi_2} \Z / p^{3} \Z \xleftarrow{\phi_3} \ldots |
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.\] Ein solches System wird projektives System genannt, genauer: |
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\begin{definition} |
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Ein projektives System ist |
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eine Folge von Mengen $(D_n)_{n \in \N}$ und eine Folge |
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|
von Abbildungen $(p_n)_{n \in \N}$ mit $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ |
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|
\[ |
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|
D_1 \xleftarrow{p_1} D_2 \leftarrow \ldots \leftarrow D_{n} \xleftarrow{p_{n}} D_{n+1} \leftarrow \ldots |
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|
|
.\] |
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Die Teilmenge |
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\[ |
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|
D = \varprojlim \; (D_n, p_n) = |
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|
\left\{ (a_n)_{n \in \N} \in \prod_{n=1}^{\infty} D_n \mid p_n(a_{n+1}) = a_n \forall n \in \N \right\} |
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|
|
\] heißt projektiver Limes des Systems. |
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|
\end{definition} |
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\begin{bem}[] |
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Falls die $D_n$ Ringe und die $p_n$ Ringhomomorphismen sind, wird |
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$\varprojlim \; (D_n, p_n)$ zum Teilring des Produktrings $\prod_{n=1}^{\infty} D_n $ |
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(leicht nachzurechnen). |
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\end{bem} |
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\begin{definition}[Ganze $p$-adische Zahlen] |
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Der projektive Limes des Systems $(\Z / p^{n} \Z, \phi_n)$ |
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\[ |
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\Z_p \coloneqq \varprojlim \; (\Z / p^{n} \Z, \phi_n) |
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\] heißt der Ring der ganzen $p$-adischen Zahlen. |
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\end{definition} |
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Notation: Setze im Folgenden $A_n \coloneqq \Z / p^{n} \Z$. Außerdem bezeichne |
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$\pi_n\colon \Z_p \to A_n$ die kanonische Projektion. |
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%\begin{definition}[Ganze $p$-adische Zahlen] |
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% Eine ganze $p$-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe |
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% \[ |
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% \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots |
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% \] mit $0 \le a_i < p$ für $i \in \N_0$. Die Menge dieser formalen Reihen |
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% wird mit $\Z_p$ bezeichnet. |
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%\end{definition} |
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%Womit können wir jetzt die ganzen Zahlen $\Z$ in den $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ identifizieren? |
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%Wie kann |
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%also beispielsweise $-1$ in $\Z_p$ dargestellt werden? |
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%Dazu stellen wir folgendes fest |
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% |
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%\begin{lemma} |
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% Sei $a \in \Z$. |
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% Die Restklasse $a \; \text{mod } p^{n} \in \Z / p^{n} \Z$ wird in eindeutiger |
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% Darstellung durch |
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% \[ |
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% a \equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) |
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% \] gegeben, wobei $0 \le a_i < p$ für $i \in \{0, \ldots, n-1\} $. |
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% \label{le-eind-rest} |
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%\end{lemma} |
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% |
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%\begin{proof} |
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% Per Induktion. Für $n = 1$ ist offenbar $a \equiv a_0 \; (\text{mod } p) $ mit $0 \le a_0 < p$. |
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% Sei nun die Behauptung für $n-1$ gezeigt. Dann ex. eine eindeutige Darstellung |
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% \begin{salign*} |
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% a &\equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} \; (\text{mod } p^{n-1}) |
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% \intertext{Also} |
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% a &= a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + g p^{n-1} |
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% \intertext{ |
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% für ein $g \in \Z$. Sei $0 \le a_{n-1} < p$, s.d. $g \equiv a_{n-1} \; (\text{mod } p) $, also |
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% $g = a_{n-1} + h p$ für $h \in \Z$. $a_{n-1}$ ist also eindeutig durch $a$ bestimmt und es |
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% folgt |
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% } |
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% a &= a_0 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + a_{n-1} p^{n-1} + h p^{n} |
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% \end{salign*} |
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%\end{proof} |
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% |
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%Jede ganze Zahl $a$ definiert nun eine Folge von Restklassen $\overline{s_n} = \overline{a} \in \Z / p^{n} \Z$ |
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%für $n \in \N$, die nach \ref{le-eind-rest} von der Gestalt |
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%\begin{salign*} |
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% s_1 &\equiv a_0 \; (\text{mod } p) \\ |
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%s_2 &\equiv a_0 + a_1p \; (\text{mod } p^2) \\ |
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|
%&\;\;\vdots |
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%\end{salign*} |
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%sind mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_0, a_1, \ldots \in \{0, \ldots, p-1\} $. Die Zahlenfolge |
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%\[ |
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%s_n = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} |
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%\] definiert nun eine ganze $p$-adische Zahl $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} \in \Z_p$, die |
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%wir die $p$-adische Entwicklung von $a$ nennen. |
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% |
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%\begin{bsp} |
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% Was ist jetzt die $p$-adische Entwicklung von $-1$? Es ist |
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% \begin{salign*} |
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% -1 &= (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} - p^{n} \\ |
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% \text{also }-1 &\equiv (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) |
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% .\end{salign*} |
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% Es ist also $-1 = (p-1) + (p-1)p + (p-1)p^2 + \ldots \in \Z_p$ die $p$-adische Entwicklung von $-1$. |
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% \label{bsp-minus1} |
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%\end{bsp} |
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%Um $\Z_p$ eine algebraische Struktur zu geben, könnten wir mit diesen Reihen mit Überträgen |
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%rechnen, so wie wir es von der Basis $10$ gewohnt sind. Einfacher wird es jedoch, wenn wir |
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%eine ganze $p$-adische Zahl $x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ mit |
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%der Folge der Restklassen $\overline{s_n} \in \Z / p^{n} \Z$ der Partialsummen identifizieren. |
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% |
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%Dazu benötigen wir noch eine Vorüberlegung und einige Begriffe. |
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% |
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%\begin{definition} |
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% Ein projektives System ist |
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% eine Folge von Mengen $(D_n)_{n \in \N}$ und eine Folge |
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% von Abbildungen $(p_n)_{n \in \N}$ mit $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ |
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% \[ |
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% D_1 \xleftarrow{p_1} D_2 \leftarrow \ldots \leftarrow D_{n} \xleftarrow{p_{n}} D_{n+1} \leftarrow \ldots |
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% .\] |
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% Die Teilmenge |
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% \[ |
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% D = \varprojlim \; (D_n, p_n) = |
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% \left\{ (a_n)_{n \in \N} \in \prod_{n=1}^{\infty} D_n \mid p_n(a_{n+1}) = a_n \forall n \in \N \right\} |
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|
|
% \] heißt projektiver Limes des Systems. |
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|
%\end{definition} |
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% |
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%\begin{bem}[] |
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% Falls die $D_n$ Ringe und die $p_n$ Ringhomomorphismen sind, wird |
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|
% $\varprojlim \; (D_n, p_n)$ zum Teilring des Produktrings $\prod_{n=1}^{\infty} D_n $ |
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% (leicht nachzurechnen). |
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%\end{bem} |
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%\begin{satz} |
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% Ordnet man jeder ganzen $p$-adischen Zahl |
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% \[ |
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% x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} |
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% \] die Folge $(\overline{s}_n)_{n \in \N}$ der Restklassen |
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% \[ |
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% \overline{s}_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \; (\text{mod } p^{n}) \in A_n |
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% \] zu, so erhält man eine Bijektion |
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% \[ |
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% \Z_p \xrightarrow{\sim} \varprojlim \; (A_n, \phi_n) |
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% .\] |
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%\end{satz} |
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% |
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%\begin{proof} |
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% Die Zuordnung ist wohldefiniert, da |
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% \[ |
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% s_{n+1} = a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n} p^{n} |
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% \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) |
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% = s_n |
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% .\] Die Bijektivität folgt direkt aus \ref{le-eind-rest} |
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%\end{proof} |
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%\begin{bem}[] |
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% Die Koeffizienten der $p$-adischen Entwicklung von $a \in \Z$ ergeben sich durch die Kongruenzen |
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% \[ |
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% a \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) |
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% \] mit $0 \le a_i < p$. Bei der Identifizierung $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$ geht |
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% $a \in \Z$ daher über in |
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% \[ |
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% (a \; \text{mod } p, a \; \text{mod } p^2, a \; \text{mod } p^{3} , \ldots ) \in |
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% \prod_{n=1}^{\infty} A_n |
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|
% .\] |
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% $\Z$ wird so zum Teilring von $\varprojlim \; (A_n, \phi_n)$. |
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% \label{bem-z-ident} |
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%\end{bem} |
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% |
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%\begin{bsp}[$\ref{bsp-minus1}$ fortgesetzt] |
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% Mit \ref{bem-z-ident} folgt also |
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% \[ |
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|
% -1 = (p-1, p^2-1, p^{3}-1, \ldots) \in \varprojlim \; (A_n, \phi_n) |
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|
% .\] |
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|
%\end{bsp} |
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%Wir identifizieren nun im Folgenden stets $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$. $\pi_n$ bezeichne |
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%den kanonischen Projektionshomomorphismus $\pi_n\colon \Z_p \to A_n$. |
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\begin{bem} |
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\begin{enumerate} |
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\item Per Definition ist $x \in \Z_p$ also ein Element $x \in \prod_{n=1}^{\infty} \Z / p^{n}\Z $ |
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mit der ,,Kompatibilitätsbedingung'': |
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\[ |
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x_{n+1} \equiv x_n \text{ (mod } p^{n}) |
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.\] |
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\item Die Inklusion |
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\[ |
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|
\Z \hookrightarrow \Z_p, a \mapsto (a \; \text{mod } p, a \; \text{mod } p^2, \ldots) |
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|
\] ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Damit wird $\Z$ zum Teilring von $\Z_p$. |
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\item $\Z_p$ erbt als Teilring nun also die komponentenweise Addition |
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und Multiplikation des Produktrings |
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$\prod_{n=1}^{\infty} A_n $, d.h. für $(a_n)_{n \in \N}, (b_n)_{n \in \N} \in \Z_p$ gilt |
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\[ |
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|
|
(a_n)_{n \in \N} + (b_n)_{n \in \N} = (a_n + b_n)_{n \in \N} |
|
|
|
\quad |
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|
(a_n)_{n \in \N} \cdot (b_n)_{n \in \N} = (a_n \cdot b_n)_{n \in \N} |
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|
|
.\] |
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|
|
%\item Versieht man $A_n$ mit der diskreten Topologie (d.h. alle Teilmengen sind offen) |
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% und $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ mit der Produkttopologie (die von den Urbildern der |
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% kanonischen Projektionen $\pi_n$ erzeugt wird), wird $\Z_p$ zu einem |
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% topologischen Ring. |
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\end{enumerate} |
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\end{bem} |
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%\begin{satz}[von Tychonoff] |
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% Ist $(X_i)_{i \in I}$ eine Familie kompakter topologischer Räume, dann ist |
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% auch das kartesische Produkt $\prod_{i \in I}^{} X_i $ kompakt bezüglich der |
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% Produkttopologie. |
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% \label{satz-tycho} |
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%\end{satz} |
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% |
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%\begin{proof} |
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% Der Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Ein Beweis findet sich beispielsweise |
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% in Klaus Jänich: \textit{Topologie}. |
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%\end{proof} |
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|
% |
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%\begin{korollar}[] |
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|
% $\Z_p$ ist kompakt. \label{kor-compact} |
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%\end{korollar} |
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|
% |
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|
%\begin{proof} |
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% Nach \ref{satz-tycho} ist $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ kompakt. Außerdem ist |
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% \[ |
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% \Z_p = \bigcap_{n \in \N} |
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|
% \left\{ x \in \prod_{n=1}^{\infty} A_n \mid \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) = \pi_n(x)\right\} |
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|
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% = \bigcap_{n \in \N} f_n^{-1}(\{0\}) |
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|
% \] mit $f_n \colon \prod_{n=1}^{\infty} A_n \to A_n, x \mapsto \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) - \pi_n(x)$. |
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|
% Es ist $f_n$ stetig, da $\pi_n$ per Definition der Produkttopologie und $\phi_n$ als |
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|
% Abbildung zwischen diskreten Räumen stetig sind. Da $\{0\} \subseteq A_n$ abgeschlossen, folgt |
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|
% die Behauptung. |
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%\end{proof} |
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\begin{lemma} |
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Es ist $\pi_n$ surjektiv und $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$ $\forall n \in \N$. |
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Insbesondere gilt |
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\[ |
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|
\Z_p / p^{n} \Z_p \stackrel{\sim }{=} \Z / p^{n} \Z = A_n |
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|
|
.\] |
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\label{le-kanproj} |
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|
|
\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Die Surjektivität ist klar. Z.z.: $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$. Sei dazu $x \in \Z_p$. |
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Dann ist $p^{n} x_n \equiv 0 \; (\text{mod } p^n)$. Also $\pi_n(p^n x) = 0$. Damit |
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$p^{n} \Z_p \subseteq \text{ker } \pi_n$. |
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Sei nun $x = (x_m)_{m \in \N} \in \text{ker } \pi_n$ |
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und $m \ge n$. |
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|
Wegen Kompatibilität folgt |
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\[ |
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x_m \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) |
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.\] Also folgt $x_m \in p^{n} A_m$. |
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Es ist (nachrechnen) |
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\begin{salign*} |
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A_{m-n} = \Z / p^{m-n} \Z \stackrel{\sim }{=} p^{n} \Z / p^{m} \Z = p^{n}A_m |
|
|
|
.\end{salign*} |
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|
Das heißt es ex. ein eindeutiges $y_{m-n} \in A_{m-n}$, s.d. |
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$p^{n}y_{m-n} \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) $. |
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|
Es bleibt zu zeigen, dass $p^{n}y = x$. |
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Z.z.: $x = p^{n} y$. Für $m \le n$ ist $x_m = 0 = p^{n} y_m$. Für $m > n$ ist wegen Kompatibilität |
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\[ |
|
|
|
p^{n} y_m = p^{n} y_{m+n-n} \equiv x_{m+n} \; (\text{mod } p^{m+1}) \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) |
|
|
|
.\] Also $x = p^{n}y$. |
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|
|
Insgesamt folgt also $\text{ker } \pi_n = p^{n}\Z_p$. Die behauptete Isomorphie folgt jetzt direkt aus |
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dem Homomorphiesatz. |
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\end{proof} |
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\begin{lemma}[] |
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Für $u \in \Z_p$ sind äquivalent |
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\begin{enumerate}[(i)] |
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|
\item $u \in \Z_p^{\times }$ |
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|
\item $p \nmid u$ |
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|
\item $0 \neq u_1 \in \Z / p \Z$ |
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|
\end{enumerate} |
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|
\end{lemma} |
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|
\begin{proof} |
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|
(ii)$\iff$(iii) ist klar wegen Kompatibilität. b.z.z. (i) $\iff$ (ii). Sei dazu |
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|
$u = (\overline{u_n})_{n\in \N} \in \Z_p^{\times }$. |
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|
|
Dann $\exists v = (\overline{v_n})_{n \in \N} \in \Z_p$ |
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|
|
mit $uv = 1$ insb. $\overline{u_1 v_1} \equiv 1 \; (\text{mod } p) $ also |
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|
|
insbesondere $p \nmid u_1 \implies \overline{u_1} \neq 0$. |
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|
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|
|
|
Sei umgekehrt $\overline{u_1} \neq 0$. Wegen Kompatibilität folgt damit $p \nmid u_n$ $\forall n \in \N$, denn |
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|
ang. $p \mid u_n$ für ein $n \in \N$. Dann folgt |
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|
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\[ |
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|
|
0 \equiv u_n \; (\text{mod } p) \equiv u_1 \; (\text{mod } p) \quad \contr |
|
|
|
.\] |
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|
|
Da $p$ prim folgt insbesondere $(p^{n}, u_n) = 1$. Also ex. nach euklid. Alg. $a, b \in \Z$, s.d. |
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|
|
$1 = a p^{n} + b u_n$, also $1 = \overline{bu_n}$ mit $\overline{b} \in A_n$. Also |
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|
|
$\overline{u_n} \in A_n^{\times }$ und damit |
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|
|
$v \coloneqq (\ldots \overline{u_n}^{-1}, \overline{u_{n-1}}^{-1}, \ldots, \overline{u_1}^{-1}) = u^{-1} |
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|
|
\in \Z_p$. |
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|
|
\end{proof} |
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|
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|
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|
\begin{lemma}[] |
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|
Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ ex. $n \in \N_0$ und $u \in \Z_p^{\times }$, s.d. |
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\[ |
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|
x = p^{n} u |
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|
|
.\] Diese Darstellung ist eindeutig. |
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\label{le-decomp} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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\begin{enumerate}[(i)] |
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\item Existenz: |
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Sei $x \in \Z_p \setminus \{0\} $. Da $x \neq 0$ ex. wegen Kompatibilität ein |
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|
$n \in \N_0$ maximal, s.d. |
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|
|
$x_n = \pi_n(x) = 0$. Also ist $x \in \text{ker } \pi_n$, insbesondere ex. nach |
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|
\ref{le-kanproj} ein $u \in \Z_p$ mit $x = p^{n}u$. Ang.: $p \mid u$, dann |
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|
|
ist $\pi_1(u) = 0$ also ex. wieder nach \ref{le-kanproj} ein $v \in \Z_p$ mit $u = pv$. Dann |
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|
|
ist aber |
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|
\[ |
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|
|
\pi_{n+1}(x) = \pi_{n+1}(p^{n}u) = \pi_{n+1}(p^{n+1}v) = 0 |
|
|
|
.\] Widerspruch zur Maximalität von $n$. |
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|
|
\item Eindeutigkeit: Sei $x = p^{n} u = p^{m} v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$. |
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|
|
Sei o.E. $n \ge m$. Es ist $\pi_n(x) = \pi_n(p^{n}) \pi_n(u) = 0$ also |
|
|
|
auch $0 = \pi_n(x) = \pi_n(p^{m}) \pi_{n}(v)$. Da $v \in \Z_p^{\times }$ ist |
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|
|
$\pi_n(v) \in A_n^{\times}$, also kein Nullteiler. Also folgt |
|
|
|
$\pi_n(p^{m}) = 0$ und damit $p^{m} \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $, also |
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|
|
$m \ge n$. Insgesamt also $m = n$. |
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|
|
|
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|
|
Nun gilt weiter $x = p^{n} u = p^{n} v$, also $p^{n}(u-v) = 0$. Ang. $u-v \neq 0$. Dann |
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|
|
ist nach (i) $u - v = p^{k} w$ mit $k \in \N_0$ und $w \in \Z_p^{\times }$. Also |
|
|
|
$0 = p^{n}(u-v) = p^{n+k} w$. Da $w \in \Z_p^{\times }$ also kein Nullteiler, folgt |
|
|
|
$0 = p^{n+k} \in \Z$ $\contr$. |
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|
|
\end{enumerate} |
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\end{proof} |
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|
\begin{definition}[$p$-Bewertung] |
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Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ sei $x = p^{n} u$ mit $u \in \Z_p^{\times }$. Dann setze |
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\[ |
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|
v_p(x) \coloneqq n |
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|
|
\] und setze $v_p(0) \coloneqq \infty$. $v_p(x)$ heißt die $p$-Bewertung von $x$. |
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|
\end{definition} |
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\begin{bem}[] |
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Wegen \ref{le-decomp} ist die $p$-Bewertung wohldefiniert. |
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Per Konvention setze $n + \infty = \infty$ und $\infty > n$ für $n \in \N_0$. Es ist |
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|
|
leicht nachzurechnen, dass für $x, y \in \Z_p$ gilt |
|
|
|
\[ |
|
|
|
v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y), \quad v_p(x+y) \ge \min (v_p(x), v_p(y)) |
|
|
|
.\] |
|
|
|
\end{bem} |
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|
%\begin{lemma}[Eigenschaften der $p$-Bewertung] |
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|
% Für $x, y \in \Z_p$ gilt |
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% \[ |
|
|
|
% v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y), \quad v_p(x+y) \ge \min (v_p(x), v_p(y)) |
|
|
|
% .\] |
|
|
|
%\end{lemma} |
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|
% |
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%\begin{proof} |
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|
% Nachrechnen. |
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%\end{proof} |
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\begin{korollar}[] |
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|
$\Z_p$ ist nullteilerfrei. |
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|
\end{korollar} |
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\begin{proof} |
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|
Seien $x, y \in \Z_p$ mit $xy = 0$. Dann folgt |
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\[ |
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|
|
\infty = v_p(0) = v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y) |
|
|
|
.\] Also $v_p(x) = \infty$ oder $v_p(y) = \infty$, also $x = 0$ oder $y = 0$. |
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|
|
\end{proof} |
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|
%\begin{lemma}[Topologie auf $\Z_p$] |
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|
% Die Topologie auf $\Z_p$ wird induziert durch die Metrik |
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|
% \[ |
|
|
|
% d(x, y) = \exp(-v_p(x-y)) |
|
|
|
% .\] $\Z_p$ ist vollständig und $\Z$ ist dicht in $\Z_p$. |
|
|
|
%\end{lemma} |
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|
|
% |
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|
%\begin{bem}[Bälle] |
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|
% Es sei im Folgenden stets |
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|
% \[ |
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|
|
% B(x, r) = \{ y \in \Z_p \mid d(x,y) < r \} \text{ und } |
|
|
|
% \overline{B(x,r)} = \{y \in \Z_p \mid d(x,y) \le r\} |
|
|
|
% .\] Da $d(x,y) \in \{ \exp(n) \mid n \in \Z\}$ gilt |
|
|
|
% \[ |
|
|
|
% \overline{B(x, e^{-n})} = \{ y \in \Z_p \mid v_p(x-y) \ge n\} |
|
|
|
% = \{ y \in \Z_p \mid v_p(x-y) > n-1\} = B(x, e^{-(n-1)}) |
|
|
|
% .\] |
|
|
|
%\end{bem} |
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|
|
% |
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|
|
%\begin{proof}[Beweis des Lemmas (Skizze)] |
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|
% Grobe Beweisschritte |
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|
% \begin{itemize} |
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|
% \item $d(\cdot , \cdot )$ ist eine Metrik. |
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|
|
% \item Die offenen Mengen $V \subseteq \Z_p$ bezüglich der Produkttopologie sind von der Form |
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|
|
% \[ |
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|
|
% V = \bigcup_{v \in V} (v + p^{n_v} \Z_p) |
|
|
|
% .\] |
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|
|
% \item Es ist $v + p^{n} \Z_p = B(v, e^{(-(n-1))})$. |
|
|
|
% \item $v + p^{n} \Z_p$ offen bezüglich der Produkttopologie, da $p^{n} \Z_p = \text{ker } \pi_n |
|
|
|
% = \pi_n^{-1}(\{0\})$. |
|
|
|
% \end{itemize} |
|
|
|
% Z.z.: $\Z_p$ vollständig. Da $\Z_p$ nach \ref{kor-compact} |
|
|
|
% kompakt ist, hat jede Folge in $\Z_p$ eine konvergente Teilfolge. Insbesondere hat |
|
|
|
% also jede Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge und damit konvergiert jede Cauchy-Folge |
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|
|
% in $\Z_p$. |
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|
|
%\end{proof} |
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|
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|
|
|
|
\begin{definition} |
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|
Der Quotientenkörper der ganzen $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ |
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|
|
heißt Körper der $p$-adischen Zahlen |
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|
\[ |
|
|
|
\Q_p \coloneqq Q(\Z_p) |
|
|
|
.\] |
|
|
|
\end{definition} |
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|
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|
|
|
\begin{bem} |
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|
|
\begin{enumerate}[] |
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|
\item Ein Element $x = \frac{a}{b} \in \Q_p^{\times}$ mit $a, b \in \Z_p$, $b \neq 0$ |
|
|
|
kann eindeutig als $x = p^{r}w$ mit $r \in \Z$ und $w \in \Z_p^{\times }$ dargestellt werden, |
|
|
|
denn nach \ref{le-decomp} ist |
|
|
|
\[ |
|
|
|
x = \frac{a}{b} = \frac{p^{n}u}{p^{m}v} = p^{n-m} \underbrace{u v^{-1}}_{\in \Z_p^{\times }} |
|
|
|
.\] |
|
|
|
Damit setzt sich die Definition von $v_p$ auf $\Q_p$ fort. Es gilt |
|
|
|
$v_p(x) \ge 0 \iff x \in \Z_p$. |
|
|
|
\item Nach (1) ist also $\Q_p = \Z_p[p^{-1}]$. |
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|
|
\end{enumerate} |
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|
|
\end{bem} |
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|
|
|
|
|
|
%\begin{lemma}[Topologie auf $\Q_p$] |
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% $\Q_p$ mit der von $\Z_p$ geerbten Metrik $d(x,y) = \exp(-v_p(x-y))$ ist |
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|
|
% lokal kompakt und enthält $\Z_p$ als offenen Teilring. $\Q$ ist dicht in $\Q_p$. |
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|
|
%\end{lemma} |
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|
|
% |
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|
%\begin{proof} |
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|
% Da $x \in \Z_p \iff v_p(x) \ge 0 \iff v_p(x) > -1$ folgt $\Z_p = \overline{B(0, 1)} = B(0, e)$, |
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|
|
% also $\Z_p$ offen. |
|
|
|
% Da $\Z_p$ kompakt, folgt, dass |
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|
|
% $B(x, e)$ kompakt $\forall x \in \Q_p$, also $\Q_p$ lokal kompakt. Außerdem ist |
|
|
|
% $\Z$ dicht in $\Z_p$, d.h. für $x \in \Q_p$ mit $x = p^{k} u$ und $k \in \Z$, $u \in \Z_p^{\times }$ ex. |
|
|
|
% eine Folge $(y_n)_{n \in \N} \subseteq \Z$ mit $y_n \xrightarrow{n \to \infty} u$. Dann |
|
|
|
% setze $z_n \coloneqq p^{k} y_n \in \Q$. Dann folgt direkt |
|
|
|
% $z_n = p^{k} y_n \xrightarrow{n \to \infty} p^{k} u = x$. |
|
|
|
%\end{proof} |
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|
|
|
|
|
|
\begin{bem}[] |
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|
|
\begin{enumerate}[] |
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|
|
\item $\Q_p$ kann auch als Vervollständigung von $\Q$ bezüglich der $p$-adischen |
|
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|
Metrik $d(\cdot , \cdot )$ definiert werden (analog zu $\R$ als |
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|
|
Vervollständigung von $\Q$ bezüglich $|\cdot |$). |
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|
|
\item Es ist leicht nachzurechnen, dass $d(\cdot , \cdot )$ die ultrametrische Ungleichung |
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|
|
(auch starke Dreiecksungleichung) erfüllt, d.h. |
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|
|
\[ |
|
|
|
d(x, z) \le \max(d(x,y), d(y,z)) |
|
|
|
\] für $x, y, z \in \Q_p$. Damit folgt das eine Folge |
|
|
|
$(a_n)_{n \in \N} \subseteq \Q_p$ genau dann konvergiert, wenn |
|
|
|
$\lim_{n \to \infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$ (was in $\R$ bezüglich $|\cdot |$ falsch ist). |
|
|
|
\end{enumerate} |
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|
|
\end{bem} |
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|
\subsection{$p$-adische Gleichungen} |
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\begin{lemma}[] |
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Sei $D_1 \leftarrow D_2 \leftarrow \ldots$ ein projektives System und |
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$D = \varprojlim \; (D_n, p_n)$ sein inverser Limes. Falls $D_n \neq \emptyset$ und endlich |
|
|
|
folgt $D \neq \emptyset$. |
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|
\label{le-projlim} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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|
Sei zunächst $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ surjektiv. Dann ex. für alle $x_{n} \in D_{n}$ |
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|
|
ein $x_{n+1} \in D_{n+1}$, s.d. $p_{n}(x_{n+1}) = x_n$. Da $D_1 \neq \emptyset$ folgt |
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|
|
$D \neq \emptyset$ induktiv. |
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|
|
|
|
|
Im Allgemeinen bezeichne für $m,n \in \N$: |
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\[ |
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|
|
D_{n,m} \coloneqq (p_{n} \circ \ldots \circ p_{n+m-1})(D_{n+m}) |
|
|
|
.\] Da $D_{n+m} \neq \emptyset$ folgt $D_{n,m} \neq \emptyset$ und da |
|
|
|
$D_k$ endlich folgt $\# p_k(D_{k+1}) \le \# D_{k+1}$ $\forall k \in \N$. D.h. $\#D_{n,m}$ |
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|
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ist monoton fallend in $m$ bei festem $n$. |
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|
|
Da $D_{n,m} \neq \emptyset$ wird die Folge stationär, d.h. |
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|
|
es ex. ein $m_0 \in \N$, s.d. $D_{n, m_0} = D_{n, m}$ $\forall m \ge m_0$. |
|
|
|
Sei $E_n$ dieser Grenzwert. |
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|
|
|
|
|
|
Es ist leicht nachzurechnen, dass $p_n(E_{n+1}) = E_n$. |
|
|
|
%Beh.: $p_{n}(E_{n+1}) = E_n$ $\forall n \in \N$. Sei dazu $n \in \N$. Nun ex. ein |
|
|
|
%$m_0 \in \N$, s.d. $E_{n+1} = D_{n+1, m_0}$ und |
|
|
|
%$E_n = D_{n, m_0} = D_{n, m_0+1}$. Damit folgt |
|
|
|
%\begin{salign*} |
|
|
|
% p_{n}(E_{n+1}) |
|
|
|
% &= p_{n}(D_{n+1, m_0}) \\ |
|
|
|
% &= p_{n}((p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+1+m_0})) \\ |
|
|
|
% &= (p_{n} \circ p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+m_0+1}) \\ |
|
|
|
% &= D_{n, m_0+1} \\ |
|
|
|
% &= E_n |
|
|
|
%.\end{salign*} |
|
|
|
Also sind die Einschränkungen $p_{n}|_{E_{n+1}}\colon E_{n+1} \to E_n$ surjektiv, |
|
|
|
$E_n \neq \emptyset$ und endlich, also |
|
|
|
folgt nach der Vorüberlegung $\varprojlim \; (E_n, p_n|_{E_n}) \neq \emptyset$, also |
|
|
|
insbesondere $D \neq \emptyset$. |
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{satz}[] |
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|
|
Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ Polynome in den ganzen $p$-adischen Zahlen. Dann |
|
|
|
sind äquivalent: |
|
|
|
\begin{enumerate}[(i)] |
|
|
|
\item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$. |
|
|
|
\item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine |
|
|
|
gemeinsame Nullstelle in $(A_n)^{m}$. |
|
|
|
\end{enumerate} |
|
|
|
\label{satz-nsequiv} |
|
|
|
\end{satz} |
|
|
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|
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|
|
\begin{proof} |
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|
Sei $D = \{ \text{gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (\Z_p)^{m} \} \subseteq (\Z_p)^{m}$ |
|
|
|
und\\ |
|
|
|
$D_n \coloneqq \{ \text{ gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (A_n)^{m} \; (\text{mod } p^{n}) \} $. |
|
|
|
Es bezeichne $(\phi_{n})^m\colon (A_{n+1})^{m} \to (A_n)^{m}$ die Abbildung, die $\phi_{n}$ |
|
|
|
komponentenweise anwendet. Dann ist $(D_n, (\phi_n)^m)$ ein projektives System |
|
|
|
mit $D = \varprojlim \; (D_n, (\phi_n)^m)$. |
|
|
|
|
|
|
|
Sei nun $D \neq \emptyset$ und $x \in D$. Dann ist $\pi_n(x) \in D_n$ $\forall n \in \N$. Seien umgekehrt |
|
|
|
$D_n \neq \emptyset$ $\forall n \in \N$. Da $D_n \subseteq A_n$ endlich folgt mit |
|
|
|
\ref{le-projlim} $D \neq \emptyset$. |
|
|
|
\end{proof} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{definition}[] |
|
|
|
Ein Element $x = (x_1, \ldots, x_m) \in (\Z_p)^{m}$ (bzw. $(A_n)^{m}$) heißt primitiv, falls ein |
|
|
|
$x_i \in \Z_p^{\times}$ (bzw. $\in A_n^{\times}$) ist. |
|
|
|
\end{definition} |
|
|
|
|
|
|
|
%\begin{definition}[] |
|
|
|
% Sei $R$ ein Ring. Ein Polynom $f \in R[X_1, \ldots, X_m]$ heißt |
|
|
|
% homogen vom Grad $2$, falls in $R[X_1, \ldots, X_m][T]$ gilt |
|
|
|
% \[ |
|
|
|
% f(TX_1, \ldots, TX_m) = T^{k} f(X_1, \ldots, X_m) |
|
|
|
% .\] Ein homogenes Polynom vom Grad $2$ heißt quadratische Form. |
|
|
|
%\end{definition} |
|
|
|
% |
|
|
|
%\begin{bsp}[] |
|
|
|
% Das Polynom $f = X^5 + X^3Y^2 + XY^4 \in \Z[X,Y]$ ist homogen, aber $g = X^2 + X + Y^2 \in \Z[X,Y]$ ist nicht |
|
|
|
% homogen. |
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|
|
%\end{bsp} |
|
|
|
% |
|
|
|
%\begin{korollar}[] |
|
|
|
% Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ homogene Polynome. Dann sind äquivalent |
|
|
|
% \begin{enumerate}[(i)] |
|
|
|
% \item Die $f^{(i)}$ haben eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle in $(\Q_p)^{m}$. |
|
|
|
% \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame primitive Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$. |
|
|
|
% \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine gemeinsame |
|
|
|
% primitive Nullstelle. |
|
|
|
% \end{enumerate} |
|
|
|
%\end{korollar} |
|
|
|
|
|
|
|
%\begin{proof} |
|
|
|
% (i)$\implies$(ii): Sei $x = (x_1, \ldots, x_m)$ eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle |
|
|
|
% der $f^{(i)}$. Dann setze |
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% \[ |
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% k \coloneqq \min(v_p(x_1), \ldots, v_p(x_m)) \text{ und } y = p^{-k} x |
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% .\] Sei $i \in \{1, \ldots, m\} $, s.d. $k = v_p(x_i)$. Dann ist |
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% $v_p(y_i) = v_p(p^{-k}) + v_p(x_i) = -k + k = 0$. Also $y_i \in \Z_p^{\times }$ und damit $y$ primitiv. |
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% Außerdem gilt für ein $n \in \N$ |
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% \[ |
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% f^{(i)}(y) = f^{(i)}(p^{-k} x) \quad \stackrel{\text{Homog.}}{=} \quad p^{-nk} f^{(i)}(x) = 0 |
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% .\] |
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% (ii)$\implies$(i) ist trivial und (ii) $\iff$ (iii) folgt aus \ref{satz-nsequiv}. |
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%\end{proof} |
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% |
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%\begin{bem}[] |
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% Die Voraussetzung homogenes Polynom ist notwendig, wie am Beispiel: |
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% \[ |
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% f = pX - 1 \in \Z_p[X] |
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% \] deutlich wird, denn $f(p^{-1}) = 0$, aber im Körper $\Q_p$ hat das lineare Polynom $f$ maximal |
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% eine Nullstelle und $p^{-1} \not\in \Z_p$. |
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%\end{bem} |
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Wir möchten nun betrachten, unter welchen Umständen eine Lösung $\; (\text{mod } p^{n}) $ zu einer |
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echten Lösung in $\Z_p$ entwickelt werden kann. Dazu verwenden wir die $p$-adische Version |
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des Newton Verfahrens. |
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\begin{lemma}[Henselsches Lemma] |
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Sei $f = a_mX^{m} + \ldots + a_0 \in \Z_p[X]$ und $f' = a_m m X^{m-1} + \ldots + a_1 \in \Z_p[X]$ seine |
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Ableitung. Weiter sei $x \in \Z_p$, s.d. $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $ für ein $n \in \N$ |
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und $v_p(f'(x)) = k$ mit $0 \le 2k < n$. Dann existiert ein $y \in \Z_p$, s.d. |
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\[ |
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f(y) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}), v_p(f'(y)) = k \text{ und } y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) |
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.\] |
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\label{le-hensel} |
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\end{lemma} |
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\begin{proof} |
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Nach Voraussetzung ist $f(x) = p^{n}b$ und $f'(x) = p^{k}c$ mit $b \in \Z_p$ und $c \in \Z_p^{\times }$. |
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Dann setze $z \coloneqq -b c^{-1}$ und $y \coloneqq x + p^{n-k}z$. Damit erfüllt |
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$y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. Der binomische Lehrsatz |
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liefert |
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\begin{salign*} |
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a_i y^{i} = a_i \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} x^{i-j} (p^{n-k} z)^{j} |
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= a_i x^{i} + a_i i x^{i-1} p^{n-k} z + p^{2n-2k} z^2 R_i |
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\end{salign*} für $R_i \in \Z_p$. Aufsummieren und addieren von $a_0$ liefert mit $R \in \Z_p$ |
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eine ,,Taylorentwicklung'': |
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\begin{salign*} |
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f(y) &= f(x) + p^{n-k} z f'(x) + p^{2n-2k} z^2 R |
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\intertext{Einsetzen liefert} |
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f(y) &= p^{n}b - p^{n-k} b c^{-1} p^{k} c + p^{2n-2k} z^2 R \\ |
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&= p^{2n-2k} z^2 R \\ |
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&\equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}) |
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,\end{salign*} da $2k < n \implies 2n - 2k \ge n+1$. |
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Anwenden der ,,Taylorentwicklung'' auf $f'$ liefert |
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\begin{salign*} |
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f'(y) &= f'(x) + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k} z^2 R \\ |
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&= p^{k} c + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k}z^2R \\ |
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&= p^{k}(\underbrace{c + p^{n-2k} z f''(x) + p^{2n-3k} z^2 R}_{=: s}) |
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.\end{salign*} |
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Es ist $n-2k > 0$ und $2n - 3k > 0$, aber $c \in \Z_p^{\times }$, also $p \nmid s$ und damit |
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$s \in \Z_p^{\times }$ und $v_p(f'(y)) = k$. |
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\end{proof} |
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Zum Studium der quadratischen Formen benötigen wir noch die auf $m$ Variablen verallgemeinerte Version |
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des Henselschen Lemmas. |
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\begin{satz} |
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Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x = (x_i) \in (\Z_p)^{m}$, s.d. |
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$f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $. Weiter existiere ein |
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$1 \le j \le m$, s.d. $v_p\left( \frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \right) = k$ mit |
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$0 \le 2k < n$. Dann existiert eine Nullstelle $y \in (\Z_p)^{m}$ von $f$ mit |
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$y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. |
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\label{satz-hensel} |
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\end{satz} |
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\begin{proof} |
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Sei zunächst $m = 1$. Mit \ref{le-hensel} angewendet auf $x^{(0)} \coloneqq x$, erhält man |
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$x^{(1)} \in \Z_p$ mit |
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\[ |
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f(x^{(1)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1})\text{, } |
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v_p(f'(x^{(1)})) = k \text{ und } |
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x^{(1)} \equiv x^{(0)} \; (\text{mod } p^{n-k}) |
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.\] Wende \ref{le-hensel} nun auf $x^{(1)}$ und $n+1$ an. Induktiv erhält man eine Folge |
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$(x^{(q)})_{q \in \N}$ mit den Eigenschaften |
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\[ |
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x^{(q+1)} \equiv x^{(q)} \; (\text{mod } p^{n+q-k}) \text{ und } f(x^{(q)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+q}) |
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.\] Es gilt nun $v_p(x^{(q+1)} - x^{(q)}) \ge n+q-k$, also |
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$d(x^{(q+1)}, x^{(q)}) \xrightarrow{q\to \infty} 0$. Also ist $x^{(q)}$ eine Cauchy Folge |
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und konvergiert gegen ein $y \in \Z_p$. Dann gilt |
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\[ |
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0 = \lim_{q \to \infty} f(x^{(q)}) = f(\lim_{q \to \infty} x^{(q)}) = f(y) |
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\] und $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. |
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Sei nun $m > 1$. Ersetze in $f$ die Variablen $X_i$ durch $x_i$ für $i \neq j$. |
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Dann sei $g \in \Z_p[X_j]$ das entstandene Polynom in einer Variablen. Wende nun den Fall für $m = 1$ |
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auf $g$ an. Dann erhalten wir ein $y_j \in \Z_p$ mit $y_j \equiv x_j \; (\text{mod } p^{n-k}) $ |
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und $g(y_j) = 0$. Setze nun $y_i \coloneqq x_i$ für $i \neq j$. Dann ist |
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$y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $ und |
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\[ |
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f(y) = f(y_1, \ldots, y_m) = f(x_1, \ldots, x_{j-1}, y_j, x_{j+1}, \ldots, x_m) = g(y_j) = 0 |
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.\] |
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\end{proof} |
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Aus dem letzten Satz können wir einfache Schlussfolgerungen für quadratische Formen ziehen. |
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\begin{korollar}[] |
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Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x \in \Z_p$ mit |
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\[ |
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f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p) |
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\] und es sei mind. eine partielle Ableitung |
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$\frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $, dann hebt sich $x$ |
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zu einer echten Nullstelle. |
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\label{kor-1} |
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\end{korollar} |
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\begin{proof} |
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Das ist der Fall $n = 1$ und $k = 0$ in \ref{satz-hensel}. |
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\end{proof} |
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\begin{korollar}[] |
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Sei $p\neq 2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ eine |
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quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$ und sei $ p \nmid \text{det}(a_{ij})$. Sei weiter $a \in \Z_p$. Dann |
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hebt sich jede primitive Lösung der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } p) $ zu einer |
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echten Lösung. |
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\end{korollar} |
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\begin{proof} |
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Mit \ref{kor-1} g.z.z., dass mind. eine partielle Ableitung $\; (\text{mod } p) $ nicht verschwindet. |
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Sei $A = (a_{ij}) \in \Z_p^{m \times m}$. Da $\text{det}(a_{ij}) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $ |
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folgt $\text{det}(a_{ij}) \in \mathbb{F}_p^{\times }$ und damit $\text{ker } A = \{0\} $. Es gilt weiter |
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\[ |
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\frac{\partial f}{\partial X_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} a_{ij}X_j \text{ also } |
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\begin{pmatrix} \partial_{X_i} f(x) \\ \vdots \\ \partial_{X_m} f(x) \end{pmatrix} |
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= 2 A x |
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.\] Da $x$ primitiv ist $x \neq 0 \in \mathbb{F}_p^{m}$ und damit mind. eine partielle Ableitung |
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$\not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $. |
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\end{proof} |
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%\begin{korollar}[] |
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% Sei $p=2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_2[X_1, \ldots, X_m]$ |
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% eine quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$. Weiter sei $a \in \Z_2$ und $x$ eine primitive Lösung |
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% der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } 8) $. Dann hebt sich $x$ zu einer echten Lösung, falls |
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% nicht alle partiellen Ableitungen $\; (\text{mod } 4) $ verschwinden. Dies ist erfüllt, wenn |
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% $\text{det}(a_{ij})$. |
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%\end{korollar} |
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% ???? |
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\end{document} |
