add ana21

lecture.cls

@@ -19,6 +19,7 @@
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ws2019/ana/lectures/analysis.tex

@@ -35,5 +35,6 @@
 \input{analysis18.tex}
 \input{analysis19.tex}
 \input{analysis20.tex}
+\input{analysis21.tex}
 
 \end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis20.tex

@@ -260,6 +260,50 @@
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item Z.z.: $(\alpha f + \beta g)'(x) = \alpha f'(x) + \beta g'(x)$
+            \begin{align*}
+                 \frac{(\alpha f + \beta g)(x_1) - (\alpha f + \beta g)(x_0)}{x_1 - x_0}
+                 &= \alpha \left( \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \right)
+                 + \beta \left( \frac{g(x_1) -g(x_0)}{x_1-x_0} \right) \\
+                 &\xrightarrow{x_1\to x_0} \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0)
+            .\end{align*}
+        \item Z.z.: $(f g)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$ 
+            \begin{align*}
+                \frac{f(x_1) g(x_1) - f(x_0) g(x_0)}{x_1 - x_0}
+                &= \frac{f(x_1) g(x_1)  - f(x_0)g(x_1) + f(x_0)g(x_1)
+                - f(x_0) g(x_0)}{x_1 - x_0} \\
+                &= g(x_1) \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}
+                + f(x_0) \frac{g(x_1) - g(x_0)}{x_1 - x_0} \\
+                &\xrightarrow[g \text{ stetig in } x_0]{x_1 \to x_0} g(x_0) f'(x_0) + f(x_0) g'(x_0)
+            .\end{align*}
+        \item Z.z.: $\left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x)g(x)
+            - f(x) g'(x)}{g^2(x)}$ 
+
+            Für $f \equiv 1$:
+            \begin{align*}
+                \left( \frac{1}{g} \right)'(x_0)
+                &= \lim_{x \to x_0} \frac{1}{x-x_0}
+                \left( \frac{1}{g(x)} -  \frac{1}{g(x_0)}\right) \\
+                &= \lim_{x \to x_0} \frac{1}{x - x_0}
+                \frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0}\\
+                &\stackrel{\mathclap{g \text{ stetig}}}{=} \quad
+                \lim_{x \to x_0} \frac{1}{g(x) g(x_0)}
+                \cdot \lim_{x \to x_0} \frac{g(x_0) - g(x)}{x - x_0} \\
+                &= \frac{1}{g(x_0)^2} \cdot (- g'(x_0))
+            \intertext{Nun für $f$ beliebig mit Produktregel:}
+                \left( \frac{f}{g} \right)'(x_0)
+                &= (f\cdot \frac{1}{g})' (x_0) \\
+                &= f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)}
+                + f(x_0) \cdot \left(\frac{1}{g(x_0)}\right)' \\
+                &= f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)}
+                - f(x_0) \cdot \frac{g'(x_0)}{g(x_0)^2} \\
+                &= \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}{g(x_0)^2}
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
 \begin{satz}[Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion]
     Sei $f\colon  D \to B \subset \R$ stetige invertierbare
     Funktion mit Inverser
@@ -272,6 +316,23 @@
     .\] 
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    Sei $y_n = f(x_n)$, $y_0 = f(x_0)$, $y_n \neq y_0$,
+    $y_n \to y_0$, $n \to \infty$. Wegen Stetigkeit
+    von $f^{-1}$ gilt $\underbrace{f^{-1}(y_n)}_{= x_n}
+    \xrightarrow{n \to \infty} \underbrace{f^{-1}(y_0)}_{= x_0}$, oder
+    $x_0 \xrightarrow{n \to \infty} x_n$.
+
+    Berechne
+    \begin{align*}
+        \frac{f^{-1}(y_n) - f^{-1}(y_0)}{y_n - y_0}
+        = \frac{x_n - x_0}{f(x_n) - f(x_0)}
+        = \left( \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} \right)^{-1}
+        \xrightarrow{n \to \infty}
+        \left( f'(x_0) \right)^{-1}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
 \begin{satz}[Kettenregel]
     Seien $f\colon D_f \to \R$, $g\colon D_g \to \R$ stetige Funktionen.
     $f \in x_0 \in D_f$ differenzierbar, $g \in y_0 = f(x_0) \in D_g$ 
@@ -282,6 +343,29 @@
     .\] 
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    Definiere die Funktion $\Delta g\colon D_g \to \R $, mit
+    $\Delta g(y) = \begin{cases}
+        \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0} & y \neq y_0 = f(x_0) \\
+        g'(y_0) & y = y_0
+    \end{cases}$.
+
+    $g$ in $y_0$ differenzierbar
+    $\implies \exists g'(y_0) \implies \lim_{y \to y_0} \Delta g(y)
+    = g'(y_0)$.
+
+    Für $y \in D_g$ gilt $g(y) = g(y_0) + \Delta g(y)(y - y_0)$. Damit folgt
+    \begin{align*}
+        (g \circ f)'(x_0)
+        &\stackrel{\mathclap{\text{Def.}}}{=}
+        \lim_{x \to x_0} \frac{g(\overbrace{f(x)}^{y})
+        - g(\overbrace{f(x_0)}^{y_0})}{x - x_0} \\
+        &= \lim_{x \to x_0} \Delta g(f(x)) \cdot
+        \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \\
+        &= g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
 \begin{bsp}
     Für $x > 0$ \[
         \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}

ws2019/ana/lectures/analysis21.tex

@@ -0,0 +1,204 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\subsection{Mittelwertsatz und Satz von Rolle}
+
+\begin{definition}[globales / lokales Extremum]
+    Die Funktion $f\colon D \to \R$ hat in
+    $x_0 \in D$ ein globales Extremum (Maximum oder Minimum), falls
+    gilt $f(x_0) \ge f(x)$ bzw. $f(x_0 \le f(x)$ $\forall x \in D$.
+
+    Die Funktion $f$ hat in $x_0 \in D$ ein
+    lokales Extremum (Maximum oder Minimum), falls
+    $\exists \delta > 0$, s.d. $f(x_0) \ge f(x)$ bzw.
+    $f(x_0) \le f(x)$
+    $\forall x \in B_\delta(x_0) \cap D = \;]x_0-\delta, x_0 + \delta [$.
+\end{definition}
+
+\begin{figure}[htpb]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [grid=both,
+             minor tick num=4,
+             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             enlargelimits={abs=0.2},
+             ymax=3,
+             ymin=-3,
+             width=.7\textwidth
+            ]
+            \addplot[domain=0:10,samples=100,smooth,red] {2*sin(deg(x)) -cos(deg(x/2))};
+            \addplot[mark=*] coordinates {(0,-1.2)} node[pin=30:{lokales Minimum}]{} ;
+            \addplot[mark=*] coordinates {(1.76,1.35)} node[pin=85:{lokales Maximum}]{} ;
+            \addplot[mark=*] coordinates {(4.47,-1.35)} node[pin=270:{lokales Minimum}]{} ;
+            \addplot[mark=*] coordinates {(7.7,2.7)} node[pin=270:{globales Maximum}]{} ;
+            \addplot[mark=*] coordinates {(10,-1.45)} node[pin=160:{globales Minimum}]{} ;
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{Beispiel für Extrema}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}
+    Sei $f\colon (a,b) \to \R$, $a < x_0 < b$.
+    Ist $f$ in $x_0$ differenzierbar, und ist $x_0$ ein lokales
+    Extremum, dann gilt $f'(x_0) = 0$.
+
+    \label{satz:lokalableitung0}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $x_0$ ein lokales Maximum, dann $\exists \delta > 0$, s.d.
+    $f(x) - f(x_0) \le 0$
+    $\forall x \in \;]x_0 - \delta , x_0 +\delta [ \cap (a, b)$:
+    \begin{align*}
+        f'(x_0) = \lim_{x \searrow x_0}
+        \underbrace{\left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right)}_{\le 0}
+        = \lim_{x \nearrow x_0} \underbrace{\left( \frac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right) }_{\ge 0}
+    .\end{align*}
+    $\implies f'(x_0) = 0$. Analog für Minimum
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item $a < x_0 < b$ ist wichtig! z.B.: $f\colon [0,1] \to \R$
+            $f(x) := x$. Maximum bei $x = 1$, Minimum bei $x = 0$ mit
+            Ableitung $f'(x) = 1 \neq 0$.
+        \item $f'(x_0)$ nur eine notwendige Bedingung für ein
+            lokales Extremum, z.B.: $f(x) = x^{3}$,
+            $f'(x) = 3x^2 \implies f'(0) = 0$, aber $x = 0$ ist
+            kein lokales Extremum.
+            \begin{figure}[h]
+                \centering
+                \begin{tikzpicture}
+                    \begin{axis}%
+                        [grid=both,
+                         minor tick num=4,
+                         grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+                         major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+                         axis lines=middle,
+                         enlargelimits={abs=0.2},
+                         ymax=5,
+                         ymin=-5
+                        ]
+                        \addplot[domain=-3:3,samples=50,smooth,red] {x^3};
+                      \end{axis}
+                \end{tikzpicture}
+                \caption{$x^3$ hat bei $x = 0$ kein lokales Extremum}
+            \end{figure}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[Satz von Rolle]
+    Es sei $a < b$, $f\colon [a,b] \to \R$ stetig mit
+    $f(a) = f(b)$, $f$ auf $(a,b)$ differenzierbar.
+    
+    Dann ex. ein $\xi \in (a,b)$  mit $f'(\xi) = 0$.
+    \label{satz:rolle}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Ist $f(x) = f(a)$ $\forall x \in [a,b] \implies$ Behauptung
+    $\forall \xi \in \;]a,b\,[$.
+
+    Nun $f$ nicht konstant. $[a,b]$ ist kompakt und
+     $f$ ist stetig, d.h. $f$ nimmt Minimum und Maximum an.
+     $\implies \exists x_{\text{min}}, x_{\text{max}} \in [a,b]$ mit
+     $f(x_{\text{min}}) = \text{min}\{f(x)  \mid x \in [a,b]\} $ und
+     $f(x_{\text{max}}) = \text{max}\{f(x)  \mid x \in [a,b]\} $. Da
+     $f$ nicht konstant $\implies$ $f(x_{\text{min}}) < f(a) = f(b)$ oder
+     $f(x_{\text{max}}) > f(a) = f(b)$.\\
+     $\implies x_{\text{min}} \in (a,b)$ oder $x_{\text{max}} \in (a,b)$ \\
+     $\stackrel{\mathclap{\text{Satz \ref{satz:lokalableitung0}}}}{\implies} f'(x_{\text{min}}) = 0$
+     oder $f'(x_{\text{max}}) = 0$ \\
+     $\implies$ Behauptung gilt mit $\xi = x_{\text{min}}$ oder
+     $\xi = x_{\text{max}}$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Mittelwertsatz]
+    Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar
+    auf $]a,b[$. Dann ex. ein $\xi \in \;]a, b[$ mit
+    $f'(\xi) = \frac{f(b) -f(a)}{b - a}$.
+    \label{satz:mittelwert}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Hilfsfunktion $g(x) := f(x) - f(a) - m(x-a)$ mit
+    $m := \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Damit folgt
+    $g(a) = g(b) = 0 \stackrel{\mathclap{\text{Satz \ref{satz:rolle}}}}{\implies}$
+    $\exists \xi \in \; ]a,b[$ mit
+    $g'(\xi) = 0 \implies f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Monotoniekriterium]
+    \label{satz:monotonie}
+    Sei $f\colon D \to \R$ auf $D \subset \R$ differenzierbar. Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $f$ monoton wachsend $\iff$ $f'(x) \ge 0$ $\forall x \in D$
+        \item $f$ streng monoton wachsend $\iff$ $f'(x) > 0$ $\forall x \in D$
+    \end{enumerate}
+    Für fallende Funktionen ersetze $f$ durch $-f$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Es gilt $\forall a < b \in D$ nach Satz \ref{satz:mittelwert}
+    \[
+        f(b) - f(a) = \underbrace{(b-a)}_{> 0} f'(x) \qquad (*)
+    .\]  für ein $x  \in \; ]a, b[$. Daraus folgt direkt (ii) und
+    (i, ,,$\impliedby$'')
+
+    Für (i, ,,$\implies$''): Betrachte in $(*)$:
+    \[
+        \lim_{b \to a} \underbrace{\frac{f(b) - f(a)}{b - a}}_{\ge 0} = f'(a) \ge 0
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $f\colon D \to \R$ differenzierbar. Dann gilt
+    $f$ ist konstant auf $D$ $\iff$ $f' \equiv 0$ auf  $D$
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ,,$\implies$'' klar.
+
+    ,,$\impliedby$ '': Für $a < b \in D$ gilt
+    $f(b) - f(a) = (b-a)\underbrace{f'(x)}_{= 0}$, $x \in \;]a,b[ \implies
+    f(b) = f(a)$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Höhere Ableitungen und Satz von Taylor}
+
+\begin{definition}
+    Ist $f\colon D \to \R$ differenzierbar und $f'\colon D \to \R$
+    differenzierbar, dann sagt man: $f$ ist zweimal differenzierbar
+    und $f''\colon D \to \R$ heißt die zweite Ableitung von $f$.
+
+    Analog wird die $n$-te Ableitung $f^{(n)}$ von $f$ definiert
+    mit $f^{(0)} := f$, die ,,nullte'' Ableitung. Schreibe
+    \[
+        \frac{d^{n}f}{dx^{n}} \quad \text{oder} \quad \left( \frac{d}{dx} \right)^{n} f \quad \text{oder} \quad \frac{d^{n}}{dx^{n}}f
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[$C^{n}(D, \R)$]
+    Eine Funktion $f\colon D \to \R$ heißt stetig differenzierbar
+    auf $D$, falls $f$ auf $D$ differenzierbar und $f'\colon D \to \R$ stetig
+    ist. Schreibe $f \in C^{1}(D, \R)$.
+
+    $f$ heißt $n$-mal stetig differenzierbar auf $D$ ($f \in C^{n}(D, \R)$),
+    falls $f$ $n$-mal differenzierbar und $f^{(n)}\colon D \to \R$
+    stetig ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Ist $f$ beliebig oft differenzierbar, dann
+            gilt $f \in C^{\infty}(D, \R)$ bzw. $f$ ist glatt auf $D$.
+        \item $f$ stetig auf $D$, dann gilt $f \in C^{0}(D, \R)$.
+        \item $f \in C^{n}(D, \R) \implies f^{(k)}$ stetig auf $D$ 
+            $\forall 0 \le k \le n$.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+\end{document}