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2020-01-16 18:11:34 +01:00
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ws2019/ana/lectures/analysis20.tex
+84
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@@ -260,6 +260,50 @@
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Z.z.: $(\alpha f + \beta g)'(x) = \alpha f'(x) + \beta g'(x)$
\begin{align*}
\frac{(\alpha f + \beta g)(x_1) - (\alpha f + \beta g)(x_0)}{x_1 - x_0}
&= \alpha \left( \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \right)
+ \beta \left( \frac{g(x_1) -g(x_0)}{x_1-x_0} \right) \\
&\xrightarrow{x_1\to x_0} \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0)
.\end{align*}
\item Z.z.: $(f g)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$
\begin{align*}
\frac{f(x_1) g(x_1) - f(x_0) g(x_0)}{x_1 - x_0}
&= \frac{f(x_1) g(x_1) - f(x_0)g(x_1) + f(x_0)g(x_1)
- f(x_0) g(x_0)}{x_1 - x_0} \\
&= g(x_1) \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}
+ f(x_0) \frac{g(x_1) - g(x_0)}{x_1 - x_0} \\
&\xrightarrow[g \text{ stetig in } x_0]{x_1 \to x_0} g(x_0) f'(x_0) + f(x_0) g'(x_0)
.\end{align*}
\item Z.z.: $\left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x)g(x)
- f(x) g'(x)}{g^2(x)}$
Für $f \equiv 1$:
\begin{align*}
\left( \frac{1}{g} \right)'(x_0)
&= \lim_{x \to x_0} \frac{1}{x-x_0}
\left( \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{g(x_0)}\right) \\
&= \lim_{x \to x_0} \frac{1}{x - x_0}
\frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0}\\
&\stackrel{\mathclap{g \text{ stetig}}}{=} \quad
\lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x) g(x_0)}
\cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0} \\
&= \frac{1}{g(x_0)^2} \cdot (- g'(x_0))
\intertext{Nun für $f$ beliebig mit Produktregel:}
\left( \frac{f}{g} \right)'(x_0)
&= (f\cdot \frac{1}{g})' (x_0) \\
&= f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)}
+ f(x_0) \cdot \left(\frac{1}{g(x_0)}\right)' \\
&= f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)}
- f(x_0) \cdot \frac{g'(x_0)}{g(x_0)^2} \\
&= \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}{g(x_0)^2}
.\end{align*}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{satz}[Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion]
Sei $f\colon D \to B \subset \R$ stetige invertierbare
Funktion mit Inverser
@@ -272,6 +316,23 @@
.\]
\end{satz}
\begin{proof}
Sei $y_n = f(x_n)$, $y_0 = f(x_0)$, $y_n \neq y_0$,
$y_n \to y_0$, $n \to \infty$. Wegen Stetigkeit
von $f^{-1}$ gilt $\underbrace{f^{-1}(y_n)}_{= x_n}
\xrightarrow{n \to \infty} \underbrace{f^{-1}(y_0)}_{= x_0}$, oder
$x_0 \xrightarrow{n \to \infty} x_n$.
Berechne
\begin{align*}
\frac{f^{-1}(y_n) - f^{-1}(y_0)}{y_n - y_0}
= \frac{x_n - x_0}{f(x_n) - f(x_0)}
= \left( \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} \right)^{-1}
\xrightarrow{n \to \infty}
\left( f'(x_0) \right)^{-1}
.\end{align*}
\end{proof}
\begin{satz}[Kettenregel]
Seien $f\colon D_f \to \R$, $g\colon D_g \to \R$ stetige Funktionen.
$f \in x_0 \in D_f$ differenzierbar, $g \in y_0 = f(x_0) \in D_g$
@@ -282,6 +343,29 @@
.\]
\end{satz}
\begin{proof}
Definiere die Funktion $\Delta g\colon D_g \to \R $, mit
$\Delta g(y) = \begin{cases}
\frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0} & y \neq y_0 = f(x_0) \\
g'(y_0) & y = y_0
\end{cases}$.
$g$ in $y_0$ differenzierbar
$\implies \exists g'(y_0) \implies \lim_{y \to y_0} \Delta g(y)
= g'(y_0)$.
Für $y \in D_g$ gilt $g(y) = g(y_0) + \Delta g(y)(y - y_0)$. Damit folgt
\begin{align*}
(g \circ f)'(x_0)
&\stackrel{\mathclap{\text{Def.}}}{=}
\lim_{x \to x_0} \frac{g(\overbrace{f(x)}^{y})
- g(\overbrace{f(x_0)}^{y_0})}{x - x_0} \\
&= \lim_{x \to x_0} \Delta g(f(x)) \cdot
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \\
&= g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)
.\end{align*}
\end{proof}
\begin{bsp}
Für $x > 0$ \[
\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}