diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 44d02ef..5db570e 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -15,3 +15,5 @@ *.nav *.out *.snm +*.bbl +*.blg diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls index fcfcd0f..91569d1 100644 --- a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls +++ b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls @@ -53,6 +53,7 @@ \newtheorem{korollar}[satz]{Korollar} \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}[satz]{Definition} +\newtheorem*{definition*}{Definition} %\theoremstyle{definition} %\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section] diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf index 50cbb57..c93799c 100644 Binary files a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf and b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf differ diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex index 0ac19dd..9c2c601 100644 --- a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex +++ b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex @@ -11,57 +11,334 @@ \newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}} \newcommand{\K}{\mathcal{K}} -\newcommand{\colim}{\underset{\longrightarrow}{\text{colim }}} -\renewcommand{\lim}{\underset{\longleftarrow}{\text{lim }}} -\newcommand{\final}[1]{\underset{\rightarrow}{#1}} +%\newcommand{\colim}{\underset{\longrightarrow}{\text{colim }}} +%\renewcommand{\lim}{\underset{\longleftarrow}{\text{lim }}} +\renewcommand{\lim}{\varprojlim} +%\newcommand{\colim}{\operatornamewithlimits{\underset{\longrightarrow}{colim}}} +%\newcommand{\colim}{\varinjlim} +%\DeclareMathOperator*{\colim}{co{\lim}} +\makeatletter +\newcommand{\colim@}[2]{% + \vtop{\m@th\ialign{##\cr + \hfil$#1\operator@font colim$\hfil\cr + \noalign{\nointerlineskip\kern1.5\ex@}#2\cr + \noalign{\nointerlineskip\kern-\ex@}\cr}}% +} +\newcommand{\colim}{% + \mathop{\mathpalette\colim@{\rightarrowfill@\textstyle}}\nmlimits@ +} +\makeatother + +%\makeatletter +%\newcommand{\underrightarrow@}[3]{% +% \vtop{\m@th\ialign{##\cr +% \hfil$#1\operator@font #3$\hfil\cr +% \noalign{\nointerlineskip\kern1.5\ex@}#2\cr +% \noalign{\nointerlineskip\kern-\ex@}\cr}}% +%} +%\newcommand{\underrightarrow}[1]{% +% \mathop{\mathpalette\underrightarrow@{\rightarrowfill@\textstyle}}\nmlimits@ +%} +%\makeatother + +\newcommand{\rightfinal}[1]{\underrightarrow{#1}} +\newcommand{\leftfinal}[1]{\underleftarrow{#1}} \begin{document} \maketitle +\begin{abstract} + Wir zeigen die Existenz der abgeleiteten $R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, + $R\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N}) $ und $- \otimes_A^{L} \com{N}$, indem + für jeden Komplex von $R$-Moduln für einen Ring $R$, eine K-injektive und K-projektive + Auflösung konstruiert wird. +\end{abstract} + +\tableofcontents + +\newpage + \section{Einleitung} -Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und $A$-Moduln -$M, N, P$ die Adjunktion +%Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und $A$-Moduln +%$M, N, P$ die Adjunktion +%\[ +%\text{Hom}_A(M \otimes_A N, P) = \text{Hom}_A(M, \text{Hom}_A(N, P)) +%\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man außerdem +Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und einen $A$-Modul +$N$ die Adjunktion \[ -\text{Hom}_A(M \otimes_A N, P) = \text{Hom}_A(M, \text{Hom}_A(N, P)) -\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man außerdem -die Funktoren $\text{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\text{Tor}_A^{i}(-, N)$, als -Ableitungen der Funktoren $\text{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich + - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -) +\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man +die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$, als +Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt. -Die Antwort ist nein, denn angenommen $\text{Ext}^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann -folgte, dass $\text{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge +Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann +folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge \[ \begin{tikzcd} - 0 \arrow{r} & \Z \arrow{r} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0 + 0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0 \end{tikzcd} \] in $\Z$-Mod lieferte dann die exakte Folge \[ \begin{tikzcd} - \text{Ext}^{0}_{\Z}(\Z, \Z / 2 \Z) \arrow{r} & \text{Ext}^{1}_{\Z}(\Z, \Z) \arrow{r} - & \text{Ext}^{1}_{\Z}(\Z, \Z) + \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} & + \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z / 2 \Z)}_{\neq 0} \arrow{r} + & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) \arrow{r} + & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) \end{tikzcd} -.\] Da $\text{Ext}^{0}_{\Z}(\Z, \Z / 2 \Z) = \text{Hom}_{\Z}(\Z, \Z / 2 \Z) \neq 0$, ist -jedoch +.\] Aber $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) \neq 0$ +und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist +$\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv. + +Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist. Um einen +neuen und allgemeineren Ableitungsbegriff zu finden, +betrachten wir wie klassische Ableitungen gebildet +werden. +%Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie: +%Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie +%von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und +%deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. +Dazu seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und $\mathcal{A}$ habe +genügend viele Injektive. +Sei $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein additiver und linksexakter Funktor und +$X \in \mathcal{A}$. Dann existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex +$\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass +\[ +\begin{tikzcd} + 0 \arrow{r} & X \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots +\end{tikzcd} +\] exakt ist oder, äquivalent dazu, dass die vertikalen Morphismen in +\begin{equation} +\begin{tikzcd} + \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\ + \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots + \label{eq:resolution} +\end{tikzcd} +\end{equation} +einen Quasiisomorphismus bilden, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf +den Kohomologiegruppen induziert. Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen +des Komplexes $F(\com{I})$. Man zeigt dann aufwendig, dass dieser Prozess wohldefiniert ist, das +heißt insbesondere nicht von der Wahl der injektiven Auflösung von $X$ abhängt. + +Anstatt den abgeleiteten Funktor von $F$ auf $\mathcal{A}$ zu konstruieren, definiert man nun +die Ableitung auf einer Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, das heißt einer Kategorie, deren +Objekte Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{A}$ sind. Bezeichne mit $X[0]$ den oberen Komplex +in \eqref{eq:resolution}. Dann ist es natürlich zu fordern, dass die Ableitung von $F$ bei +$X[0]$ bis auf Isomorphie mit der Ableitung von $F$ bei $\com{I}$ und bei allen weiteren injektiven +Auflösungen von $X$ übereinstimmt. + +Dies führt zu der Idee, Objekte (und allgemeiner Komplexe) auf kategorieller Ebene +mit ihren Auflösungen zu identifizieren, +also eine geeignete Kategorie von Komplexen zu finden, +in der quasiisomorphe Komplexe bereits isomorph sind. +Dazu kann man zunächst zur +Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, das heißt die Kategorie, deren +Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und deren Morphismen +Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus im +Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz. Deshalb konstruiert man eine weitere Kategorie +$\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$, mit den Objekten +von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, wobei alle Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ +Isomorphismen in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ induzieren. Man erhält einen kanonischen Funktor +$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$. + +Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor +$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit +einer natürlichen Transformation +$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die den Zusammenhang +zwischen $\text{R}F$ und $F$ herstellt. + +Im Allgemeinen ist die Existenz von $\text{R}F$ eine schwierige Frage, in der klassischen +Situation existiert $\text{R}F$ jedoch zumindest +auf der Unterkategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$ der +nach unten beschränkten Komplexe und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen +mit den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein. Vom klassischen Standpunkt +erwartungsgemäß, induziert die natürliche Transformation $\xi$ auf der Klasse der nach +unten beschränkten Komplexe mit injektiven Objekten Isomorphismen, das heißt $F$ stimmt mit +seiner Ableitung $\text{R}F$ auf diesen Komplexen überein. + +Dieser neue Ableitungsbegriff erlaubt auf natürliche Weise auch Funktoren\footnote{Unter Voraussetzung +einer schwachen Bedingung an $F$, die beispielsweise erfüllt ist, wenn +$F$ von einem additiven Funktor +$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ induziert ist.} +$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ zuzulassen. +Analog zur klassischen +Theorie ist dann die Existenz der Ableitung von $F$ gesichert durch: +\begin{enumerate}[(1)] + \item eine Klasse $\mathcal{J}$ von $F$-azyklischen Komplexen, das heißt + eine Klasse von Komplexen für die $F$ Exaktheit erhält, und + \item für jeden Komplex einen Quasiisomorphismus in einen Komplex aus $\mathcal{J}$. +\end{enumerate} +In diesem Fall induziert $\xi$ auf den Komplexen aus $\mathcal{J}$ Isomorphismen, das heißt +Ableitungen berechnen sich, analog zur klassischen Situation, durch Auflösungen durch Komplexe +aus $\mathcal{J}$. + +Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien jedoch nur +sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funktor $F$ ab. Spaltenstein +hat das in seiner +Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein} +für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen +an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt sein Argument dar und +wendet dies auf den Homfunktor und das Tensorprodukt an. + +Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise +zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen, +angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren übereinstimmen. Der naive +Ansatz $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ bzw. $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ in beiden Variablen zu erweitern, +indem für Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ gradweise +$\operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i})$ gebildet wird, ist nicht hinreichend, +denn dieser neue Komplex enthielte keine Informationen über die Komplexhomomorphismen +von $\com{M}$ nach $\com{N}$. + +%Die Idee +%der derivierten Kategorie kommt von der Beobachtung, dass vor allem die Kohomologiegruppen von +%Komplexen von Interessse sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus +%$f\colon \com{X} \to \com{Y}$ zwischen Komplexen $\com{X}, \com{Y} $ in $\mathcal{A}$, +%also ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen induziert, +%im Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz, das heißt kein Isomorphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$. +%Diesen Defekt behebt die deriverte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die die selben Objekte +%hat wie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ und in der alle Quasiisomorphismen zu Isomorphismen erklärt +%werden. Bezeichne im Folgenden +%$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$ den kanonischen Funktor. + +%Sei nun $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ +%ein additiver Funktor. Dann definiert man einen Funktor +%$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ +%mit einer natürlichen Transformation +%$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$. Für ein Objekt +%$X \in \mathcal{A}$ bezeichne $X[0] \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ den Komplex der im Grad $0$ $X$ +%zu stehen hat und in allen anderen Graden $0$ ist. +%Falls $F$ linksexakt ist, +%existiert $\text{R}F$ und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0]) $ entsprechen +%den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$. Allgemeiner definiert man $\text{R}F$ +%für bestimmte Funktoren $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Das +%bedeutet der neue Ableitungsbegriff ist eine echte Verallgemeinerung des alten. + +%Um die abgeleitete Hom-Tensor Adjunktion zu formulieren, werden die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ +%und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise zu Funktoren +%$\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ erweitert, sodass +%die Erweiterungen, angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren +%übereinstimmen. Der so (in beiden Variablen) funktoriell definierte Komplex +%$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ für +%Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ soll dabei Informationen über die +%Morphismen in $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ von $\com{M} $ nach $\com{N} $ enthalten. Man definiert +%also für $n \in \Z$ +Anstatt dessen definiert man für $n \in \Z$ und Komplexe $\com{M}, \com{N} \in +\mathcal{K}(\mathcal{A})$: +\[ +\operatorname{Hom}^{n}(\com{M}, \com{N}) = \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i+n}) +\] mit Differential +\[ + d^{n}(f) = d_{\com{N} } f - (-1)^{n} f d_{\com{M}} +.\] Dann erhält man den Zusammenhang +\[ +H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{N}) +.\] +Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun +$\com{M} \otimes_A \com{N}$ so, dass man, analog zur klassischen Adjunktion, für +$\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus +\[ + \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) = + \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) +\] erhält. + +Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ +und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten. +Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{J}$ von Komplexen, die die Bedingungen +(1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt. +%Analog zur klassischen Theorie, wird dafür eine Klasse von Objekten $\mathcal{J}$ benötigt, auf der +%die Funktoren Exaktheit von Komplexen erhalten. Damit außerdem die (Rechts-)Ableitung auf ganz +%$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ definiert ist, muss für jeden Komplex +%$\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ eine (Rechts-)Auflösung, das heißt ein Quasiisomorphismus +%in ein Objekt aus $\mathcal{J}$, existieren. +%Dann lassen sich die abgeleiteten Funktoren leicht berechnen, da auf den Objekte aus $\mathcal{J}$ +%die natürliche Transformation $\xi$ Isomorphismen induziert. +% +%Die Schwierigkeit liegt nun darin, solche Auflösungen zu finden. Spaltenstein hat das in seiner +%Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen +%an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt sein Argument dar und wendet +%dies auf die obigen Funktoren an, um die gewünschte Adjunktion zu erhalten. + +Für +$\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür +\begin{definition*} + Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ heißt \emph{K-injektiv}, wenn + der Funktor $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-injektive + Auflösung} eines Komplexes $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist ein Quasiisomorphismus + $\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$. +\end{definition*} + +Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. +Es wird schnell klar, dass ein exakter K-injektiver Komplex bereits der Nullkomplex ist und +damit die Bedingung (1) erfüllt ist. Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen. + +Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten +K-injektiv sind. Klassisch ist ist bekannt, dass +jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für +einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die +klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht. + +Wir konstruieren deshalb geeignete $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme. +Das sind abzählbare inverse Systeme mit surjektiven Übergangsabbildungen, wobei die Kerne dieser +in $\mathcal{J}$ liegen. Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen +unter $\mathcal{J}$-speziellen inversen Limites ist, das heißt, dass die Limites von solchen +Systemen in $\mathcal{J}$ liegen. + +Die Idee im zweiten Schritt ist nun, für $n \in \N$ den unbeschränkten Komplex +$\com{M}$ so abzuschneiden, dass +die Kohomologiegruppen vom Grad $\ge -n$ erhalten bleiben. So erhalten wir ein System +$(\tau^{\ge -n} \com{M})_{n \in \N}$ der abgeschnittenen Komplexe von $\com{M}$. + +Induktiv konstruieren wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System +$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von Quasiisomorphismen +$f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$, indem wir in jedem Schritt für $n \in \N$ +aus $\tau^{\ge -n} \com{M}$ und $\com{I}_{n-1}$ einen nach unten beschränkten Komplex konstruieren, +der klassisch durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann. +So erhalten wir im Limes einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus +$f\colon \com{M} \to \com{I}$. + +Da für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ der inverse Limes jedoch nicht exakt ist, ist +$f\colon \com{M} \to \com{I}$ +a priori kein Quasiisomorphismus, obwohl $f_n$ ein solcher ist für alle $n \in \N$. +Mithilfe einer Variante des +Mittag-Leffler Kriteriums können wir zeigen, dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist. + +Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder +Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat. +Für den Funktor $- \otimes_A \com{N}$ benötigen +wir dann noch eine dritte Klasse von Komplexen, die K-flachen Komplexe, die analog zu den +K-Injektiven auf das Tensorprodukt angepasst definiert werden. Wir können dann zeigen, dass +jeder K-projektive Komplex schon K-flach ist und erhalten so, dass jeder Komplex auch eine K-flache +Auflösung besitzt. + +Im letzten Abschnitt wenden wir die Existenz von K-injektiven, K-projektiven und K-flachen +Auflösungen an, um die Existenz der abgeleiteten Funktoren $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, +$\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ und $- \otimes_A^{L} \com{N} $ zu zeigen. +Als Korollar erhalten wir daraus die Adjunktion von $- \otimes^{L}_A \com{N}$ +und $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, indem wir durch geeignetes Auflösen +der beteiligten Komplexe die +Situation auf die Adjunktion von $- \otimes_A \com{N}$ und $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ +zurückführen. \newpage \section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren} Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und sei $F\colon \mathcal{A} \to -\mathcal{B}$ ein Funktor. Das Ziel ist es in natürlicher Weise für jedes Objekt +\mathcal{B}$ ein additiver Funktor. Das Ziel ist es in natürlicher Weise für jedes Objekt $X \in \mathcal{A}$ einen Komplex $\text{R}F(X)$ zu definieren, dessen Kohomologiegruppen, falls $F$ linksexakt ist, mit den klassischen Rechtsableitungen von $F$ bei $X$ übereinstimmen. Allgemeiner definieren wir $\text{R}F(\com{X})$ -für jeden Komplex $\com{X}$ in $\mathcal{A}$. Genauer gesagt konstruieren wir einen +für jeden Komplex $\com{X}$ in $\mathcal{A}$, indem wir einen Funktor $\text{R}F$ von der derivierten Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ von -$\mathcal{A}$ in die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ von $\mathcal{B}$. +$\mathcal{A}$ in die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ von $\mathcal{B}$ konstruieren. Die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ erhalten wir durch Lokalisierung, analog zum gleichnamigen Vorgang in der kommutativen Algebra: Wir starten mit der Kategorie -$\mathcal{K}(\mathcal{A})$, der Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, wobei die Morphismen +$\mathcal{K}(\mathcal{A})$, der Homotopiekategorie von $\mathcal{A}$, wobei die Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Daraus erhalten wir dann $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ indem alle Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, das heißt Komplexhomomorphismen, die Isomorphismen auf den @@ -77,7 +354,7 @@ und $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ im Allgemeinen nicht abelsch; sie genügen jedoch anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie. \begin{definition}[Triangulierte Kategorie] - Eine triangulierte Kategorie ist eine additive Kategorie $\mathcal{T}$ mit + Eine \emph{triangulierte Kategorie} ist eine additive Kategorie $\mathcal{T}$ mit \begin{enumerate}[(a)] \item einem additiven Kategorienautomorphismus $T\colon \mathcal{T} \to \mathcal{T}$, dem Verschiebefunktor, und @@ -114,10 +391,10 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie. (TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen. \end{bem} -\begin{definition} +\begin{definition}[Triangulierte Unterkategorie] Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$. Eine Unterkategorie $\mathcal{R}$ von $\mathcal{T}$ heißt - triangulierte Unterkategorie, wenn gilt + \emph{triangulierte Unterkategorie}, wenn gilt \begin{enumerate}[(i)] \item für jedes Objekt $X \in \mathcal{T}$ ist $X \in \mathcal{R}$, genau dann wenn $T(X) \in \mathcal{R}$ ist, und @@ -129,13 +406,13 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie. \begin{definition}[Triangulierter Funktor] Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien - heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem + heißt \emph{trianguliert}, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem Verschiebefunktor kommutiert. \end{definition} \begin{definition}[Kohomologischer Funktor] Ein additiver (kovarianter) Funktor $H\colon \mathcal{T} \to \mathcal{A}$ von einer triangulierten Kategorie - in eine abelsche Kategorie heißt (kovarianter) kohomologischer Funktor, wenn für jedes + in eine abelsche Kategorie heißt (kovarianter) \emph{kohomologischer Funktor}, wenn für jedes ausgezeichnete Dreieck $(X, Y, Z, u, v, w)$ von $\mathcal{T}$ die lange Folge \[ \begin{tikzcd} @@ -148,7 +425,7 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie. \begin{lemma} Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $X \in \mathcal{T}$. - Dann sind $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(X, -)$ und $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(-, X)$ kohomologische Funktoren. + Dann sind $\operatorname{Mor}_{\mathcal{T}}(X, -)$ und $\operatorname{Mor}_{\mathcal{T}}(-, X)$ kohomologische Funktoren. \label{hom-cohom-func} \end{lemma} @@ -161,7 +438,7 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie. Das kanonische Beispiel für eine triangulierte Kategorie ist die Homotopiekategorie einer additiven Kategorie $\mathcal{C}$. \begin{definition}[Homotopiekategorie] - Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die Homotopiekategorie + Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die \emph{Homotopiekategorie} $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ von $\mathcal{C}$, die Kategorie, deren Objekte Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{C}$ sind und deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. @@ -190,7 +467,7 @@ den Abbildungskegel eines Morphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$: \begin{definition}[Abbildungskegel] Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe und $f\colon \com{X} \to \com{Y}$ ein - Komplexhomomorphismus. Dann sei der Abbildungskegel + Komplexhomomorphismus. Dann sei der \emph{Abbildungskegel} $\com{C}_f \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ definiert durch \[ C_f^{n} = X^{n+1} \oplus Y^{n} @@ -221,8 +498,8 @@ den Abbildungskegel eines Morphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$: \item Der Verschiebefunktor $T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$ wie in \ref{eq:shift-functor}. \item Ein Sextupel $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ wie in \ref{TR2} in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ - ist ein ausgezeichnetes Dreieck, - genau dann wenn + ist genau dann ein ausgezeichnetes Dreieck, + wenn es im Sinne von ausgezeichneten Dreiecken isomorph ist zu einem Sextupel der Form $(\com{X}, \com{Y}, \com{C_{f}}, f, i, p)$, @@ -326,7 +603,7 @@ uns zu folgendem Begriff führt: \begin{definition}[Multiplikatives System] Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Eine Klasse $\mathcal{S}$ von Morphismen von $\mathcal{C}$ heißt - multiplikatives System, wenn es die folgenden Axiome erfüllt: + \emph{multiplikatives System}, wenn es die folgenden Axiome erfüllt: \begin{enumerate}[(FR1), leftmargin=14mm] \item Wenn $f, g \in \mathcal{S}$, sodass $fg$ existiert, ist $fg \in \mathcal{S}$. Für alle $X \in \mathcal{C}$ ist $\text{id}_{X}\in \mathcal{S}$. @@ -354,7 +631,7 @@ uns zu folgendem Begriff führt: \begin{definition}[Lokalisierung] Seien $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ eine Klasse von Morphismen in $\mathcal{C}$. Dann - ist die Lokalisierung von $\mathcal{C}$ in Bezug auf $\mathcal{S}$ eine Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ + ist die \emph{Lokalisierung} von $\mathcal{C}$ in Bezug auf $\mathcal{S}$ eine Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ zusammen mit einem Funktor $Q\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$, sodass \begin{enumerate}[(a)] \item $Q(s)$ ein Isomorphismus ist für alle $s \in \mathcal{S}$ und @@ -370,7 +647,7 @@ uns zu folgendem Begriff führt: \begin{enumerate}[(a)] \item $ob(\mathcal{C}) = ob(\mathcal{C}_{\mathcal{S}})$. \item Für $X, Y \in \mathcal{C}$ setze - $\text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y) = \{ (f, Z, s) \mid f \colon Z \to Y, + $\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y) = \{ (f, Z, s) \mid f \colon Z \to Y, s \colon Z \to X \text{ mit } s \in \mathcal{S}\} / \sim $ wobei $(f, Z, s) \sim (f', Z', s')$ genau dann wenn ein kommutatives Diagramm \[ @@ -380,16 +657,19 @@ uns zu folgendem Begriff führt: & \arrow{ul}{s'} Z' \arrow{ur}{f'} & \end{tikzcd} \] mit $t \in \mathcal{S}$ in $\mathcal{C}$ existiert. - \item Für $(f, U, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$, - $(g, V, t) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(Y, Z)$ sei + \item Für $(f, U, s) \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$, + $(g, V, t) \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(Y, Z)$ sei die Komposition definiert durch die äußeren Morphismen des kommutativen Diagramms \[ \begin{tikzcd} & & \arrow[dashed]{dl}{r} W \arrow[dashed]{dr}{h} & & \\ & \arrow{dl}{s} U \arrow{dr}{f} & & \arrow{dl}{t} V \arrow{dr}{g} & \\ - X & & Y & & Z + X & & Y & & Z. \end{tikzcd} - .\] Die gestrichelten Morphismen existieren wegen \hyperref[def:mult-system]{FR2}. + \] Die gestrichelten Morphismen existieren wegen \hyperref[def:mult-system]{FR2} und + es ist leicht zu verifizieren, dass das Ergebnis nicht von der + Wahl der gestrichelten Morphismen + abhängt. \item Für $X \in \mathcal{C}$ ist die Identität $X \to X$ in $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ gegeben durch das Tripel $(\text{id}_X, X, \text{id}_X)$. \end{enumerate} @@ -413,12 +693,13 @@ uns zu folgendem Begriff führt: \begin{bem} \begin{enumerate}[(a)] \item Da $\mathcal{S}$ eine echte Klasse sein kann, das heißt keine Menge, ist im - Allgemeinen auch $\text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$ für + Allgemeinen auch $\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$ für $X, Y \in \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ keine Menge. Das heißt streng genommen ist $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ im Allgemeinen nur eine große Kategorie. In unseren Anwendungsfällen kann man jedoch zeigen, dass $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ - eine (echte) Kategorie ist. Für Details + eine (echte \footnote{Das heißt $\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$ ist + eine Menge für alle $X, Y \in \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$.}) Kategorie ist. Für Details siehe Bemerkung 10.3.6 in \cite{set-theoretic}. Wir nehmen im Folgenden stillschweigend an, dass $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ eine (echte) Kategorie ist. @@ -427,7 +708,7 @@ uns zu folgendem Begriff führt: konstruiert werden. Wenn im Folgenden der Kontext klar ist, dann schreiben wir auch einfach $X$ für $Q(X)$ für ein Objekt $X \in \mathcal{C}$. Ebenso schreiben wir für $X, Y \in \mathcal{C}$ auch $s^{-1}f$ bzw. in der dualen Konstruktion $fs^{-1}$ für die Äquivalenzklasse des Tripels - $(f, Z, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$. In dieser Notation ist + $(f, Z, s) \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$. In dieser Notation ist dann $Q(f) = \text{id}^{-1}f$ bzw. $Q(f) = f\text{id}^{-1}$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{bem} @@ -441,7 +722,7 @@ an $\mathcal{S}$: \begin{definition}[Mit Triangulation kompatibles multiplikatives System] Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$ und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System - von Morphismen. Wir nennen $\mathcal{S}$ kompatibel mit der Triangulation, wenn die folgenden + von Morphismen. Wir nennen $\mathcal{S}$ \emph{kompatibel mit der Triangulation}, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind: \begin{enumerate}[(FR1), leftmargin=14mm] \setcounter{enumi}{3} @@ -485,7 +766,7 @@ auf $\mathcal{K}$ und $\mathcal{Q}is$, existiert die triangulierte Kategorie $\m \begin{definition}[Derivierte Kategorie] Wir bezeichnen die triangulierte Lokalisierung $\mathcal{K}_{\mathcal{Q}is}$ - als die derivierte Kategorie $\mathcal{D} = \mathcal{D}(\mathcal{A})$ von $\mathcal{A}$. + als die \emph{derivierte Kategorie} $\mathcal{D} = \mathcal{D}(\mathcal{A})$ von $\mathcal{A}$. \end{definition} \begin{bem}[] @@ -539,7 +820,7 @@ Voraussetzungen an $F$ und die beteiligten Kategorien, einen Funktor $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$: \begin{definition}[Abgeleiteter Funktor] - Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien. Der rechts abgeleitete Funktor von $F$ ist + Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien. Der \emph{rechts abgeleitete Funktor} von $F$ ist ein triangulierter Funktor \[ \text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A}) @@ -568,12 +849,19 @@ $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$: .\] \end{definition} -\begin{bem}[] +\begin{bem} \begin{enumerate}[(a)] \item Falls $\text{R}F$ existiert, ist dieser bis auf eindeutige natürliche Transformationen eindeutig. - \item Wir schreiben $R^{i}F$ für $H^{i}(\text{R}F)$ und wenn $F$ induziert ist von einem - links-exakten Funktor $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ und $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, sind - das genau die klassischen rechts-abgeleiteten Funktoren von $F$. + \item Wir schreiben $R^{i}F$ für $H^{i}(\text{R}F)$. Wenn + $F$ induziert ist von einem + links-exakten Funktor $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ und $\mathcal{A}$ genügend + viele Injektive hat, existiert der abgeleitete Funktor $\text{R}F$ + auf der vollen Unterkategorie $\mathcal{D}^{+}$ der nach unten + beschränkten Komplexe von $\mathcal{D}$. Sei $P: \mathcal{A} \to \mathcal{D}^{+}$ + der kanonische Funktor, der ein Objekt $X \in \mathcal{A}$ auf den Komplex + schickt, der im nullten Grad $X$ zu stehen hat und in allen anderen Graden $0$ ist. + Dann sind $R^{i}F \circ P$ genau + die klassischen rechts-abgeleiteten Funktoren von $F$. \item Es gibt den analogen Begriff der Linksableitung $\text{L}F$ (kovarianter) Funktoren, bei dem sich die Pfeile der natürlichen Transformationen umdrehen. \end{enumerate} @@ -603,7 +891,7 @@ $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$: \end{proof} Die Voraussetzungen von \ref{satz:existence-derived-functors} sind im Allgemeinen schwer zu erfüllen. Deshalb betrachtet man häufig gewisse Unterkategorien -von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, beispielsweise die Kategeorie +von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, beispielsweise die Kategorie $\mathcal{K}^{+}(\mathcal{A})$ der nach unten beschränkten Komplexe. Dies genügt, um den Fall (b) aus \ref{bem:derived-functors} zu studieren. @@ -613,22 +901,22 @@ Unterkategorie $\mathcal{L}$ zu finden, die die Bedingungen aus Ziel dieser Arbeit ist es herauszuarbeiten, dass im Falle von $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ für einen kommutativen -Ring $A$, die Bedingungen für die im Folgenden definierten Funktoren $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$, -$\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ und $\com{M} \otimes_A -$ erfüllt sind. Das +Ring $A$, die Bedingungen für die im Folgenden definierten Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, -)$, +$\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{M})$ und $\com{M} \otimes_A -$ erfüllt sind. Das wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat \[ -- \otimes_A M \dashv \text{Hom}_{A\text{-Mod}}(M, -) +- \otimes_A M \dashv \operatorname{Hom}_{A\text{-Mod}}(M, -) \] für einen $A$-Modul $M$ auf die abgeleiteten Funktoren zu übertragen. \begin{definition} Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe in einer beliebigen abelschen Kategorie $\mathcal{A}$. - Dann sei $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ definiert durch + Dann sei $\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ definiert durch \[ - \text{Hom}^{n}(\com{X}, \com{Y}) = \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(X^{i}, Y^{i+n}) + \operatorname{Hom}^{n}(\com{X}, \com{Y}) = \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}(X^{i}, Y^{i+n}) \] mit Differentialen \[ d^{n}(f) = d_{\com{Y} } f - (-1)^{n} f d_{\com{X}} - \] für $f \in \text{Hom}^{n}(\com{X}, \com{Y})$. + \] für $f \in \operatorname{Hom}^{n}(\com{X}, \com{Y})$. \label{def:hom-compl} \end{definition} @@ -659,51 +947,51 @@ wird uns erlauben das klassische Adjunktionsresultat \end{enumerate} \end{bem} -Die Kohomologiegruppen von $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y})$ für Komplexe +Die Kohomologiegruppen von $\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{Y})$ für Komplexe $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen: \begin{lemma} Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$: \[ - H^{n}\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n]) + H^{n}\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{Y}) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{Y}[n]) .\]\label{hom-compl-cohomgroups} \end{lemma} \begin{proof} - Sei $(f^i)_{i \in \Z} \in \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(X^{i}, Y^{i+n})$. Dann ist: + Sei $(f^i)_{i \in \Z} \in \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}(X^{i}, Y^{i+n})$. Dann ist: \[ - (f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n} \iff (-1)^{n} d_{\com{Y}}^{i+n} f^i = f^{i+1} d_{\com{X} }^{i} + (f^{i})_{i \in \Z} \in \operatorname{ker } d^{n} \iff (-1)^{n} d_{\com{Y}}^{i+n} f^i = f^{i+1} d_{\com{X} }^{i} \text{ für } i \in \Z .\] Wegen $d_{\com{Y}[n]} = (-1)^{n}d_{\com{Y}}$, induziert $(f^i)_{i \in \Z}$ also genau dann - einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{Y}[n]$, wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$. + einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{Y}[n]$, wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \operatorname{ker } d^{n}$. - Weiter ist $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im } d^{n-1}$, genau dann wenn eine Familie - $(k^{i})_{i \in \Z}\in \prod_{i \in \Z}^{} \text{Hom}(X^{i}, Y^{i+n-1})$ existiert, sodass + Weiter ist $(f^{i})_{i \in \Z} \in \operatorname{im } d^{n-1}$, genau dann wenn eine Familie + $(k^{i})_{i \in \Z}\in \prod_{i \in \Z}^{} \operatorname{Hom}(X^{i}, Y^{i+n-1})$ existiert, sodass %\[ % f^{i} = d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} - (-1)^{n-1} k^{i+1} d_{\com{X} }^{i} % = d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} + (-1)^{n} k^{i+1} d_{\com{X} }^{i} %.\] \[ (-1)^{n}f^{i} = (-1)^{n} d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} + k^{i+1} d_{\com{X} }^{i} - .\] Erneut wegen $d_{\com{Y} [n]} = (-1)^{n} d_{\com{Y} }$, ist also für $(f_i)_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$ + .\] Erneut wegen $d_{\com{Y} [n]} = (-1)^{n} d_{\com{Y} }$, ist also für $(f^i)_{i \in \Z} \in \operatorname{ker } d^{n}$ der induzierte Komplexhomomorphismus $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ genau dann nullhomotop, - wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$. + wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \operatorname{im }d^{n-1}$. \end{proof} -\begin{lemma}[$\com{\text{Hom}}(-, -)$ und (Co)limites] +\begin{lemma}[$\com{\operatorname{Hom}}(-, -)$ und (Ko)limites] Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und seien $(\com{S} _n)_{n \in \N}$ bzw. $(\com{T} _n)_{n \in \N}$ direkte bzw. inverse Systeme in $\mathcal{K}$. Dann sind die natürlichen Homomorphismen \[ - \com{\text{Hom}}(\colim \com{S}_n, \com{X}) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{S}_n, \com{X}) + \com{\operatorname{Hom}}(\colim \com{S}_n, \com{X}) \longrightarrow \lim \com{\operatorname{Hom}}(\com{S}_n, \com{X}) \] und \[ - \com{\text{Hom}}(\com{X}, \lim \com{T}_n) \longrightarrow \lim \com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{T}_n) + \com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \lim \com{T}_n) \longrightarrow \lim \com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{T}_n) \] Isomorphismen. \label{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} \end{lemma} \begin{proof} - Das gilt gradweise nach Definition von $\lim$ und man verifiert, dass die gradweisen Homomorphismen - Komplexhomomorphismen bilden. + Das gilt gradweise nach Definition von $\lim$ und man verifiziert, + dass die gradweisen Homomorphismen Komplexhomomorphismen bilden. \end{proof} \begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert] @@ -725,8 +1013,8 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen: Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann existiert ein natürlicher Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist: \[ - \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) - = \com{\text{Hom}}(\com{M},\com{\text{Hom}} (\com{N} , \com{P} )) + \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) + = \com{\operatorname{Hom}}(\com{M},\com{\operatorname{Hom}} (\com{N} , \com{P} )) .\] \label{satz:adjunction-hom-tor-comp} \end{satz} @@ -734,7 +1022,7 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen: \begin{proof} Das gilt gradweise, weil für beliebige $A$-Moduln $M, N, P$ ein natürlicher Isomorphismus \[ - \text{Hom}_{A}(M \otimes_A N, P) \to \text{Hom}_{A}(M, \text{Hom}_{A}(N, P)) + \operatorname{Hom}_{A}(M \otimes_A N, P) \to \operatorname{Hom}_{A}(M, \operatorname{Hom}_{A}(N, P)) \] existiert. Man verifiziert, dass die gradweisen Isomorphismen Komplexhomomorphismen bilden. \end{proof} @@ -743,7 +1031,7 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen: % Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{G}$ eine Klasse von Objekten % von $\mathcal{A}$, sodass jedes Objekt von $\mathcal{A}$ eine Einbettung % in ein Objekt aus $\mathcal{G}$ besitzt. Angenommen -% $\com{\text{Hom}}(\com{A}, E) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist exakt für alle +% $\com{\operatorname{Hom}}(\com{A}, E) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist exakt für alle % $E \in \mathcal{G}$. Dann ist $\com{A} $ exakt. % \label{lemma:0.10} %\end{lemma} @@ -754,7 +1042,7 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen: Sei $\com{Y} \in \mathcal{K}$. Um die Bedingungen von \ref{satz:existence-derived-functors} für -$\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) +$\com{\operatorname{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{Y})$) zu erfüllen, benötigen wir eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass @@ -763,24 +1051,24 @@ eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass $\com{X} \to \com{I}$ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$ (bzw. $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$) existiert, und - \item $\com{\text{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit + \item $\com{\operatorname{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{Y})$) Exaktheit von Komplexen aus $\mathcal{L}$ erhält. \end{enumerate} Dazu definieren wir: \begin{definition}[K-injektiv] - Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ heißt K-injektiv, wenn der Funktor - $\com{\text{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine K-injektive - Auflösung eines Komplexes $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist + Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ heißt \emph{K-injektiv}, wenn der Funktor + $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-injektive + Auflösung} eines Komplexes $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit $\com{I} \in \mathcal{K}$ K-injektiv. \end{definition} \begin{definition}[K-projektiv] - Ein Komplex $\com{P} \in \mathcal{K}$ heißt K-projektiv, wenn der Funktor - $\com{\text{Hom}}(\com{P}, -)$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine K-projektive - Auflösung eines Komplexes $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist + Ein Komplex $\com{P} \in \mathcal{K}$ heißt \emph{K-projektiv}, wenn der Funktor + $\com{\operatorname{Hom}}(\com{P}, -)$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-projektive + Auflösung} eines Komplexes $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist ein Quasiisomorphismus $\com{P} \to \com{X} $ mit $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv. \end{definition} @@ -788,7 +1076,7 @@ Dazu definieren wir: Das Ziel dieses Abschnitts ist das folgende Resultat: \begin{satz} - Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. Dann + Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$-(Links-)Moduln. Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{A}$ eine K-injektive und eine K-projektive Auflösung. \label{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions} @@ -804,8 +1092,8 @@ Komplexen entwickelt. \begin{lemma}[] Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Es gilt \begin{align*} - \com{X} \text{ K-injektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}\\ - \com{X} \text{ K-projektiv} &\iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt} + \com{X} \text{ K-injektiv} &\iff \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt}\\ + \com{X} \text{ K-projektiv} &\iff \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} ) = 0 \quad \forall \com{S} \in \mathcal{K} \text{ exakt} .\end{align*} \label{lemma:mork-crit-for-k-inj} \end{lemma} @@ -814,37 +1102,37 @@ Komplexen entwickelt. Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X}$ genau dann K-injektiv, wenn für jeden exakten Komplex $\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt, dass - $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$. + $\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$ $\forall i \in \Z$. Da Verschieben Exaktheit erhält folgt die Behauptung. Die duale Aussage folgt durch Umdrehen der Pfeile. \end{proof} \begin{lemma} Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ - ist zusammenziehbar, das heißt ist nullhomotop, also in $\mathcal{K}$ isomorph zum Nullkomplex. + ist zusammenziehbar, das heißt nullhomotop, also in $\mathcal{K}$ isomorph zum Nullkomplex. \label{lemma:k-inj-exact-contractible} \end{lemma} \begin{proof} Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) - \stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit - $\com{X} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\K$. + \stackrel{\ref{lemma:mork-crit-for-k-inj}}{=} 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit + $\com{X} = 0$ in $\K$. \end{proof} \begin{bem} Aus \ref{lemma:k-inj-exact-contractible} folgt, dass für einen exakten und K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ und einen beliebigen Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$, - der Komplex $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{I})$ exakt ist, denn + der Komplex $\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I})$ exakt ist, denn \[ - H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{I})) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{I}[i])) - \stackrel{\ref{lemma:k-inj-exact-contractible}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{\text{Hom}}(\com{X}, 0)) = 0 + H^{i}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I})) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I}[i])) + \stackrel{\ref{lemma:k-inj-exact-contractible}}{=} \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, 0)) = 0 .\] Analog gilt die duale Version für exakte K-projektive Komplexe. \label{satz:hom-exact-for-k-inj} - %auch $\com{\text{Hom}}(\com{X}, \com{I})$ exakt ist für alle $\com{M} \in \mathcal{K}$. + %auch $\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I})$ exakt ist für alle $\com{M} \in \mathcal{K}$. \end{bem} Für ein Objekt $X \in \mathcal{A}$ stellt sich die Frage, ob Injektivität (bzw. Projektivität) von $X$ in $\mathcal{A}$ -mit K-injektivität (bzw. K-projektivität) des Komplexes $\com{X}$, wobei $X^{i} = 0$ für alle $i \neq 0$ und +mit K-Injektivität (bzw. K-Projektivität) des Komplexes $\com{X}$, wobei $X^{i} = 0$ für alle $i \neq 0$ und $X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her: \begin{satz} @@ -858,7 +1146,7 @@ $X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her Wir zeigen nur den K-projektiven Fall. Der K-injektive folgt dann durch Umdrehen aller Pfeile. - ($\Leftarrow$) Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = [0 \to M \to N \to P \to 0]$ eine kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei + ($\Rightarrow$) Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = [0 \to M \to N \to P \to 0]$ eine kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$: \[\begin{tikzcd} 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r} @@ -866,19 +1154,20 @@ $X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her M \arrow{r} & N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{v} & P \arrow{r} & 0 \end{tikzcd}\] Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, das heißt es existiert ein $k \colon X^{0} \to N$, sodass $f = vk$. Also ist -$v_{*}\colon \text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv. +$v_{*}\colon \operatorname{Hom}(X^{0}, N) \to \operatorname{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv. -($\Rightarrow$) Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$ +($\Leftarrow$) Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$ Komplexhomomorphismus. Dann betrachte \[ \begin{tikzcd} 0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r} - \arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}} + \arrow[swap, dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}} \arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\ - S^{-1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1} + S^{-1} \arrow[swap, twoheadrightarrow]{r}{d^{-1}} & \operatorname{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} + \arrow[swap]{r}{d^{0}} & S^{1} \end{tikzcd} .\] -Da $d^{0}f^{0} = 0$, faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil +Da $d^{0}f^{0} = 0$, faktorisiert $f^{0}$ über $\operatorname{ker } d^{0} = \operatorname{im }d^{-1}$. Weil $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d^{-1} k^{0}$. \end{proof} @@ -896,23 +1185,23 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d und daraus, dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$ exakt und \[ - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S}) + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S}) .\] \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$ mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv - und $\com{S} \in \mathcal{K}$ ein exakter Komplex. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$ + und $\com{S} \in \mathcal{K}$ ein exakter Komplex. Nach Anwenden von $\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$ ist dann mit \ref{hom-cohom-func} die Folge \[ \begin{tikzcd} - \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \arrow{r} - & \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \arrow{r} + \underbrace{\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0} \arrow{r} + & \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} ) \arrow{r} & - \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0} + \underbrace{\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0} \end{tikzcd} .\] \[ \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt - $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, und damit $\com{Z} $ K-projektiv. + $\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, und damit $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun mit \hyperref[TR2]{TR2}. \end{enumerate} \end{proof} @@ -920,14 +1209,14 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d \begin{satz} Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent \begin{enumerate}[(i)] - \item $\com{P} $ K-projektiv - \item Für $\com{X} \to \com{Y} $ Quasiisomorphismus in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus + \item $\com{P} $ K-projektiv. + \item Für jeden Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{Y} $ in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus \[ - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \] ein Isomorphismus. \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus \[ - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) \] ein Isomorphismus. \end{enumerate} \label{satz:mork=mord-for-kproj} @@ -940,27 +1229,27 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C_f} \arrow{r} & \com{X}[1] \end{tikzcd} \] ein ausgezeichnetes Dreieck und $\com{C_f}$ ist nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt. Anwenden von - $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge: + $\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge: \[ \begin{tikzcd} - \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} & - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} & - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} & - \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0} + \underbrace{\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} & + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} & + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} & + \underbrace{\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0} \end{tikzcd} .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv ist, also folgt der behauptete Isomorphismus. (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{S} \to \com{T} $ , sodass $tf= 0$. - Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $ - injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann + Nach (ii) ist $t_{*}\colon \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $ + injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$ \[ \begin{tikzcd} & \com{Y} & \\ \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} \end{tikzcd} - \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = f$. Also + \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = f$. Also kommutiert \[ \begin{tikzcd} @@ -971,11 +1260,11 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$. (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also - $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also + $\com{S} = 0$ in $\mathcal{D}$, also \[ - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) - \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) - = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{0} ) = 0 + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) + \stackrel{\text{(ii)}}{=} \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) + = \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{0} ) = 0 .\] \end{proof} @@ -1018,8 +1307,8 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d existiert mit (ii) ein $g\colon \com{P} \to \com{S}$, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$. (iii)$\implies$(i): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für - $\com{S} \in \mathcal{K}$ - $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist. + $\com{S} \in \mathcal{K}$ die natürliche Abbildung + $\operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist. Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein Quasiisomorphismus $t\colon \com{T} \to \com{P} $ mit $ft = 0$. @@ -1052,7 +1341,7 @@ Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog: \item $\com{I}$ K-injektiv \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus \[ - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{I} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{S} , \com{I} ) + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{I} ) \to \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{S} , \com{I} ) \] ein Isomorphismus. \item Für jedes Diagramm in $\mathcal{K}$ \[ @@ -1077,7 +1366,7 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen Sei $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen. \begin{enumerate}[(a)] \item Ein inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt - $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: + \emph{$\mathcal{J}$-spezielles inverses System}, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: \begin{enumerate}[(i)] \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{I}_n = 0$. \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kern der natürlichen Abbildung @@ -1089,7 +1378,7 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen \end{enumerate} \item Die Klasse $\mathcal{J}$ heißt abgeschlossen unter speziellen inversen Limites, falls jedes $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder - Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist. + Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph zu einem Komplex in $\mathcal{J}$ ist, bereits in $\mathcal{J}$ ist. \end{enumerate} \label{def:special-inv-system} \end{definition} @@ -1127,9 +1416,9 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen \cdots\arrow{r} & A^{2} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{tikzcd} - \] denn für $n > 1$ ist $\com{\text{ker } p}_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-2}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach - Voraussetzung ist also $\text{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ und die kurze exakte Folge - $0 \to \com{\text{ker } p}_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt + \] denn für $n > 1$ ist $\com{\operatorname{ker } p}_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-2}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach + Voraussetzung ist also $\operatorname{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ und die kurze exakte Folge + $0 \to \com{\operatorname{ker } p}_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$. \end{proof} @@ -1144,7 +1433,7 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. %von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$. Ein inverses System $(M_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung - (R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: + \emph{(R)}, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: \begin{enumerate}[(i)] \item $M_1 = 0$. \item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv. @@ -1154,7 +1443,7 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. %\begin{enumerate}[(i)] % \item $I$ genügt Bedingung (S). % \item $M_1 = 0$. - % \item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv. + % \item Für $i > I_{\operatorname{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv. %\end{enumerate} \label{def:cond-r} \end{definition} @@ -1194,7 +1483,7 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. Dann ist die natürliche Abbildung \[ - \text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_N / \text{im } f_N + \operatorname{ker } g / \operatorname{im } f \longrightarrow \operatorname{ker } g_N / \operatorname{im } f_N \] ein Isomorphismus. \label{0.11} \end{lemma} @@ -1205,30 +1494,30 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. mache Diagrammjagd. \begin{equation} \begin{tikzcd} - A \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow[hookrightarrow]{r} - & \text{ker } g \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{d} + A \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f} \arrow{d} & \operatorname{im } f \arrow[hookrightarrow]{r} + & \operatorname{ker } g \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{d} & B \arrow{r}{g} \arrow{d} & C \arrow{r}{h} \arrow{d} & D \arrow{d} \\ - A_N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_N} & \text{im } f_N \arrow[hookrightarrow]{r} - & \text{ker } g_N \arrow[hookrightarrow]{r} + A_N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_N} & \operatorname{im } f_N \arrow[hookrightarrow]{r} + & \operatorname{ker } g_N \arrow[hookrightarrow]{r} & B_N \arrow{r}{g_N} & C_N \arrow{r}{h_N} & D_N \\ A_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{r}{f_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_{A}} - & \text{im } f_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u} - & \text{ker } g_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u} + & \operatorname{im } f_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u} + & \operatorname{ker } g_{N+1} \arrow[hookrightarrow]{r} \arrow{u} & B_{N+1} \arrow{r}{g_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_B} & C_{N+1} \arrow{r}{h_{N+1}} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_C} & D_{N+1} \arrow[twoheadrightarrow]{u}{p_D} \\ - \text{ker } p_{A} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow[hookrightarrow]{u} & & - & \text{ker } p_{B} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u} - & \text{ker } p_{C} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u} - & \text{ker } p_{D} \arrow[hookrightarrow]{u} \\ + \operatorname{ker } p_{A} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow[hookrightarrow]{u} & & + & \operatorname{ker } p_{B} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u} + & \operatorname{ker } p_{C} \arrow{r} \arrow[hookrightarrow]{u} + & \operatorname{ker } p_{D} \arrow[hookrightarrow]{u} \\ \end{tikzcd} \label{eq:0.11-diag} \end{equation} - Injektivität: Sei $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_N \in \text{im }f_N$. + Injektivität: Sei $(b_n)_{n \in \N} \in \operatorname{ker } g$, sodass $b_N \in \operatorname{im }f_N$. Dann existiert ein $a_N \in A_N$, sodass $f_N(a_N) = b_N$. Da $p_A$ surjektiv ist, existiert ein $x \in A_{N+1}$, sodass $p_A(x) = a_N$. Sei $y = f_{N+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ ist, @@ -1237,8 +1526,8 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. p_B(y) = p_B(f_{N+1}(x)) = f_N(p_A(x)) = f_N(a_N) = b_N .\] Da $(b_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{N+1}) = b_N$. Also ist - $b_{N+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{N+1} \in \text{ker } g_{N+1}$, - existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$, + $b_{N+1} - y \in \operatorname{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{N+1} \in \operatorname{ker } g_{N+1}$, + existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \operatorname{ker } p_A$, sodass $f_{N+1}(\tilde{x}) = b_{N+1} - y$. Nun setze $a_{N+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist \[ @@ -1247,12 +1536,12 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. und \[ p_{A}(a_{N+1}) = p_{A}(\tilde{x} + x) = p_{A}(x) = a_N - ,\] denn $\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible + ,\] denn $\tilde{x} \in \operatorname{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible Familie $(a_{n})_{n\ge N}$ mit $f(a_n) = b_n$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze $a_n \coloneqq p_{A_{n+1}}(a_{n+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag} liefert dann, dass $(a_n)_{n \in \N}$ ein kompatibles System ist mit $f(a_{n}) = b_n$ für alle $n \in \N$. - Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_N$. Weil $p_B$ surjektiv ist, existiert ein + Surjektivität: Sei $b \in \operatorname{ker } g_N$. Weil $p_B$ surjektiv ist, existiert ein $y \in B_{N+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{N+1}(y)$. Aufgrund der Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag} ist dann @@ -1260,21 +1549,21 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. p_C(z) = p_C(g_{N+1}(y)) = g_N(p_B(y)) = g_N(b) = 0 ,\] also - folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{N+1} \circ g_{N+1} = 0$ folgt + folgt $z \in \operatorname{ker } p_C$. Da $h_{N+1} \circ g_{N+1} = 0$ folgt \[ h_{N+1}(z) = h_{N+1}(g_{N+1}(z)) = 0 .\] Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun - ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, sodass $g_{N+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist - $y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{N+1}$ und + ein $\tilde{y} \in \operatorname{ker } p_B$, sodass $g_{N+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist + $y - \tilde{y} \in \operatorname{ker } g_{N+1}$ und \[ p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b .\] Setze $b_{N+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_N \coloneqq b$. Dann konstruiere induktiv eine kompatible - Familie $(b_n)_{n \ge N}$ mit $b_n \in \text{ker } g_{n}$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze wie + Familie $(b_n)_{n \ge N}$ mit $b_n \in \operatorname{ker } g_{n}$ für alle $n \ge N$. Für $n < N$ setze wie oben $b_n \coloneqq p_{B_{n+1}}(b_{n+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von - \eqref{eq:0.11-diag}, dass $(b_n)_{n \in \N} \in \text{ker } g$ ein kompatibles System mit $b_N = b$ ist. + \eqref{eq:0.11-diag}, dass $(b_n)_{n \in \N} \in \operatorname{ker } g$ ein kompatibles System mit $b_N = b$ ist. \end{proof} \begin{bem} @@ -1299,14 +1588,14 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. \[ (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N} \] die Bedingungen von \ref{0.11} für $N = 1$, - da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ der Komplex $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$ + da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ der Komplex $\operatorname{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$ exakt ist. Also ist die Folge \[ \begin{tikzcd} \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\ (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1} \end{tikzcd} - \] exakt. Da $i \in \Z$ beliebig war, folgt dass $\lim S_n$ exakt ist. + \] exakt. Da $i \in \Z$ beliebig war, folgt dass $\lim \com{S}_n$ exakt ist. \end{proof} \begin{satz} @@ -1330,16 +1619,16 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung \[ \begin{tikzcd} - 0 \arrow{r} & \text{ker } \com{p}_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0 + 0 \arrow{r} & \operatorname{ker } \com{p}_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0 \end{tikzcd} \] - exakt, zerfällt gradweise und $\text{ker } \com{p}_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit + exakt, zerfällt gradweise und $\operatorname{ker } \com{p}_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit \[ \begin{tikzcd} - 0 \arrow{r} & F(\text{ker } \com{p}_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0 + 0 \arrow{r} & F(\operatorname{ker } \com{p}_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0 \end{tikzcd} \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch - $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$. + $\operatorname{ker } F(p_n) = F(\operatorname{ker } p_n)$, also $\operatorname{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$. \end{enumerate} Also ist $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$. \end{proof} @@ -1348,7 +1637,7 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren inverse Limites. Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass - $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen + $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. Insbesondere ist die Klasse der K-injektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. \end{korollar} @@ -1356,16 +1645,16 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. \begin{proof} Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei $\mathcal{H}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass - $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann - ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. - $\mathcal{E}$ mit $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt + $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann + ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$. + $\mathcal{E}$ mit $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn: \begin{enumerate}[(i)] \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist $\mathcal{E}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites. - \item Wegen \ref{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} vertauscht $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ mit Limites. - Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also + \item Wegen \ref{lemma:inner-hom-commutes-with-limits} vertauscht $\com{\operatorname{Hom}} (\com{T}, -)$ mit Limites. + Außerdem ist $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also gradweise zerfallende Folgen. \end{enumerate} Also ist $\mathcal{H}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{H}_{\com{T} }$ @@ -1373,13 +1662,14 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$. Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{E}$ gesetzt wird. \end{proof} -Für die Klasse der K-injektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von \ref{def:special-inv-system}: +Für die Klasse der K-projektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von \ref{def:special-inv-system}: \begin{definition}[Spezielles direktes System] Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen. \begin{enumerate}[(a)] - \item Ein direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt $\mathcal{P}$-spezielles - direktes System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: + \item Ein direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt + \emph{$\mathcal{P}$-spezielles + direktes System}, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: \begin{enumerate}[(i)] \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{P}_n = 0$. \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kokern der natürlichen Abbildung @@ -1389,18 +1679,18 @@ Für die Klasse der K-injektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von \ 0 \to \com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n} \to \com{C}_n \to 0 \] zerfällt stufenweise. \end{enumerate} - \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites, falls jedes - $\mathcal{P}$-spezielle direkte System in $\mathcal{K}$ einen Colimes in $\mathcal{P}$ besitzt und jeder + \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt abgeschlossen unter speziellen direkten Kolimites, falls jedes + $\mathcal{P}$-spezielle direkte System in $\mathcal{K}$ einen Kolimes in $\mathcal{P}$ besitzt und jeder Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{P}$, bereits in $\mathcal{P}$ ist. \end{enumerate} \end{definition} -Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir die duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class} +Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir die duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class} und insbesondere die folgenden Ergebnisse: % brauche ich nicht %\begin{lemma} -% Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites. +% Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen direkten Kolimites. % % \label{lemma:exact-comp-complete-inv} %\end{lemma} @@ -1411,42 +1701,42 @@ und insbesondere die folgenden Ergebnisse: \begin{satz} Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen - unter speziellen inversen Limites. Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei - $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Colimites in + unter speziellen inversen Limites. Angenommen direkte Kolimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei + $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Kolimites in inverse Limites überführt und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält. - Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites. + Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Kolimites. \label{satz:complete-dir-system-functor} \end{satz} \begin{korollar}[] - Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren direkte Colimites. + Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren direkte Kolimites. Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass - $\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{T})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen - direkten Colimites. Insbesondere ist die Klasse der K-projektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen direkten - Colimites. + $\com{\operatorname{Hom}}(\com{A}, \com{T})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen + direkten Kolimites. Insbesondere ist die Klasse der K-projektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen direkten + Kolimites. \label{kor:k-proj-closed} \end{korollar} \begin{definition}[] Angenommen inverse (bzw. direkte) Limites existieren in $\mathcal{K}$ und sei $\mathcal{G}$ eine Klasse von - Komplexen in $\mathcal{K}$. Dann nennen wir $\underset{\leftarrow}{\mathcal{G}}$ - (bzw. $\underset{\rightarrow}{\mathcal{G}})$ die kleinste Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die abgeschlossen - unter speziellen inversen Limites (bzw. direkten Colimites) ist und $\mathcal{G}$ enthält. + Komplexen in $\mathcal{K}$. Dann sei $\leftfinal{\mathcal{G}}$ + (bzw. $\rightfinal{\mathcal{G}})$ die kleinste Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die abgeschlossen + unter speziellen inversen Limites (bzw. direkten Kolimites) ist und $\mathcal{G}$ enthält. \end{definition} \subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen} -Das Ziel dieses Abschnittes ist es nun Satz \ref{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions} +Das Ziel dieses Abschnittes ist es Satz \ref{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions} zu beweisen. Dazu verallgemeinern wir zunächst die Begriffe K-injektive und K-projektive Auflösungen: \begin{definition}[Auflösungen] Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen aus $\mathcal{K}$. Dann - ist eine $\mathcal{J}$-Linksauflösung ein Quasiisomorphismus $\com{J} \to \com{X} $ - mit $\com{J} \in \mathcal{J}$. Analog ist eine $\mathcal{J}$-Rechtsauflösung + ist eine \emph{$\mathcal{J}$-Linksauflösung} ein Quasiisomorphismus $\com{J} \to \com{X} $ + mit $\com{J} \in \mathcal{J}$. Analog ist eine \emph{$\mathcal{J}$-Rechtsauflösung} ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{J} $ mit $\com{J} \in \mathcal{J}$. \end{definition} @@ -1487,11 +1777,11 @@ Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. (ii)$\implies$(i): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ nach oben beschränkt. Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$. - Wähle $n= 0$ in (iii). Dann existiert ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $ mit - $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $f$ induziert - $H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und - $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. Also ist - $f$ ein Quasiisomorphismus. + Wähle $n= 0$ in (ii). Dann existiert ein $f\colon \com{P} \to \com{A}$ mit + $\com{P} \in \mathcal{P}$, $H^{i}(\com{P}) = 0$ und $f$ induziert + %$H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und + Isomorphismen $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. + Da $H^{i}(\com{P}) = 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i < 0$ ist also $f$ ein Quasiisomorphismus. \end{proof} \begin{bem}[] @@ -1512,24 +1802,27 @@ Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. %projektiv für alle $i \in \Z$ wählen. Sei $\mathcal{P}$ die Klasse der nach oben beschränkten Komplexe $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$ - projektiv für alle $i \in \Z$. Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, erfüllt + projektiv für alle $i \in \Z$. Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Projektive hat, erfüllt $\mathcal{P}$ die äquivalenten Bedingungen aus \ref{lemma:class-compl-cond}. Ein solches $\com{P}$ ist K-projektiv, denn: Für alle eingradigen Komplexe $\com{Q}$ mit $Q^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ ist $\com{Q} $ nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} K-projektiv. Da nach \ref{kor:k-proj-closed} die Klasse der K-projektiven - abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites ist, folgt mit dem Dual von + abgeschlossen unter speziellen direkten Kolimites ist, folgt mit dem Dual von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}, dass $\com{P} $ K-projektiv ist. - Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls + Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\rightfinal{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls $K$-projektiv. \label{bsp:bounded-above-projectives} \end{bsp} +Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die äquivalenten Bedingungen von +\ref{lemma:class-compl-cond} erfüllt. + \begin{lemma} Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ und - ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass + ein direktes System von Komplexhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 2$. \label{lemma:constr-dir-system} \end{lemma} @@ -1549,7 +1842,7 @@ Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. \label{eq:f-comp-hom} \end{equation} Da $\com{B}$ nach oben beschränkt ist - und $H^{i}(\com{P}) \stackrel{\sim }{=} H^{i}(\tau_{\le n-1}\com{A}) = 0$ für $i \gg 0$, folgt + und $H^{i}(\com{P}) \simeq H^{i}(\tau_{\le n-1}\com{A}) = 0$ für $i \gg 0$, folgt nach \ref{bem:mapping-cone-h-bounded} $H^{i}(\com{C}_f) = 0$ für $i \gg 0$. Also existiert nach \ref{bem:p-left-resolutions-for-h-bounded} ein Quasiisomorphismus @@ -1672,13 +1965,13 @@ Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. .\end{align*} Also folgt die Behauptung. Da $g$ und demnach $-g$ ein Quasiisomorphismus ist und Verschieben Exaktheit erhält, - folgt damit mit \ref{mapping-cone-exact-for-qis} die Exaktheit von $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$. + folgt mit \ref{mapping-cone-exact-for-qis} die Exaktheit von $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$. Setze nun $\com{P}_n \coloneqq \com{C}_{-g'}$ und $f_n \coloneqq h$. Sei $p_{n-1}\colon \com{P}_{n-1} = \com{P} \to \com{P}_n$ die natürliche Abbildung. Dann ist $p_{n-1}$ gradweise gegeben durch die natürliche Inklusion $P^{i} \to Q^{i+1} \oplus P^{i}$. Also folgt - $\text{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben gradweise + $\operatorname{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben gradweise zerfallende exakte Folgen: \[ \begin{tikzcd} @@ -1701,20 +1994,20 @@ Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Daraus folgt nun sofort: \begin{satz} - Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und + Angenommen direkte Kolimites existieren in $\mathcal{A}$ und $\colim$ ist exakt. Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine - $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Linksauflösung. + $\rightfinal{\mathcal{P}}$-Linksauflösung. \label{satz:existence-left-resolutions} \end{satz} \begin{proof} Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $(\com{P}_n)_{n \in \N}$, $(f_n)_{n \in \N}$ wie - in \ref{lemma:constr-dir-system}. Da direkte Colimites in $\mathcal{A}$ existieren und - sich diese in $\mathcal{K}$ gradweise bilden, existieren direkte Colimites - in $\mathcal{K}$. Nach der Definition von $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ ist dann - $\com{P} \coloneqq \colim \com{P}_n$ in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$. + in \ref{lemma:constr-dir-system}. Da direkte Kolimites in $\mathcal{A}$ existieren und + sich diese in $\mathcal{K}$ gradweise bilden, existieren direkte Kolimites + in $\mathcal{K}$. Nach der Definition von $\rightfinal{\mathcal{P}}$ ist dann + $\com{P} \coloneqq \colim \com{P}_n$ in $\rightfinal{\mathcal{P}}$. Wir erhalten ebenfalls \[ @@ -1727,7 +2020,7 @@ Daraus folgt nun sofort: \end{proof} \begin{korollar}[] - Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und + Angenommen direkte Kolimites existieren in $\mathcal{A}$ und $\colim$ ist exakt. Falls $\mathcal{A}$ außerdem genug Projektive hat, besitzt jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Auflösung. \label{satz:existence-k-proj-resolution} @@ -1764,7 +2057,7 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von \begin{lemma}[] Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von - Kettenhomomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge-n}\com{A} \to \com{I}_n$, sodass + Komplexhomomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge-n}\com{A} \to \com{I}_n$, sodass $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für $n \ge 2$. \label{lemma:constr-inv-system} \end{lemma} @@ -1773,7 +2066,7 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und $\lim$ ist exakt. Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine - $\underset{\leftarrow}{\mathcal{I}}$-Rechtsauflösung. + $\leftfinal{\mathcal{I}}$-Rechtsauflösung. \label{satz:existence-right-resolutions} \end{satz} @@ -1790,12 +2083,14 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von \end{bem} \begin{satz}[] - Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der R-links-Moduln. Dann + Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der R-(Links)-Moduln. Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-injektive Auflösung. \label{satz:existence-k-inj-resolution} \end{satz} \begin{proof} + Da $R$-Mod genügend viele Injektive hat, können wir + $\mathcal{I}$ wie im Dual von \ref{bsp:bounded-above-projectives} wählen. Seien $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und $(f_n)_{n \in \N}$ wie in \ref{lemma:constr-inv-system}. Seien $\com{I} = \lim \com{I}_n$ und $f = \lim f_n$. Es genügt zu zeigen, dass $f$ ein Quasiisomorphismus ist. @@ -1828,14 +2123,14 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von Betrachte nun die kurze exakte Folge \[ \begin{tikzcd} - 0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} & \com{I}_{n-1} + 0 \arrow{r} & \operatorname{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n} & \com{I}_{n-1} \arrow{r} & 0 \end{tikzcd} .\] Das liefert für $j \in \Z$ eine lange exakte Kohomologiefolge: \begin{equation} \begin{tikzcd} H^{j-1}(\com{I}_{n}) \arrow{r}{H^{j-1}(p_n)} & H^{j-1}(\com{I}_{n-1}) \arrow{r} - & H^{j}(\text{ker } p_n) \arrow{r} + & H^{j}(\operatorname{ker } p_n) \arrow{r} & H^{j}(\com{I}_n) \arrow{r}{H^{j}(p_n)} & H^{j}(\com{I}_{n-1}) \end{tikzcd} @@ -1843,21 +2138,21 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von \end{equation} Anwenden des obigen Arguments für $i = j$ und $i = j-1$ liefert für $n \ge -(j-1) + 1 \ge -j+1$ Isomorphismen $H^{j}(p_n)$ und $H^{j-1}(p_n)$. - Aufgrund der Exaktheit von \eqref{eq:long-ex-hi-in} folgt, dann dass - $H^{j}(\text{ker } p_n) = 0$ für alle $n \ge -(j-1)+1 = -j+2$. + Aufgrund der Exaktheit von \eqref{eq:long-ex-hi-in} folgt dann, dass + $H^{j}(\operatorname{ker } p_n) = 0$ für alle $n \ge -(j-1)+1 = -j+2$. Sei nun $m \in \Z$ beliebig. Dann setze $N \coloneqq -m + 1$. Dann ist für alle $n > N$: \[ - H^{m}(\text{ker } p_n) = 0 = H^{m+1}(\text{ker } p_n) + H^{m}(\operatorname{ker } p_n) = 0 = H^{m+1}(\operatorname{ker } p_n) .\] Also ist die Folge \begin{equation} \begin{tikzcd} - \text{ker } p_n^{m-1} \arrow{r} & - \text{ker } p_n^{m} \arrow{r} & - \text{ker } p_n^{m+1} \arrow{r} & - \text{ker } p_n^{m+2} + \operatorname{ker } p_n^{m-1} \arrow{r} & + \operatorname{ker } p_n^{m} \arrow{r} & + \operatorname{ker } p_n^{m+1} \arrow{r} & + \operatorname{ker } p_n^{m+2} \end{tikzcd} \end{equation} für $n > N$ exakt. Das System @@ -1886,10 +2181,10 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln. -\subsection{Abgeleitete $\com{\text{Hom}}$ Funktoren} +\subsection{Abgeleitete $\com{\operatorname{Hom}}$ Funktoren} %\begin{satz}[] -% Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ K-injektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{M} , \com{I} )$ exakt für alle +% Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ K-injektiv und exakt. Dann ist $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} , \com{I} )$ exakt für alle % $\com{M} \in \mathcal{K}$. % % \label{satz:hom-exact-for-k-inj} @@ -1898,12 +2193,12 @@ Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Mo %\begin{proof} % Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach % \ref{satz:existence-k-proj-resolution} ein $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und ein Quasiisomorphismus -% $\com{P} \to \com{M}$. Da $\com{I} $ K-injektiv, ist $\com{\text{Hom}}(-, \com{I})$ ein exakter Funktor, also +% $\com{P} \to \com{M}$. Da $\com{I} $ K-injektiv, ist $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ ein exakter Funktor, also % folgt % \begin{equation} -% H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})) = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{M}), \com{I}) -% = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{P}), \com{I}) -% = H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{I} )) +% H^{i}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})) = \com{\operatorname{Hom}}(H^{i}(\com{M}), \com{I}) +% = \com{\operatorname{Hom}}(H^{i}(\com{P}), \com{I}) +% = H^{i}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{P} , \com{I} )) % \label{eq:cohom-groups-2} % .\end{equation} % Da $\com{P} $ K-projektiv und $\com{I} $ exakt, folgt die Exaktheit der rechten Seite und damit die Behauptung. @@ -1912,13 +2207,13 @@ Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Mo %Umdrehen der Pfeile liefert %\begin{satz}[] -% Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{M} )$ exakt für alle +% Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und exakt. Dann ist $\com{\operatorname{Hom}}(\com{P} , \com{M} )$ exakt für alle % $\com{M} \in \mathcal{K}$. % \label{satz:hom-exact-for-k-proj} %\end{satz} \begin{satz} - Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ wohldefiniert + Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ wohldefiniert und kann mithilfe einer K-projektiven Auflösung von $\com{M} $ oder einer K-injektiven Auflösung von $\com{N} $ berechnet werden. \label{satz:derived-hom} @@ -1931,21 +2226,21 @@ Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Mo \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-proj-triangulated}. \item Für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$ existiert wegen \ref{satz:existence-k-inj-resolution} ein Quasiisomorphismus $\com{N} \to \com{I} $ mit $\com{I} \in \mathcal{L}$. - \item Nach \ref{satz:hom-exact-for-k-inj} erhält $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)|_{\mathcal{L}}$ + \item Nach \ref{satz:hom-exact-for-k-inj} erhält $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, -)|_{\mathcal{L}}$ Exaktheit von Komplexen. \end{enumerate} - Also existiert R$\com{\text{Hom}}(\com{M} , -)$. Analog berechnet sich R$\com{\text{Hom}}(-, \com{N})$ für + Also existiert R$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} , -)$. Analog berechnet sich R$\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ für $\com{N} \in \mathcal{K}$ unter Wahl von $\mathcal{L}$ als die volle Unterkategorie der K-projektiven Komplexe von $\mathcal{K}$. Beide Ableitungen stimmen überein, denn für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ beliebig und $\com{P} \to \com{M} $ und $\com{N} \to \com{I} $ K-projektive bzw. K-injektive Auflösungen gilt mit wiederholter Anwendung von \ref{satz:existence-derived-functors} und - wegen $\com{P} \stackrel{\sim }{=} \com{M} $ und $\com{N} \stackrel{\sim }{=} \com{I} $ in $\mathcal{D}$: + wegen $\com{M} \simeq \com{P} $ und $\com{N} \simeq \com{I} $ in $\mathcal{D}$: \begin{align*} - \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} , - )(\com{N}) - &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{P} , -)(\com{I}) \\ - &= \com{\text{Hom}}(\com{P}, \com{I}) \\ - &= \text{R}\com{\text{Hom}}(-, \com{I} )(\com{P}) \\ - &= \text{R}\com{\text{Hom}}(-, \com{N} )(\com{M}) + \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} , - )(\com{N}) + &\simeq \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{P} , -)(\com{I}) \\ + &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{P}, \com{I}) \\ + &= \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I} )(\com{P}) \\ + &\simeq \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N} )(\com{M}) .\end{align*} \end{proof} @@ -1955,11 +2250,11 @@ Sei von nun an $R = A$ ein kommutativer Ring. Um das Tensorprodukt abzuleiten, b eine weitere Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$: \begin{definition}[K-flach] - Ein Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}$ heißt K-flach, wenn der Funktor - $\com{M} \otimes_A -$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine K-flache - Auflösung eines Komplexes $\com{N} \in \mathcal{K}$ ist + Ein Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}$ heißt \emph{K-flach}, wenn der Funktor + $\com{M} \otimes_A -$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-flache + Auflösung} eines Komplexes $\com{N} \in \mathcal{K}$ ist ein Quasiisomorphismus $\com{M} \to \com{N} $ mit - $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-flach. + $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-flach. \end{definition} \begin{satz} @@ -1987,20 +2282,20 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe \begin{lemma} Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Angenommen für jeden K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ ist - $\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{I})$ exakt. Dann ist $\com{A}$ exakt. + $\com{\operatorname{Hom}}(\com{A}, \com{I})$ exakt. Dann ist $\com{A}$ exakt. \label{lemma:0.10} \end{lemma} \begin{proof} Sei $\com{B} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach \ref{satz:existence-k-inj-resolution} ein K-injektiver Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ und ein Quasiisomorphismus $\com{B} \to \com{I}$. Dann - gilt $\com{B} \stackrel{\sim }{=} \com{I} $ in $\mathcal{D}$ und wir erhalten + gilt $\com{B} \simeq \com{I} $ in $\mathcal{D}$ und wir erhalten \[ - \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A}, \com{B}) \stackrel{\sim }{=} - \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A} , \com{I} ) \stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=} - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A} , \com{I} ) = 0 + \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A}, \com{B}) \simeq + \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A} , \com{I} ) \stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=} + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A} , \com{I} ) = 0 .\] - Mit Yoneda folgt nun, dass $\com{A} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$. Da + Mit Yoneda folgt nun, dass $\com{A} = 0$ in $\mathcal{D}$. Da $H^{i}(-)\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ über den kanonischen Funktor $Q\colon \mathcal{K} \to \mathcal{D}$ faktorisiert, folgt $H^{i}(\com{A}) = 0$ für $i \in \Z$, also ist $\com{A}$ exakt. \end{proof} @@ -2009,7 +2304,7 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe Sei $\com{M} \in \mathcal{K} $. Dann sind äquivalent: \begin{enumerate}[(i)] \item $\com{M} $ ist K-flach. - \item $\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ ist K-injektiv für jeden + \item $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ ist K-injektiv für jeden K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$. \end{enumerate} \label{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj} @@ -2018,19 +2313,19 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe \begin{proof} (i)$\implies$(ii): Sei $\com{I}$ K-injektiv und $\com{S}$ exakt. Dann ist \[ - \com{\text{Hom}} (\com{S} , \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})) + \com{\operatorname{Hom}} (\com{S} , \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})) \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} - \com{\text{Hom}}(\underbrace{\com{S} \otimes_A \com{M}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{I}}_{\text{K-injektiv}} ) + \com{\operatorname{Hom}}(\underbrace{\com{S} \otimes_A \com{M}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{I}}_{\text{K-injektiv}} ) .\] Weil $\com{M} $ K-flach ist, folgt $\com{S} \otimes_A \com{M} $ exakt, also wegen $\com{I} $ K-injektiv, die Behauptung. (ii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Wegen \ref{lemma:0.10} genügt es zu zeigen, dass für jeden K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$, - $\com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, I) $ exakt ist. Dazu + $\com{\operatorname{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, I) $ exakt ist. Dazu sei $\com{I}$ ein K-injektiver Komplex. Dann ist \[ - \com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, \com{I}) - \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} \com{\text{Hom}}(\underbrace{\com{S}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})}_{\text{K-injektiv}}) + \com{\operatorname{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, \com{I}) + \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} \com{\operatorname{Hom}}(\underbrace{\com{S}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})}_{\text{K-injektiv}}) \] exakt. \end{proof} @@ -2094,9 +2389,10 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe \begin{proof} Sei $\com{M} $ K-projektiv und $\com{S} $ exakt. Sei weiter $\com{I} $ K-injektiv. Dann folgt \[ - \com{\text{Hom}} (\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{I}) \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} - \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I} ) - .\] Es ist $\com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I})$ exakt, da $\com{I} $ K-injektiv und damit die rechte Seite, da + \com{\operatorname{Hom}} (\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{I}) \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} + \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{S}, \com{I} )) + .\] Es ist $\com{\operatorname{Hom}}(\com{S}, \com{I})$ exakt, da $\com{I} $ K-injektiv und damit + ist die rechte Seite auch exakt, da $\com{M} $ K-projektiv ist. Also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:0.10}. Das Insbesondere folgt nun aus \ref{satz:existence-k-proj-resolution}. \end{proof} @@ -2130,7 +2426,7 @@ Damit erhalten wir: \begin{proof} In der Notation (der Linksableitungsversion) von \ref{satz:existence-derived-functors} wähle $\mathcal{L}$ - als die volle Unterkategorie der K-flachen Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann ist + als die volle Unterkategorie der K-flachen Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann gilt für $\com{N}$ beliebig: \begin{enumerate}[(i)] \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-flat-triangulated}. @@ -2153,8 +2449,8 @@ Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten: Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist: \[ - \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) - = \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) + \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) + = \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) .\] \label{satz:adjunction-rhom-rtor} \end{satz} @@ -2167,27 +2463,27 @@ Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten: Dann folgt \begin{align*} - \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) - &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\ - &= \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P} ) \\ + \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) + &= \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\ + &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P} ) \\ &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} - \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ - &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ - &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) + \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ + &= \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ + &= \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) .\end{align*} - Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj} - $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist. + Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj} + $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist. \end{proof} \begin{korollar}[] Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist: \[ - \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) - = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N} , \com{P} ) + \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) + = \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N} , \com{P} )) .\] Insbesondere gilt folgende Funktoradjunktion in $\mathcal{D}$: \[ - - \otimes_A^{\text{L}} N \dashv \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, -) + - \otimes_A^{\text{L}} \com{N} \dashv \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -) .\] \end{korollar} @@ -2195,25 +2491,25 @@ Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten: Wir können wieder annehmen, dass $\com{N}$ K-flach und $\com{P} $ K-injektiv ist. Dann betrachte: \begin{salign*} - \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) + \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=} - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\ + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\ &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} - H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\ - &= H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\ + H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\ + &= H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\ &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} - H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ + H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} - \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ + \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=} - \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ - &= \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) + \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\ + &= \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) .\end{salign*} - Das letzte Gleichheitszeichen gilt erneut, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj} - $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist. + Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt erneut, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj} + $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist. \end{proof} -\bibliographystyle{plain} +\bibliographystyle{alpha} \bibliography{refs} %% TODO: zitate richtig machen diff --git a/sose2022/galois/2022-04-22-Note-11-19.xopp b/sose2022/galois/2022-04-22-Note-11-19.xopp new file mode 100644 index 0000000..9306a41 Binary files /dev/null and b/sose2022/galois/2022-04-22-Note-11-19.xopp differ diff --git a/sose2022/metaethik/2022-04-22-Note-09-52.xopp b/sose2022/metaethik/2022-04-22-Note-09-52.xopp new file mode 100644 index 0000000..6fd506a Binary files /dev/null and b/sose2022/metaethik/2022-04-22-Note-09-52.xopp differ diff --git a/ws2021/alggeo/Cours-schemas.pdf b/ws2021/alggeo/Cours-schemas.pdf new file mode 100644 index 0000000..da2859f Binary files /dev/null and b/ws2021/alggeo/Cours-schemas.pdf differ diff --git a/ws2021/alggeo/Cours-schemas.xopp b/ws2021/alggeo/Cours-schemas.xopp new file mode 100644 index 0000000..9112ddc Binary files /dev/null and b/ws2021/alggeo/Cours-schemas.xopp differ diff --git a/ws2021/alggeo/alggeo10.xopp b/ws2021/alggeo/alggeo10.xopp new file mode 100644 index 0000000..405b571 Binary files /dev/null and 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