diff --git a/ws2019/la/uebungen/la4.pdf b/ws2019/la/uebungen/la4.pdf index d455bf6..2980a6f 100644 Binary files a/ws2019/la/uebungen/la4.pdf and b/ws2019/la/uebungen/la4.pdf differ diff --git a/ws2019/la/uebungen/la4.tex b/ws2019/la/uebungen/la4.tex index c26e286..d6dcb28 100644 --- a/ws2019/la/uebungen/la4.tex +++ b/ws2019/la/uebungen/la4.tex @@ -1,8 +1,86 @@ \documentclass{../../../lecture} +\usepackage[]{enumerate} + \begin{document} +\begin{aufgabe}[Homomorphismen] + +\begin{enumerate}[(a)] + \item Körperhomomorphismen von $\Z / 3\Z \to \Z / 5 \Z$ + + Es existieren keine Körperhomomorphismen, da $char(\Z / 3 \Z) = 3 \neq 5 = char(\Z / 5 \Z)$. + + \item Gruppenhomomorphismen von $\left( \Z / 3\Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times } $ + + Die Gruppe $\left(\left( \Z / 3 \Z\right)^{\times }, \cdot , \overline{1}_3 \right) $ + hat genau zwei Elemente, + nämlich $\left\{\overline{1}_3, \overline{2}_3\right\} $ und die + Gruppe $\left(\left( \Z / 5 \Z\right)^{\times }, \cdot , \overline{1}_5 \right) $ hat + genau 4 Elemente, nämlich $\left\{ \overline{1}_5, \overline{2}_5, \overline{3}_5, \overline{4}_5 \right\} $. Damit + $\varphi: \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times } $ + Gruppenhomomorphismus, muss gelten: + \begin{align*} + &\varphi\left(\overline{1}_3\right) = \overline{1}_5 \\ + &\varphi\left(\overline{2}_3^{-1}\right) = \varphi\left(\overline{2}_3\right)^{-1} + .\end{align*} + + Da $\overline{2}_3^{-1} = \overline{2}_3$ folgt: + \[ + \varphi\left(\overline{2}_3\right) = \varphi\left( \overline{2}_3 \right)^{-1} + .\] + Wegen $\overline{2}_5^{-1} = \overline{3}_5$ und $\overline{1}_5^{-1} = \overline{1}_5$ und + $\overline{4}_5^{-1} = \overline{4}_5$ bleiben für $\varphi\left( \overline{2}_3 \right) $ nur + zwei Möglichkeiten: $\varphi\left( \overline{2}_3 \right) = \overline{1}_5 $ und + $\varphi \left( \overline{2}_3 \right) = \overline{4}_5$. + + Das heißt es existieren zwei Gruppenhomomorphismen von + $\left( \Z / 3\Z \right)^{\times } \to \left( \Z / 5 \Z \right)^{\times } $: + + Der triviale Homomorphismus mit: + \[ + \varphi_1(A) = \overline{1}_5 \text{ für alle } A \in \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times } + .\] und + \begin{align*} + \varphi_2(A) = \begin{cases} + \overline{1}_5 & \text{ für } A = \overline{1}_3 \\ + \overline{4}_5 & \text{ für } A = \overline{2}_3 \\ + \end{cases} + .\end{align*} + + Der triviale Homomorphismus ist immer Gruppenhomomorphismus, bleibt zu zeigen, dass + $\varphi_2$ auch Gruppenhomomorphismus ist. + \begin{proof}[Beweis: $\varphi_2$ ist Gruppenhomomorphismus] + Seien $A, B \in \left( \Z / 3 \Z \right)^{\times }$. -\begin{aufgabe}[] + Falls $A = B = \overline{1}_3$: + \[ + \varphi_2\left(\overline{1}_3 \cdot \overline{1}_3 \right) + = \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) + = \overline{1}_5 + = \overline{1}_5 \cdot \overline{1}_5 + = \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) + .\] + + Falls $A = B = \overline{2}_3$: + \[ + \varphi_2\left(\overline{2}_3 \cdot \overline{2}_3 \right) + = \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) + = \overline{1}_5 + = \overline{4}_5 \cdot \overline{4}_5 + = \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right) + .\] + + Falls $A = \overline{1}_3$ und $B = \overline{2}_3$: + \[ + \varphi_2\left(\overline{1}_3 \cdot \overline{2}_3 \right) + = \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right) + = \overline{4}_5 + = \overline{1}_5 \cdot \overline{4}_5 + = \varphi_2\left( \overline{1}_3 \right) \cdot \varphi_2\left( \overline{2}_3 \right) + .\] Analog folgt dies für $A = \overline{2}_3$ und $B = \overline{1}_3$. + \end{proof} + +\end{enumerate} \end{aufgabe} @@ -153,4 +231,118 @@ Identität des $\R^{2}$. .\end{align*} \end{proof} +\begin{aufgabe} + +Sei $G = \left( G, \cdot , e) \right) $ eine Gruppe. Für $g \in \N$ sei $c_g: G \to G$ Abbildung mit +$c_g(x) = g \cdot x\cdot g^{-1}$. + +\begin{enumerate}[(a)] + \item $c_{g^{-1}} \circ c_g = c_g \circ c_{g^{-1}} = id_G$ + \begin{proof} + Sei $x \in G$ beliebig. Dann gilt: $c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1}$ und + $c_{g^{-1}}(x) = g^{-1} \cdot x \cdot g$. + + Zu zeigen: $c_{g^{-1}}\left( c_g(x) \right) = c_g(c_{g^{-1}}(x)) = x$. + \begin{align*} + c_{g^{-1}}(c_g(x)) &= g^{-1} \cdot (g \cdot x \cdot g^{-1}) \cdot g \\ + &= (g^{-1} \cdot g) \cdot x\cdot (g^{-1} \cdot g) \\ + &= x \\ + &= (g \cdot g^{-1}) \cdot x \cdot (g \cdot g^{-1}) \\ + &= g \cdot (g^{-1} \cdot x\cdot g) \cdot g^{-1} \\ + &= c_{g}(c_{g^{-1}}(x)) + .\end{align*} + \end{proof} + \item $c_g$ ist ein Gruppenisomorphismus + + \begin{proof} + Seien $x$, $y \in G$ beliebig. + + \begin{enumerate}[(i)] + \item + Zu zeigen: $c_g(x) \cdot c_g(y) = c_g(x \cdot y)$ + \begin{align*} + c_g(x) \cdot c_g(y) &= (g \cdot x\cdot g^{-1}) \cdot (g\cdot y\cdot g^{-1}) \\ + &= g \cdot x \cdot (g^{-1} \cdot g) \cdot y \cdot g^{-1} \\ + &= g \cdot (x \cdot y) \cdot g^{-1} \\ + &= c_g(x \cdot y) + .\end{align*} + $\implies$ $c_g$ ist Gruppenhomomorphismus + \item Zu zeigen: $c_g$ ist bijektiv + + Injektivität: Seien $x, y \in G$ mit $c_g(x) = c_g(y)$ + \begin{align*} + c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1} &= g \cdot y \cdot g^{-1} = c_g(y) \\ + \stackrel{\text{Kürzung}}{\implies} x &= y + .\end{align*} + + Surjektivität : Sei $c \in G$. Dann wähle $x := g^{-1} \cdot c \cdot g$. + \[ + \implies c_g(x) = g \cdot (g^{-1} \cdot c \cdot g) \cdot g^{-1} = c + .\] + $\implies c_g$ ist bijektiv + \end{enumerate} + $\implies$ $c_g$ ist Gruppenisomorphismus + \end{proof} + + \item Ist $\varphi: G \to H$ ein Gruppenhomomorphismus, so gilt $c_g(ker \varphi) = ker \varphi$. + + \begin{proof} Zu zeigen: $c_g(ker \varphi) = ker \varphi$. + + \begin{enumerate}[(i)] + \item ($\implies$) Sei $x \in c_g(ker \varphi)$. Zu zeigen: $\varphi(x) = e_H$. + + $\exists r \in ker \varphi: c_g(r) = x$. Fixiere r. + $\implies$ + \begin{align*} + \varphi(x) =& \varphi(g \cdot r\cdot g^{-1}) \\ + \stackrel{\text{$\varphi$ Grp.hom.}}{=}& \varphi(g) \cdot \varphi(r) \cdot \varphi(g^{-1}) \\ + &= \varphi(g) \cdot e_H \cdot \varphi(g^{-1}) \\ + &= \varphi(g) \cdot \varphi(g)^{-1} \\ + &= e_H + .\end{align*} + \item ($\impliedby $) Sei $r \in ker \varphi$. Zu zeigen: $r \in c_g(ker \varphi)$, also + $\exists x \in ker \varphi: c_g(x) = r$ + + Wähle $x := g^{-1} \cdot r \cdot g \in G$. + Analog zu (i): + \[ + \varphi(x) = \varphi(g^{-1}) \cdot \varphi(r) \cdot \varphi(g) + = \varphi(g)^{-1} \cdot \varphi(g) = e_x + .\] $\implies$ $x \in ker \varphi$. + + \[ + c_g(x) = g \cdot (g^{-1} \cdot r \cdot g) \cdot g^{-1} = r + .\] $\implies$ $c_g(x) = r$ + \end{enumerate} + \end{proof} + + \item Die Abbildung $c: G \to Aut(G)$ mit $g \mapsto c_g$ ist ein Gruppenhomomorphismus. + + \begin{proof} Seien $g, h \in G$. $c_g$ ist ein Gruppenautomorphismus, wegen + (b) und $c_g: G \to G$. $Aut(G)$ ist Gruppe bezüglich $\circ$. + + Zu zeigen: $c(g) \circ c(h) = c(g \cdot h)$, also $\forall r \in G: c_g(c_h(r)) = c_{g\cdot h}(r)$. + + Sei $r \in G$ beliebig. + \begin{align*} + c_g(c_h(r)) &= g \cdot (h \cdot r \cdot h^{-1}) \cdot g^{-1} \\ + &= (g \cdot h) \cdot r \cdot (h^{-1} \cdot g^{-1}) \\ + &= (g \cdot h) \cdot r \cdot (g \cdot h)^{-1} \\ + &= c_{g\cdot h}(r) + .\end{align*} + \end{proof} + + \item $c$ ist nicht notwendig injektiv. + + \begin{proof} Sei $G$ abelsche Gruppe. Dann gilt für alle $x \in G$: + \[ + c_g(x) = g \cdot x \cdot g^{-1} = g^{-1} \cdot x \cdot g = c_{g^{-1}}(x) + .\] + Aber im Allgemeinen sind $g$ und $g^{-1}$ nicht immer gleich, das heißt + $c$ i.A. nicht injektiv. + \end{proof} +\end{enumerate} + +\end{aufgabe} + \end{document}