diff --git a/sose2022/galois/vortrag_affin.pdf b/sose2022/galois/vortrag_affin.pdf index 7884350..9884ea5 100644 Binary files a/sose2022/galois/vortrag_affin.pdf and b/sose2022/galois/vortrag_affin.pdf differ diff --git a/sose2022/galois/vortrag_affin.tex b/sose2022/galois/vortrag_affin.tex index 1ed6376..08495b4 100644 --- a/sose2022/galois/vortrag_affin.tex +++ b/sose2022/galois/vortrag_affin.tex @@ -246,6 +246,20 @@ Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$. \end{proof} +\begin{lemma} + Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte + Abbildung. Dann ist für $a \in A$: + \[ + \varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a)) + .\] + \label{lemma:preimage-of-d} +\end{lemma} + +\begin{proof} + $\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p}) + = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$. +\end{proof} + \section{Endlich étale Morphismen} \begin{definition} @@ -267,65 +281,107 @@ \begin{bem}[Zariskiüberdeckung] Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung. + Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ sind genau dann eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn + $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$. \end{bem} +\begin{proof} + $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ $\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$ + existiert ein $f_i$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$ + $\iff$ für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$ ist das Ideal $(f_i)$ nicht in $\mathfrak{p}$ enthalten + $\iff A = (f_i)$ +\end{proof} + +Geometrisch denke man bei $\varphi\colon A \to B$ an $\psi\colon \spec B \to \spec A$. +Wegen $\psi^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))$ für $f \in A$, entspricht +$A_f \to B_f = B_{\varphi(f)}$ also geometrisch einfach der Einschränkung von $\psi$ auf +$\psi^{-1}(D(f)) \to D(f)$. + Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: \begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale] - Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent + Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent \begin{enumerate}[(i)] - \item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt. + \item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt. + %\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$. + %\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra. + \item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel. + \item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$. + \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass + $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist. \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass - $B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist. - \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$. - \item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$. + $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist. \end{enumerate} \end{satz} -\begin{bem} - Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich. - \label{bem:finite-etale-is-locally-free} -\end{bem} - -\begin{lemma} - Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn - $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$. - \label{lemma:separable-is-local} -\end{lemma} - \begin{proof} - $A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung - $B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das - ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das - heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres} + (iv)$\Rightarrow$(v): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass + $A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} existiert also für + alle $i \in I$ eine + Zariskiüberdeckung $\left\{\frac{f_{ij}}{1}\right\}$ von $A_{f_i}$, sodass $(A_{f_{i}f_{ij}}) = (A_{f_i})_{f_{ij}} + \to B_{f_i f_{ij}} = (B_{f_i})_{f_{ij}}$ endlich, frei und separabel (da Lokalisieren Separabilität erhält) ist. + Zudem ist $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i) = \bigcup_{i \in I} \bigcup_{j} D(f_i f_{ij})$, also + ist $\{f_i f_{ij}\}_{i,j}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$. + + (v)$\Rightarrow$(i): Sei $\{f_i\}_{i \in I}$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, sodass $A_{f_i} \to B_{f_i}$ + endlich frei und separabel ist. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} + ist also $A \to B$ endlich und projektiv. + Es genügt also $\Omega_{B / A} = 0$ zu zeigen. Dazu sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ beliebig. + Dann ist \[ - \operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} = - \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}}) - \] und damit die Behauptung. + (\Omega_{B / A})_{\mathfrak{p}} = \Omega_{B / A} \otimes_A A_{\mathfrak{p}} + = \Omega_{B \otimes_A A_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}} + = \Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}} + .\] Da $\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ existiert nun ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. + Also $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}} \to (B_{f_i})_{\mathfrak{p}} = B_{\mathfrak{p}}$ formal + unverzweigt, da $A_{f_i} \to B_{f_i}$ formal unverzweigt. Also + ist $\Omega_{B_{\mathfrak{p}} / A_{\mathfrak{p}}} = 0$ und damit $A \to B$ endlich étale. \end{proof} -\begin{satz} - Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn - $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist. - \label{satz:equiv-finite-etale} -\end{satz} +\begin{bem} + Jede endlich étale Algebra ist also insbesondere endlich und lokal frei. + \label{bem:finite-etale-is-locally-free} +\end{bem} -\begin{proof} - ($\Rightarrow$) - Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei - $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und - $B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann - existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also - folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$. - Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also - $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel. - Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung. - - ($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} - existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und - $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel - über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung. -\end{proof} +%\begin{lemma} +% Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn +% $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A$. +% \label{lemma:separable-is-local} +%\end{lemma} +% +%\begin{proof} +% $A \to B$ ist genau dann separabel, wenn die von der Spur induzierte Abbildung +% $B \to \operatorname{Hom}_{A}(B, A)$ ein Isomorphismus ist. Das +% ist eine lokale Eigenschaft. Da außerdem $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist, das +% heißt insbesondere endlich präsentiert ist, folgt mit \ref{lemma:localisation-finitely-pres} +% \[ +% \operatorname{Hom}_{A}(B, A)_{\mathfrak{p}} = +% \operatorname{Hom}_{A_{\mathfrak{p}}}(B_{\mathfrak{p}}, A_{\mathfrak{p}}) +% \] und damit die Behauptung. +%\end{proof} + +%\begin{satz} +% Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale über $A$, wenn +% $B$ projektive, separable $A$-Algebra ist. +% \label{satz:equiv-finite-etale} +%\end{satz} +% +%\begin{proof} +% ($\Rightarrow$) +% Nach \ref{bem:finite-etale-is-locally-free} ist $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Weiter sei +% $\{f_i\}_{i \in I}$ in $A$, sodass $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und +% $B_{f_i}$ endliche separable $A_{f_i}$ Algebra für alle $i \in I$. Nun sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann +% existiert ein $i \in I$, sodass $f_i \not\in \mathfrak{p}$. Also +% folgt $B_{\mathfrak{p}} = (B_{f_i})_{\mathfrak{p}}$ und $A_{\mathfrak{p}} = (A_{f_i})_{\mathfrak{p}}$. +% Nach \ref{lemma:separable-is-local} ist also +% $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ separabel. +% Da $\mathfrak{p}$ beliebig war, folgt erneut mit \ref{lemma:separable-is-local} die Behauptung. +% +% ($\Leftarrow$) Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra. Nach \ref{satz:projectiveislocallyfree} +% existieren $\{f_i\}_{i \in I}$, sodass $\sum_{i \in I} (f_i) = A$ und +% $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_i}$-Algebra. Da Lokalisieren Separabilität erhält, ist $B_{f_i}$ auch separabel +% über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung. +%\end{proof} \subsection{Stabilität von endlich étale} @@ -395,7 +451,7 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt - die Aussage aus Macdonald Theorem 5.10. + die Aussage aus (einer Variante von) Going-Up (siehe Macdonald Theorem 5.10). \end{enumerate} \end{proof} @@ -502,20 +558,6 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: Weil Isomorphismus eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Behauptung. \end{proof} -\begin{lemma} - Sei $f\colon A \to B$ Ringhomomorphismus und $\varphi \colon \spec B \to \spec A$ die induzierte - Abbildung. Dann ist für $a \in A$: - \[ - \varphi^{-1}(D(a)) = D(f(a)) - .\] - \label{lemma:preimage-of-d} -\end{lemma} - -\begin{proof} - $\mathfrak{p} \in \varphi^{-1}(D(a)) \iff \varphi(\mathfrak{p})\in D(a) \iff a \not\in \varphi(\mathfrak{p}) - = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$. -\end{proof} - \begin{definition}[Total zerlegbare Algebren] Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und