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sose2020/la/uebungen/la6.tex

@@ -57,15 +57,14 @@
     im folgenden mit $\overline{\cdot }$ bezeichnet. Aus dem Argument ist immer klar, welche
     Äquivalenzrelation gemeint ist.
     \begin{enumerate}[(a)]
-        \item Beh.: $M / IM$ ist mit der natürlichen Addition und der angegebenen skalaren
-            Mult. $R / I$-Modul.
-            \begin{proof}
-                Die skalare Multiplikation sei mit $(*)$ bezeichnet.
-                \begin{align*}
+        \item Skalare Multiplikation ($*$):\begin{align*}
                     R / I \times  M / IM &\to  M / IM\\
                     (\overline{a}, \overline{m}) &\mapsto \overline{a} \cdot \overline{m} \coloneqq \overline{a \cdot m} \quad (*)
                 .\end{align*}
-                Zunächst zu zeigen, dass $(*)$ wohldefiniert ist. Dazu seien
+            Beh.: $M / IM$ ist mit der natürlichen Addition und der angegebenen skalaren
+            Mult. ($*$) $R / I$-Modul.
+            \begin{proof}
+                Zunächst ist zu zeigen, dass $(*)$ wohldefiniert ist. Dazu seien
                 $a, b \in R$ und $x, y \in M$ mit
                 $a + I = b + I$ und $x + IM = y + IM$.
                 \begin{itemize}
@@ -128,7 +127,7 @@
                             \item Z.z: $\overline{\varphi}$ wohldefiniert. Seien $m_1, m_2 \in M$
                                 mit $m_1 = m_2$. Dann folgt $m_1 - m_2 \in IM$. Also
                                 ex. ein $(a_i)_{i \in J} \in I^{(J)}$ und
-                                $(m_i)_{i \in J} \in M^{(J)}$ mit $m_1 - m 2 = \sum_{i \in J} a_i m_i$.
+                                $(m_i)_{i \in J} \in M^{(J)}$ mit $m_1 - m_2 = \sum_{i \in J} a_i m_i$.
                                 Damit folgt
                                 \[
                                     \varphi(m_1) - \varphi(m_2) = \varphi(m_1 - m_2)
@@ -186,6 +185,8 @@
                 $t+1$ bis auf Assoziiertheit eind. bestimmter Erzeuger von $(t+1)$. Da
                 $\text{deg}(t+1) = 1 > 0 = \text{deg}(1)$ und $\Q[t]$ nullteilerfrei, folgt
                 $1 \not\in (t+1)$, also $S_1$ kein ES.
+
+                Analog für $S_2 \coloneqq \{t^2 + 1\} $.
         \end{itemize}
     \end{proof}
     Beh.: $S$ ist keine Basis.
@@ -194,7 +195,7 @@
         \[
             \left( \frac{1}{2}(t+1) \right) (t^2+1) + \left( t - \frac{1}{2} (t+1)^2 \right) (t+1) = 0
         ,\] aber $\frac{1}{2}(t+1) \neq 0 \neq t - \frac{1}{2}(t+1)^2$, also
-        $t+1$ und $t^2+1$ l.a. in $Q[t]$ als $Q[t]$-Modul, also $S$ keine Basis.
+        $t+1$ und $t^2+1$ l.a. in $\Q[t]$ als $\Q[t]$-Modul, also $S$ keine Basis.
     \end{proof}
 \end{aufgabe}