diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.pdf b/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.pdf new file mode 100644 index 0000000..b667298 Binary files /dev/null and b/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.pdf differ diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex b/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex new file mode 100644 index 0000000..10e88ea --- /dev/null +++ b/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex @@ -0,0 +1,282 @@ +\documentclass{arbeit} + +\usepackage{tikz-cd} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{hyperref} +\usepackage{graphicx} +\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}} +\newcommand{\K}{\mathcal{K}} + +\begin{document} + +\section{Motivation} + +Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und einen $A$-Modul +$N$ die Adjunktion +\[ + - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -) +\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man +die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$ als +Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich +die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt. + +Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann +folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge +\[ +\begin{tikzcd} + 0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0 +\end{tikzcd} +\] in $\Z$-Mod lieferte dann die exakte Folge +\[ +\begin{tikzcd} + \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} & + \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z / 2 \Z)}_{\neq 0} \arrow{r} + & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) \arrow{r} + & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) +\end{tikzcd} +.\] Aber $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) \neq 0$ +und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist +$\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv. + +\section{Neuer Ableitungsbegriff} + +Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist. +Um einen allgemeineren zu finden, +betrachtet man die Bildung von klassischen Ableitungen. +%Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie: +%Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie +%von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und +%deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. +Dazu seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und $\mathcal{A}$ habe +genügend viele Injektive. +Sei $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein additiver und linksexakter Funktor und +$X \in \mathcal{A}$. Dann existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex +$\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass +\[ +\begin{tikzcd} + 0 \arrow{r} & X \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots +\end{tikzcd} +\] exakt ist oder, äquivalent dazu, dass die vertikalen Morphismen in +\begin{equation} +\begin{tikzcd} + \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\ + \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots + \label{eq:resolution} +\end{tikzcd} +\end{equation} +einen Quasiisomorphismus bilden, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf +den Kohomologiegruppen induziert. Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen +des Komplexes $F(\com{I})$. Man zeigt dann aufwendig, dass dieser Prozess wohldefiniert ist, das +heißt insbesondere nicht von der Wahl der injektiven Auflösung von $X$ abhängt. + +Anstatt den abgeleiteten Funktor von $F$ auf $\mathcal{A}$ zu konstruieren, definiert man nun +die Ableitung auf einer Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, das heißt einer Kategorie, deren +Objekte Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{A}$ sind. Bezeichne mit $X[0]$ den oberen Komplex +in \eqref{eq:resolution}. Dann ist es natürlich zu fordern, dass die Ableitung von $F$ bei +$X[0]$ bis auf Isomorphie mit der Ableitung von $F$ bei $\com{I}$ und bei allen weiteren injektiven +Auflösungen von $X$ übereinstimmt. + +Dies führt zu der Idee, Objekte (und allgemeiner Komplexe) auf kategorieller Ebene +mit ihren Auflösungen zu identifizieren, +also eine geeignete Kategorie von Komplexen zu finden, +in der quasiisomorphe Komplexe bereits isomorph sind. +Dazu kann man zunächst zur +Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, das heißt die Kategorie, deren +Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und deren Morphismen +Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus im +Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz. Deshalb konstruiert man eine weitere Kategorie +$\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$, mit den Objekten +von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, wobei alle Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ +Isomorphismen in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ induzieren. Man erhält einen kanonischen Funktor +$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$. + +Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor +$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit +einer natürlichen Transformation +$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die den Zusammenhang +zwischen $\text{R}F$ und $F$ herstellt. + +Im Allgemeinen ist die Existenz von $\text{R}F$ eine schwierige Frage, in der klassischen +Situation existiert $\text{R}F$ jedoch zumindest +auf der Unterkategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$ der +nach unten beschränkten Komplexe und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen +mit den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein. Vom klassischen Standpunkt +erwartungsgemäß, induziert die natürliche Transformation $\xi$ auf der Klasse der nach +unten beschränkten Komplexe mit injektiven Objekten Isomorphismen, das heißt $F$ stimmt mit +seiner Ableitung $\text{R}F$ auf diesen Komplexen überein. + +Dieser neue Ableitungsbegriff erlaubt auf natürliche Weise auch Funktoren\footnote{Unter Voraussetzung +einer schwachen Bedingung an $F$, die beispielsweise erfüllt ist, wenn +$F$ von einem additiven Funktor +$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ induziert ist.} +$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ zuzulassen. +Analog zur klassischen +Theorie ist dann die Existenz der Ableitung von $F$ gesichert durch: +\begin{enumerate}[(1)] + \item eine Klasse $\mathcal{J}$ von $F$-azyklischen Komplexen, das heißt + eine Klasse von Komplexen für die $F$ Exaktheit erhält, und + \item für jeden Komplex einen Quasiisomorphismus in einen Komplex aus $\mathcal{J}$. +\end{enumerate} +In diesem Fall induziert $\xi$ auf den Komplexen aus $\mathcal{J}$ Isomorphismen, das heißt +Ableitungen berechnen sich, analog zur klassischen Situation, durch Auflösungen durch Komplexe +aus $\mathcal{J}$. + +Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien jedoch nur +sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funktor $F$ ab. Spaltenstein +hat das in seiner +Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein} +für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen +an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt im +\ref{sec:resolutions}. Abschnitt sein Argument dar, um dies im \ref{sec:application}. +Abschnitt auf den Homfunktor und das Tensorprodukt anzuwenden. + +Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise +zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen, +angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren übereinstimmen. Der naive +Ansatz $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ bzw. $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ in beiden Variablen zu erweitern, +indem für Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ gradweise +$\operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i})$ gebildet wird, ist nicht hinreichend, +denn dieser neue Komplex enthielte keine Informationen über die Komplexhomomorphismen +von $\com{M}$ nach $\com{N}$. + +%Die Idee +%der derivierten Kategorie kommt von der Beobachtung, dass vor allem die Kohomologiegruppen von +%Komplexen von Interessse sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus +%$f\colon \com{X} \to \com{Y}$ zwischen Komplexen $\com{X}, \com{Y} $ in $\mathcal{A}$, +%also ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen induziert, +%im Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz, das heißt kein Isomorphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$. +%Diesen Defekt behebt die deriverte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die die selben Objekte +%hat wie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ und in der alle Quasiisomorphismen zu Isomorphismen erklärt +%werden. Bezeichne im Folgenden +%$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$ den kanonischen Funktor. + +%Sei nun $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ +%ein additiver Funktor. Dann definiert man einen Funktor +%$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ +%mit einer natürlichen Transformation +%$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$. Für ein Objekt +%$X \in \mathcal{A}$ bezeichne $X[0] \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ den Komplex der im Grad $0$ $X$ +%zu stehen hat und in allen anderen Graden $0$ ist. +%Falls $F$ linksexakt ist, +%existiert $\text{R}F$ und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0]) $ entsprechen +%den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$. Allgemeiner definiert man $\text{R}F$ +%für bestimmte Funktoren $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Das +%bedeutet der neue Ableitungsbegriff ist eine echte Verallgemeinerung des alten. + +%Um die abgeleitete Hom-Tensor Adjunktion zu formulieren, werden die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ +%und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise zu Funktoren +%$\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ erweitert, sodass +%die Erweiterungen, angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren +%übereinstimmen. Der so (in beiden Variablen) funktoriell definierte Komplex +%$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ für +%Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ soll dabei Informationen über die +%Morphismen in $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ von $\com{M} $ nach $\com{N} $ enthalten. Man definiert +%also für $n \in \Z$ + +\begin{definition} +Anstatt dessen definiert man für $n \in \Z$ und Komplexe $\com{M}, \com{N} \in +\mathcal{K}(\mathcal{A})$: +\[ +\operatorname{Hom}^{n}(\com{M}, \com{N}) = \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i+n}) +\] mit Differential +\[ + d^{n}(f) = d_{\com{N} } f - (-1)^{n} f d_{\com{M}} +.\] +\end{definition} + +\begin{lemma} + Dann erhält man den Zusammenhang + \[ + H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{N}) + .\] +\end{lemma} + +\begin{definition} +Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun +$\com{M} \otimes_A \com{N}$ so, dass man, analog zur klassischen Adjunktion, für +$\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus +\[ + \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) = + \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) +\] erhält. +\end{definition} +Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ +und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten. +Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{J}$ von Komplexen, die die Bedingungen +(1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt. + +Für +$\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür +\begin{definition} + Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ heißt \emph{K-injektiv}, wenn + der Funktor $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-injektive + Auflösung} eines Komplexes $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist ein Quasiisomorphismus + $\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$. +\end{definition} + +Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung +(1) ist für diese Wahl erfüllt, denn: + +\begin{lemma} + Ein exakter K-injektiver Komplex ist in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ der Nullkomplex. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ exakt und K-injektiv. Dann ist + \[ + \text{id}_{\com{I} } \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{I}, \com{I}) + = H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{I}, \com{I}) = 0 + .\] +\end{proof} + +Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen. + +Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten +K-injektiv sind. Klassisch ist bekannt, dass +jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für +einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die +klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht. + +Wir konstruieren deshalb geeignete $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme. +Das sind abzählbare inverse Systeme mit surjektiven Übergangsabbildungen, wobei die Kerne dieser +in $\mathcal{J}$ liegen. Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen +unter $\mathcal{J}$-speziellen inversen Limites ist, das heißt, dass die Limites von solchen +Systemen in $\mathcal{J}$ liegen. + +Die Idee im zweiten Schritt ist nun, für $n \in \N$ den unbeschränkten Komplex +$\com{M}$ so abzuschneiden, dass +die Kohomologiegruppen vom Grad $\ge -n$ erhalten bleiben. So erhalten wir ein System +$(\tau^{\ge -n} \com{M})_{n \in \N}$ der abgeschnittenen Komplexe von $\com{M}$. + +Induktiv konstruieren wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System +$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von Quasiisomorphismen +$f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$, indem wir in jedem Schritt für $n \in \N$ +aus $\tau^{\ge -n} \com{M}$ und $\com{I}_{n-1}$ einen nach unten beschränkten Komplex konstruieren, +der klassisch durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann. +So erhalten wir im Limes einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus +$f\colon \com{M} \to \com{I}$. + +Da für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ der inverse Limes jedoch nicht exakt ist, ist +$f\colon \com{M} \to \com{I}$ +a priori kein Quasiisomorphismus, obwohl $f_n$ ein solcher ist für alle $n \in \N$. +Mithilfe einer Variante des +Mittag-Leffler Kriteriums können wir zeigen, dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist. + +Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder +Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat. +Für den Funktor $- \otimes_A \com{N}$ benötigen +wir dann noch eine dritte Klasse von Komplexen, die K-flachen Komplexe, die analog zu den +K-Injektiven auf das Tensorprodukt angepasst definiert werden. Wir können dann zeigen, dass +jeder K-projektive Komplex schon K-flach ist und erhalten so, dass jeder Komplex auch eine K-flache +Auflösung besitzt. + +Im letzten Abschnitt wenden wir die Existenz von K-injektiven, K-projektiven und K-flachen +Auflösungen an, um die Existenz der abgeleiteten Funktoren $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, +$\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ und $- \otimes_A^{L} \com{N} $ zu zeigen. +Als Korollar erhalten wir daraus die Adjunktion von $- \otimes^{L}_A \com{N}$ +und $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, indem wir durch geeignetes Auflösen +der beteiligten Komplexe die +Situation auf die Adjunktion von $- \otimes_A \com{N}$ und $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ +zurückführen. + +\end{document}