diff --git a/sose2020/ana/lectures/ana1.pdf b/sose2020/ana/lectures/ana1.pdf new file mode 100644 index 0000000..21cc03c Binary files /dev/null and b/sose2020/ana/lectures/ana1.pdf differ diff --git a/sose2020/ana/lectures/ana1.tex b/sose2020/ana/lectures/ana1.tex new file mode 100644 index 0000000..4995832 --- /dev/null +++ b/sose2020/ana/lectures/ana1.tex @@ -0,0 +1,357 @@ +\documentclass{../../../lecture} + +\begin{document} + +\section{Folgen und Reihen von Funktionen} + +\subsection{Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz} + +\begin{definition} + Sei für $n \in \N$, $f_n \colon D \to \R$, $D \subset \R$ eine Funktion. + Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen + eine Funktion $f\colon D \to \R$ falls $\forall x \in D$ + die Folge $(f_n(x))_{n\in\N}$ gegen $f(x)$ konvergiert, d.h. + \[ + \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon, x) > 0 \text{ s.d. } + |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall n \ge N + .\] +\end{definition} + +\begin{bsp} + \begin{enumerate}[(a)] + \item \begin{align*} + &f_n(x)\colon [0,2] \to \R \\ + &f_n(x) = \begin{cases} + n^2x & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ + 2n - n^2x & \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\ + 0 & \frac{2}{n} \le x \le 2 + \end{cases} + .\end{align*} + $(f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen $f(x) \equiv 0$ $\forall x \in [0,2]$. + + $x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\ + $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$ + \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$. + \begin{figure}[h!] + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}% + [grid=both, + minor tick num=4, + grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, + major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, + axis lines=middle, + enlargelimits={abs=0.2}, + ymax=1, + ymin=0 + ] + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^1}; + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^2}; + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^3}; + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4}; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}% + [grid=both, + minor tick num=4, + grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, + major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, + axis lines=middle, + enlargelimits={abs=0.2}, + ymax=1, + ymin=0 + ] + \addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1}; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion} + \end{figure} + \begin{align*} + (f_n(x))_{n\in\N} \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x) + = \begin{cases} + 1 & \text{ falls } x = 1 \\ + 0 & \text{ falls } 0 \le x < 1 + \end{cases} + .\end{align*} + \end{enumerate} + \label{bsp:punktweisekonvergenz} +\end{bsp} + +\begin{bem} + Punktweiser Limes stetiger Funktionen muss nicht stetig sein. +\end{bem} + +\begin{definition} + Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f\colon D \to \R$ falls gilt + \[ + \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon) \text{ s.d. } + |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in D \text{ und } n \ge N + .\] +\end{definition} + +\begin{bem} + $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt + \[ + \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f + := \{ (x, y) \in D \times \R \mid | y - f(x)| < \epsilon\} + .\] + \begin{figure}[h!] + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}% + [grid=both, + minor tick num=4, + grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, + major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, + axis lines=middle, + enlargelimits={abs=0.2}, + ymax=1, + ymin=0 + ] + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.7}; + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5}; + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {0.1 * sin(deg(40*x)) + 0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5}; + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3}; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \begin{tikzpicture} + \begin{axis}% + [grid=both, + minor tick num=4, + grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, + major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, + axis lines=middle, + enlargelimits={abs=0.2}, + ymax=1, + ymin=-0.4, + ] + \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3}; + \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1}; + \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8}; + \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3}; + \end{axis} + \end{tikzpicture} + \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent} + \end{figure} + Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a): + Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt + $\left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)- f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = n > \frac{1}{2}$ +\end{bem} + +\begin{bsp} + $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert + gleichmäßig gegen $f(x) = 0$. + \[ + | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies + f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz} + .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt + \[ + \forall n \ge N \quad |f_n(x)| \le \frac{1}{N} < \epsilon \quad \forall x + \implies \text{gleichmäßige Konvergenz} + .\] +\end{bsp} +\begin{bem} + Konvergiert $f_n \colon D \to \R$ gleichmäßig gegen $f \colon D \to \R$, dann konvergiert $f_n$ punktweise + gegen $f$. Die Umkehrung gilt nicht, siehe \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b). +\end{bem} + +\begin{satz}[Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig] + Es sei $D \subset \R$ und $f_n\colon D \to \R$ $\forall n \in \N$ stetig in $D$. + Sei $(f_n)_{n\in\N}$ gleichmäßig konvergent gegen $f\colon D \to \R$. Dann gilt: + $f$ ist stetig in $D$. +\end{satz} + +\begin{proof} + Seien $x_0 \in D$ und $\epsilon > 0$. + Zu zeigen: + $\exists \delta > 0$ $\forall x \in D\colon |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$. + \[ + (f_n)_{n\in\N} \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f + \implies \exists N \in \N \text{ s.d. } \forall n \ge N \quad \forall x \in D + \text{ gilt } | f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3} + .\] + \[ + f_n \text{ stetig in } x_0 \implies \exists \delta \text{ s.d. } \forall x \in D \text{ gilt } + |x - x_0| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(x_0)| < \frac{\epsilon}{3} + .\] + Zusammen: $\forall x$ mit $|x - x_0| < \delta $ gilt: + \begin{align*} + |f(x) - f(x_0)| &= |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)| \\ + &\le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\ + &\le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\ + &= \epsilon + .\end{align*} +\end{proof} + +\subsection{Der Funktionenraum $C[a,b]$} + +\begin{definition}[Maximumnorm $\Vert\cdot \Vert_\infty$] + Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und + $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann + \[ + \Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)| \mid x \in [a,b]\} + .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und + abgeschlossen ist. +\end{definition} + +\begin{satz}[$\Vert \cdot \Vert_\infty$ und gleichmäßige Konvergenz] + Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt + \begin{enumerate}[(i)] + \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R + \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$ + \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b] + \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt + $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$ + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[(i)] + \item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d. + $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt: + \[ + \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0 + .\] + ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen + $\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d. + $\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt + $\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$ + \[ + |f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = + \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz} + .\] + \item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. + $\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$. + + Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$ + $\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$. + + Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$: + \begin{align*} + &|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)| + \le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\ + \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_\infty + \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0 + .\end{align*} + + ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d. + \[ + |f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad + \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b] + .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\ + $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\ + $\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$. + + Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$: + \[ + |f_n(x) - f(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_n(x) - f_m(x)| < \frac{\epsilon}{2} + \implies (f_n)_{n\in\N} \text{ konvergiert gleichmäßig gegen } f + .\] + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{bem} + $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ erfüllt s.g. Normeigenschaften: + \begin{enumerate}[(N1)] + \item $\Vert f \Vert_\infty = 0 \implies f(x) = 0, x \in [a,b]$ (Definitheit) + \item $\Vert \alpha f \Vert_{\infty} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert_\infty$, $\alpha \in \R$ (Homogenität) + \item $\Vert f + g \Vert_{\infty} \le \Vert f \Vert_\infty + \Vert g \Vert_\infty$ (Dreiecksungleichung) + \end{enumerate} folgen direkt aus den Eigenschaften des Absolutbetrags. +\end{bem} + +\begin{definition} + Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch + \[ + C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R \mid f \text{ stetig }\} + .\] mit $\Vert f \Vert_\infty$ einen normierten Vektorraum. +\end{definition} + +\begin{satz}[Vollständigkeit] + Der Raum $C[a,b]$ ist vollständig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz, d.h. jede + Cauchy-Folge von Funktionen aus $C[a,b]$ besitzt einen Limes in $C[a,b]$ +\end{satz} + +\begin{proof} + Rannacher +\end{proof} + +\subsection{Integration und Grenzübergänge} + +Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$? + +\begin{satz} + Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$ + mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt + $f$ stetig und Riemann-integrierbar und + \[ + \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + = \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx + .\] +\end{satz} + +\begin{proof} + $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar. + + Es gilt + \[ + \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| = \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right| + \le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le \underbrace{\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)|}_{= \underbrace{\Vert f_n - f \Vert_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}} + .\] +\end{proof} + +\begin{satz} + Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe + $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen + $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt: + \[ + f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b] + .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und + \begin{align*} + \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\ + \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert. +\end{satz} + +\begin{proof} + $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar. + + Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h. + \[ + f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes} + .\] Es gilt + \[ + \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = + \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx + .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d. + $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt + \begin{align*} + &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a) \\ + \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\ + \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + .\end{align*} +\end{proof} + +\begin{korrolar}[Integration von Potenzreihen] + Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$. + Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall + $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt + \[ + \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1} + \Big|_{a}^{b} + .\] +\end{korrolar} + +\begin{proof} + Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt: + \begin{align*} + \left\Vert \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_n(x-x_0)^{n} \right\Vert_{\infty} + &= \left\Vert \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}\right\Vert_\infty \\ + &\stackrel{|x - x_0| < r}{\le} \quad \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot r^{n} \\ + &\stackrel{(*)}{\le} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(\frac{1}{\rho - \epsilon}\right)^{n} \cdot r^{n} \\ + &= \sum_{n=N+1}^{\infty} \underbrace{\left( \frac{r}{\rho-\epsilon} \right)^{n}}_{< 1} + \xrightarrow[\text{geometrische Reihe}]{N \to \infty} 0 + .\end{align*} + $(*)$: $\rho = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|} }$, $r < \rho - \epsilon$ für ein $\epsilon > 0 \implies + \exists N_0 \in \N$, s.d. $\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{\rho - \epsilon} $ $\forall n \ge N_0$ +\end{proof} + +\end{document} diff --git a/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf b/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf new file mode 100644 index 0000000..a8a0ef3 Binary files /dev/null and b/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf differ diff --git a/sose2020/ana/lectures/analysisII.tex b/sose2020/ana/lectures/analysisII.tex new file mode 100644 index 0000000..41d839d --- /dev/null +++ b/sose2020/ana/lectures/analysisII.tex @@ -0,0 +1,22 @@ +\documentclass[titlepage]{../../../lecture} + +\usepackage{standalone} +\usepackage{tikz} +\usepackage{subcaption} + +\title{Analysis II} +\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina} +\date{SoSe 2020} + +\begin{document} + +\newgeometry{right=15mm, left=15mm} +\maketitle +\restoregeometry + +\tableofcontents +\newpage + +\input{ana1.tex} + +\end{document} diff --git a/sose2020/proseminar/skript.pdf b/sose2020/proseminar/skript.pdf new file mode 100644 index 0000000..346341a Binary files /dev/null and b/sose2020/proseminar/skript.pdf differ diff --git a/sose2020/proseminar/skript.tex b/sose2020/proseminar/skript.tex new file mode 100644 index 0000000..9f6aa2a --- /dev/null +++ b/sose2020/proseminar/skript.tex @@ -0,0 +1,276 @@ +\documentclass{../../lecture} + +\begin{document} + +\setcounter{section}{2} + +\section{Prime Restklassen und der Satz von Euler-Fermat} + +\textit{Einleitung: - Besondere Eigenschaften von Restklassenringen bei Primzahlen +- Satz von Euler-Fermat} + +\begin{definition}[Nullteiler] + Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$ heißt ein Nullteiler, wenn es ein $y \in R, y\neq 0$ + mit $xy = 0$ gibt. Der Ring $R$ heißt nullteilerfrei, wenn $R \neq 0$ ist und + 0 der einzige Nullteiler in $R$ ist. +\end{definition} + +\textit{Anmerkung: Der Nullring ist nicht nullteilerfrei und die 0 ist kein Nullteiler, da kein +$y \in R, y \neq 0$ existiert.} + +\begin{bsp} + \begin{itemize} + \item Nullring hat keinen Nullteiler, da kein $y \in R$, $y \neq 0$ existiert. + \item Nullteiler in $\Z / 3\Z: \overline{0}$, also ist $\Z / 3 \Z$ nullteilerfrei. + \item Nullteiler in $\Z / 4 \Z: \overline{0}$, $\overline{2}$ ($\overline{2}\cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{0}$), also nicht nullteilerfrei. + \end{itemize} +\end{bsp} + +\begin{definition}[Einheit] + Es sei $R$ ein Ring. Ein Element $x \in R$ heißt eine Einheit, wenn es ein $y \in R$ mit $xy = 1$ gibt. + \textit{also: wenn ein Inverses bezüglich Multiplikation existiert} +\end{definition} + +\begin{bsp} + \begin{itemize} + \item Einheiten in $\Z / 3\Z: \overline{1}$, $\overline{2}$ + ($\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{4} = \overline{1}$). + \item Einheiten in $\Z / 4\Z: \overline{1}, \overline{3}$: + ($\overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{9} = \overline{1}$) + \end{itemize} +\end{bsp} + +\begin{lemma} + \label{lemma:einheitengruppe} + Es sei $R$ ein Ring. Dann gilt + \begin{enumerate}[(a)] + \item $R^{\times } := \{ x \in R \mid x \text{ ist eine Einheit}\} $ ist eine abelsche + Gruppe bezüglich der Multiplikation, die sogenannte Einheitengruppe von $R$. + Insbesondere gibt es für jedes $x \in R^{\times }$ genau ein $y \in R^{\times }$ mit + $xy = 1$. Dieses Element bezeichnen wir mit $x^{-1}$ und nennen es das + (multiplikativ) Inverse zu $x$. + \item Ist $x \in R^{\times }$, dann ist $x$ kein Nullteiler. + \label{lemma:einheitengruppe:nullteiler} + \item Falls $R$ endlich ist, dann gilt auch die Umkehrung von (b): Ist $x \in R$ kein Nullteiler, + dann ist $x$ eine Einheit. + \end{enumerate} + \textit{Insbesondere gilt im Fall $R = \Z / n \Z$ , $n \in \N$, für $\overline{x} \in R$, dass $\overline{x}$ + genau dann eine Einheit ist, wenn $\overline{x}$ kein Nullteiler ist.} Die Einheiten im + Ring $\Z / n \Z$ nennt man prime Restklassen modulo n, die Gruppe $(\Z / n \Z)^{\times }$ + dementsprechend die Gruppe der primen Restklassen modulo n. +\end{lemma} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Sind $a, b \in R^{\times }$, dann ist auch $ab \in R^{\times }$, denn dann existieren + $c, d \in R$ mit $ac = 1$, $bd = 1$, damit folgt + $(ab)(cd) = (ac)(bd) = 1$. + + Assoziativität und Kommutativität folgen aus der Multiplikation in $R$. + + Neutrales Element: $1 \in R^{\times}$ wegen $1 \cdot 1 = 1$. + + Inverse: Ist $a \in R^{\times}$, dann existiert nach Definition ein $b \in R$ mit + $ab = 1 \implies ba = 1$. Damit folgt $b \in R^{\times }$. + + Damit ist $R^{\times }$ eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation. + \item Falls $R = 0$, dann ist $0 = 1$ also eine Einheit, aber kein Nullteiler. Falls + $R \neq 0$: Sei $x \in R^{\times }$ und $y \in R$ mit $xy = 0$. Damit folgt + $y = x^{-1}xy = x^{-1} \cdot 0 = 0$, also ist $x$ kein Nullteiler. + \item Sei $R$ endlich und $x \in R$ kein Nullteiler. Wir betrachten die Abbildung + $\tau: R \to R, a \mapsto xa$. $\tau$ ist injektiv, denn aus $\tau(a) = \tau(b)$ + folgt $xa = xb \implies x(a-b) = 0$. Da $x$ kein Nullteiler ist, folgt damit + $a - b = 0 \implies a = b$. Als injektive Selbstabbildung der endlichen Menge $R$ ist + $\tau$ auch surjektiv, damit existiert ein $y \in R$ mit $\tau(y) = 1$, was + $xy = 1$ und deshalb $x \in R^{\times}$ impliziert. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition}[Körper] + Ein Ring $R$ heißt ein Körper, wenn $R^{\times } = R \setminus \{0\}$ ist. +\end{definition} + +\textit{Anmerkung: Nullring $R = 0$ ist nach Definition kein Körper} + +\begin{bsp} + $\Z / 3\Z$ ist ein Körper, $\Z / 4 \Z$ ist kein Körper. +\end{bsp} + +\begin{satz} + Es sei $n \in \N$. Dann sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item $n$ ist eine Primzahl + \item $\Z / n \Z$ ist ein Körper + \item $\Z / n \Z$ ist nullteilerfrei. + \end{enumerate} + Für Primzahlen $p$ schreiben wir auch $\mathbb{F}_p := \Z / p \Z$. +\end{satz} + +\begin{proof} + (i) $\implies$ (ii): Sei $n$ eine Primzahl, $\overline{a} \in \Z / n \Z$, $\overline{a} \neq 0$. + Zz.: $a \in (\Z / n \Z)^{\times}$. Wegen $\overline{a} \neq 0$ folgt $n \nmid a$. Da + $n$ eine Primzahl ist, erhalten wir $\text{ggT}(n,a) = 1$. Aufgrund des erweiterten + Euklidischen Algorithmus gibt es $u, v \in \Z$ mit + $un + va = 1 \implies \overline{un} + \overline{va} = \overline{1} \implies \overline{v} \cdot \overline{a} = \overline{1}$. + Mit $\overline{a}^{-1} := \overline{v}$ folgt $a \in R^{\times}$. + + (ii) $\implies$ (iii): Sei $\Z / n \Z$ ein Körper. Damit ist $\Z / n \Z \neq 0$ und + $(\Z / n \Z)^{\times} = \Z / n \Z \setminus \{0\}$. Wegen \ref{lemma:einheitengruppe} + \ref{lemma:einheitengruppe:nullteiler} ist dann $\overline{0}$ der einzige + Nullteiler in $\Z / n \Z$, d.h. $\Z / n \Z$ ist nullteilerfrei. + + (iii) $\implies$ (i): Kontraposition: Sei $n$ keine Primzahl. Falls $n = 1$, dann ist + $\Z / n \Z = 0$, also nicht nullteilerfrei. Falls $n > 1$ ist, dann gibt es $a, b \in \N$ + mit $1 < a,b < n$, so dass $n = ab$ gilt. Damit folgt + $\overline{0} = \overline{n} = \overline{ab} = \overline{a} \overline{b}$ mit + $\overline{a}, \overline{b} \neq 0$, also sind $\overline{a}$, $\overline{b}$ Nullteiler, + insbesondere ist $\Z / n \Z$ nicht nullteilerfrei. +\end{proof} + +\textit{Anmerkung: Den erweiterten euklidischen Algorithmus verwenden wir noch weiter um die Einheiten +im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.} + +\begin{lemma} + Es seien $a$, $b \in \Z$, $n \in \N$. Dann sind äquivalent: + \begin{enumerate}[(i)] + \item Die Kongruenz $ax \equiv b$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$. + \item $\text{ggT}(a,n) \mid b$. + \end{enumerate} + \label{lemma:kongruenz} +\end{lemma} + +\begin{proof} + (i) $\implies$ (ii): Sei $x \in \Z$ mit $ax \equiv b$ $(\text{mod }n)$. Dann existiert + ein $k \in \Z$ mit $ax = b + kn$, also mit $b = ax - kn$. Wegen + $\text{ggT}(a,n) \mid a$ und $\text{ggT}(a,n) \mid n$ folgt $\text{ggT}(a,n) \mid b$. + + (ii) $\implies$ (i): Es gelte $\text{ggT}(a,n) \mid b$. Aus dem erweiterten Euklidischen Algorithmus + folgt die Existenz von $u$, $v \in \Z$ mit + \[ + ua + vn = \text{ggT}(a,n) + .\] Durch Multiplikation mit der nach Voraussetzung ganzen Zahl $\frac{b}{\text{ggT}(a,n)}$ erhalten + wir + \[ + ua \frac{b}{\text{ggT}(a,n)} + vn \frac{b}{\text{ggT}(a,n)} = b + ,\] was die Kongruenz + \[ + a \cdot \frac{bu}{\text{ggT}(a,n)} \equiv b \quad (\text{mod }n) + \] und damit die Behauptung zeigt. +\end{proof} + +\begin{korrolar} + Es sei $a \in \Z, n \in \N$. Dann sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod } n)$ besitzt eine Lösung in $\Z$. + \item $\overline{a} \in (\Z / n\Z)^{\times }$ + \item $\text{ggT}(a,n) = 1$ + \end{enumerate} +\end{korrolar} + +\begin{proof} + (i) $\iff$ (ii): Die Kongruenz $ax \equiv 1$ $(\text{mod }n)$ entspricht der Gleichung + $\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{1}$ in $\Z / n \Z$, welche + genau dann lösbar ist, wenn $\overline{x}$ eine Einheit in $\Z / n \Z$ ist. + + (i) $\iff$ (iii): Folgt mit $b = 1$ aus \ref{lemma:kongruenz}. +\end{proof} + +\begin{bsp} + %\begin{enumerate}[(a)] + %\item Die Kongruenz $15x \equiv 7$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $ggT(15,21) = 3 \nmid 7$ keine + % Lösung. + %\item + Die Kongruenz $15x \equiv 6$ $(\text{mod } 21)$ hat wegen $\text{ggT}(15,21) = 3 \mid 6$ eine Lösung. + Der erweiterte Euklidische Algorithmus ergibt + \[ + \text{ggT}(15, 21) = 3 = 3 \cdot 15 + (-2) \cdot 21 + .\] Damit folgt \textit{wie im Beweis durch Multiplikation mit 2} + \[ + 6 = 6 \cdot 15 + (-4) \cdot 21 \equiv 15 \cdot 6 \quad (\text{mod } 21) + \] d.h. $x = 6$ ist eine Lösung der Kongruenz. + %\end{enumerate} +\end{bsp} + +\begin{definition}[Ordnung] + Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Die Ordnung von $G$ (Notation: $|G|$) ist definiert als die Anzahl + der Elemente von $G$. +\end{definition} + +\begin{definition}[Eulersche $\varphi$-Funktion] + Die Abbildung + \begin{align*} + \varphi \colon &\N \to \N \\ + &n \mapsto |(\Z / n \Z)^{\times}| = \# \{ a \in \N_0 \mid 0 \le a < n \text{ und } \text{ggT}(a,n) = 1\} + .\end{align*} +\end{definition} + +\textit{Anmerkung: also zählt die $\varphi$-Funktion die zu einer Zahl $n$ teilerfremden Zahlen zwischen +$0$ und $n$.} + +\begin{bsp} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Es ist wie $(\Z / 4 \Z)^{\times} = \{\overline{1}, \overline{3}\} $, also $\varphi(4) = 2$. + \item Sei $p$ eine Primzahl. Dann ist $\Z / p \Z$ ein Körper, d.h. + \[ + \varphi(p) = |(\Z / p\Z)^{\times }| = \# \{\Z / p \Z\} - 1 = p - 1 + .\] + \end{enumerate} +\end{bsp} + +\begin{lemma} + \label{lemma:endlichegruppe} + Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und $g \in G$. Dann gilt + \[ + g^{|G|} = 1 + .\] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Betrachte die Abbildung $\tau_g\colon G \to G, x \mapsto gx$. Diese ist injektiv, denn + aus $\tau_g(x) = \tau_g(y)$ für $x, y \in G$ folgt $gx = gy$ und nach Linkskürzung $x = y$. Als injektive + Selbstabbildung auf der endlichen Gruppe $G$, ist $\tau_g$ auch surjektiv, also bijektiv. + Da $G$ endlich folgt damit + \[ + \prod_{x \in G} x \qquad \qquad\stackrel{\tau \text{ bijektiv, } G \text{ abelsch}}{=} \qquad\qquad \prod_{x \in G} \tau_g(x) = \prod_{x \in G} gx = g^{|G|} \prod_{x \in G} x + .\] Mit Rechtskürzung folgt damit $g^{|G|} = 1$. +\end{proof} + +\begin{satz}[Satz von Euler-Fermat] + Es sei $n \in \N$ und $\overline{a} \in (\Z / n \Z)^{\times }$. Dann gilt + \[ + \overline{a}^{\varphi(n)} = \overline{1} + .\] +\end{satz} + +\begin{proof} + Nach Definition ist $\varphi(n) = |(\Z / n \Z)^{\times }|$. Die Behauptung folgt damit direkt aus + \ref{lemma:endlichegruppe} mit $G = (\Z / n \Z)^{\times }$. +\end{proof} + +\begin{bsp} + Es ist $3^{19} \equiv 10$ $(\text{mod } 17)$, denn $\overline{3} \in (\Z / 17 \Z)^{\times}$ und + \[ + 3^{16} = 3^{\varphi(17)} \qquad\qquad \stackrel{\text{Satz v. Euler-Fermat}}{\equiv} \qquad \qquad 1 \quad (\text{mod } 17) + .\] Damit folgt + \[ + 3^{19} = 3^{3} \cdot 3^{16} = 27 \cdot 1 \equiv 10 \quad (\text{mod } 17) + .\] +\end{bsp} + +\begin{korrolar}[Kleiner Satz von Fermat] + Es sei $p$ eine Primzahl. Dann gilt + \begin{enumerate}[(a)] + \item Für jedes $\overline{a} \in \mathbb{F}_p^{\times }$ ist $\overline{a}^{p-1} = \overline{1}$. + \item Für jedes $\overline{a} \in \mathbb{F}_p$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{a}$. + \end{enumerate} +\end{korrolar} + +\begin{proof} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Mit $\varphi(p) = p - 1$ folgt das direkt aus dem Satz von Euler-Fermat. + \item Falls $\overline{a} \in \mathbb{F}_p^{\times }$: Dann ist + $\overline{a}^{p} = \overline{a} \cdot \overline{a}^{p-1} = \overline{a} \cdot \overline{1} = \overline{a}$. + Falls $\overline{a} = \overline{0}$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{0}^{p} = \overline{0} = \overline{a}$. + \end{enumerate} +\end{proof} +\end{document}