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--- a/ws2019/ana/lectures/analysis9.tex
+++ b/ws2019/ana/lectures/analysis9.tex
@@ -1,8 +1,13 @@
 \documentclass{../../../lecture}
 
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{pgfplots}
+\usetikzlibrary{quotes, angles}
+\usepackage[]{wrapfig}
+
 \begin{document}
 
-Heute: Längstes deutsches Wort! Hi Josua :D
+Heute: Längstes deutsches Wort!
 
 ,,Intervallschachtelungseigenschaft hat ganze 33 Buchstaben'' meint Kostina.
 
@@ -148,7 +153,138 @@ Heute: Längstes deutsches Wort! Hi Josua :D
 \begin{bsp}
     \begin{itemize}
         \item $A = \{a_1, a_2, a_3\} $ dann $|A| = 3$
+        \item $\N, \Q, \R$ sind unendliche Mengen
     \end{itemize}
 \end{bsp}
 
+\begin{satz}[Abzählbarkeit]
+    $\Z$ und $\Q$ sind abzählbar, $\R$ ist überabzählbar.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[$\Z$ Abzählbar]
+    $\Z$ ist abzählbar, weil $\{z_n  \mid n \in \N\} $ mit $z_n = \frac{1}{2}n$ für $n$ gerade
+    und $z_n = \frac{1}{2}(1-n)$ für $n$ ungerade ist eine Abzählung von $\Z$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[$\Q$ Abzählbar]
+    Argumentation nach Cantor
+
+    $p \in \Q$, $q = \frac{n}{m}$
+
+    \begin{tikzpicture}
+        %\begin{axis}[grid=both,ymin=-5,ymax=5,xmax=5,xmin=-5,xticklabel=\empty,yticklabel=\empty,
+        %       minor tick num=1,axis lines = middle,xlabel=$x$,ylabel=$y$,label style =
+        %       {at={(ticklabel cs:1.1)}}]
+        %    \draw[-, color=red] (0,0) -- (1000,1000);
+        %     
+        %\end{axis}
+        \draw[help lines, color=gray!30, dashed] (-0.5, -0.5) grid (6.9, 6.9);
+        \draw[->, thick] (-0.5,0) -- (7,0) node[right]{$x$};
+        \draw[->, thick] (0, -0.5) -- (0, 7) node[above]{$y$};
+        \draw[-, color=red] (1,1) node[below](){$1$}
+            -- (2,1) node[below](){$2$}
+            -- (1,2) node[left](){$\frac{1}{2}$}
+            -- (1,3) node[left](){$\frac{1}{3}$}
+            -- (3,1) node[below](){$3$}
+            -- (4,1) node[below](){$4$}
+            -- (3,2) node[above](){$\frac{3}{2}$}
+            -- (2,3) node[above](){$\frac{2}{3}$}
+            -- (1,4) node[left](){$\frac{1}{4}$}
+            -- (1,5) node[left](){$\frac{1}{5}$}
+            -- (5,1) node[below](){$5$}
+            -- (6,1) node[below](){$6$}
+            -- (5,2) node[above](){$\frac{5}{2}$}
+            -- (4,3) node[above](){$\frac{4}{3}$}
+            -- (3,4) node[above](){$\frac{3}{4}$}
+            -- (2,5) node[above](){$\frac{2}{5}$}
+            -- (1,6) node[left](){$\frac{1}{6}$}
+            -- (1,7);
+        
+    \end{tikzpicture}
+
+    Hier werden Punkte ausgelassen, für die $n$ und $n$ nicht teilerfremd sind. Die Gitterpunkte
+    werden durchnummeriert $\implies \{z_n  \mid  n \in \N\} = \{1, 2, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 3, \ldots\} $.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[$\R$ ist überabzählbar]
+    Wir zeigen, dass $[0, 1)$ nicht abzählbar ist.
+
+    Angenommen: $[0,1)$ ist abzählbar, dann sei $\{z_n  \mid n \in \N\} $ eine Abzählung, z.B.:
+    \begin{align*}
+        z_1 &= 0,d_{11}d_{12}d_{13}\ldots \\
+        z_2 &= 0,d_{21}d_{22}d_{23}\ldots \\
+        \vdots
+    \end{align*}
+    Dann Zahl $y := 0,d_1d_2d_3, \ldots$ mit
+    \[
+    d_n := \begin{cases}
+        2 & \text{falls } d_{nn} = 1 \\
+        1 & \text{falls } d_{nn} \neq 1
+    \end{cases}
+    \]
+    liegt in $[0,1)$, $d_i \neq 9 \forall i$, aber $y \not\in \{z_n  \mid n \in \N\} $, denn falls
+    $y = z_k$ für ein $k \implies$
+    \[
+        y = 0,d_{k1},d_{k2},d_{k3}, \ldots, d_{kk}, \ldots
+    .\] aber $d_k \neq d_{kk}$ nach Konstruktion.
+\end{proof}
+
+\subsection{Die Komplexen Zahlen $\C$}
+\[
+    \C := \R \times \R = \{ z = (x, y)  \mid x, y \in \R\} 
+.\] Addition in $\C$ : $z_1 = (x_1, y_1) \in \C$, $z_2 = (x_2, y_2) \in \C$:
+\[
+    z_1 + z_2 := (x_1+x_2, y_1+y_2)
+.\] Multiplikation in $\C$ :
+\[
+    z_1\cdot z_2 = (x_1 x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)
+.\] 
+\newpage
+
+\begin{satz}[$\C$ ist ein Körper]
+    Körperaxiome gelten (nachrechnen!)
+    
+    Nullelement $0 := (0, 0)$ \\
+    Einselement $1 := (1, 0)$ \\
+    Imaginäre Einheit $i := (0,1)$ mit $i^{2} = (0,1)\cdot (0,1) = (-1,0) = -1$
+
+    Inverse der Addition $-z := (-x, -y)$ \\
+    Inverse der Multiplikation  $z^{-1} := \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2} } , \frac{-y}{\sqrt{x^2 + y^2} }\right) $ 
+
+    Schreibweise / Normaldarstellung\\
+    $z = (x, y)$ oder $z = x+iy$ mit  $i^{2} = -1$.
+\end{satz}
+
+\begin{bem}[Rechnen in $\C$]
+    \[
+        (x_1+iy_1)(x_2+iy_2) = x_1x_2+i^2y_1y_2 + i y_1x_2 + ix_1y_2 = (x_1x_2-y_1y_2) + i(x_2y_1+x_1y_2)
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{definition}
+    Für $z = (x, y) = x+iy \in \C$ heißt
+
+    $x = \text{Re}(z)$ Realteil von $z$ \\
+    $y = \text{Im}(z)$ Imaginärteil von $z$
+
+    $|z| := \sqrt{x^2 + y^2} $ Betrag von $z$ \\
+    $\overline{z} := x - iy = (x, -y)$ zu $z$ konjugierte komplexe Zahl
+
+    \begin{tikzpicture}
+        \draw[->, thick] (-0.5,0) -- (2,0) coordinate (x) node[right]{$x$};
+        \draw[->, thick] (0, -0.5) -- (0, 2) coordinate (y) node[above]{$y$};
+        \draw[-] (0, 0) coordinate (origin) -- (1.6, 1.3) coordinate (z) node[right]{$z$};
+        \draw[-, dotted] (1.6, 1.3)
+            -- (1.6, 0) coordinate (re) node[below]{Re($z$)}
+            pic[solid,draw=black, angle radius=1cm]{angle=re--origin--z};
+        \node[] () at (0.7,0.25) {$\varphi$};
+        \draw[-, dotted] (1.6, 1.3) -- (0, 1.3) node[left](im){Im($z$)};
+    \end{tikzpicture}
+
+    $\text{Re}(z) = |z| \cos(\varphi)$ \\
+    $\text{Im}(z) = |z| \sin(\varphi)$ \\
+    $\implies z = r (\cos\varphi + i \sin\varphi) = r e^{i\varphi}$ mit $r = |z|$.
+
+\end{definition}
+
 \end{document}