update galois

sose2022/galois/handout.tex

@@ -0,0 +1,169 @@
+\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage[german]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
+\usepackage[a4 paper,margin=1in]{geometry}
+\usepackage{fancyhdr}
+\usepackage{tikz-cd}
+\usepackage{enumerate}
+\pagestyle{fancy}
+\fancyhead{}
+\fancyfoot{}
+\rhead{30.6.2022}
+\makeatletter
+\newcommand{\colim@}[2]{%
+	\vtop{\m@th\ialign{##\cr
+			\hfil$#1\operator@font colim$\hfil\cr
+			\noalign{\nointerlineskip\kern1.5\ex@}#2\cr
+			\noalign{\nointerlineskip\kern-\ex@}\cr}}%
+}
+\newcommand{\colim}{%
+	\mathop{\mathpalette\colim@{\rightarrowfill@\textstyle}}\nmlimits@
+}
+\makeatother
+
+\newcommand{\spec}{\operatorname{Spec }}
+\newtheorem{satz}{Satz}
+\newtheorem{thm}[satz]{Theorem}
+\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
+\newtheorem{definition}[satz]{Definition}
+\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
+\newtheorem{bung}[satz]{Übung}
+\newtheorem{rem}[satz]{Erinnerung}
+\begin{document}
+	\section*{Endlich étale Morphismen, Vortrag 9}
+
+Sei $A$ ein (kommutativer) Ring.
+	%	\begin{rem}[Komposition]
+	%	Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
+	%	ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
+	%	\label{satz:composition-projective}
+	%\end{rem}
+
+	\begin{rem}%[Basiswechsel endlich projektive]
+    Endlich (treu-)projektiv ist stabil unter Basiswechsel und Komposition. Insbesondere
+    kommutiert für $A \to B$ endlich projektiv und $A \to C$ Ringhomomorphismus das folgende Diagramm:
+	%Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
+	%ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
+	%Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
+	\[
+	\begin{tikzcd}
+		\spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
+		& \mathbb{Z} &.
+	\end{tikzcd}
+	\] 
+	\label{satz:basischange-projective}
+\end{rem}
+\begin{bung}
+    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
+        \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
+        \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:degree}
+\end{bung}
+		\begin{definition}[Zariskiüberdeckung]
+		Wir nennen Elemente $\{f_i\}_{i \in I} \subseteq A$ eine Zariskiüberdeckung von $A$, wenn
+		$\spec A = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$.
+	    \end{definition}
+
+%	\begin{definition}
+%	Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. 
+%	$f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Zariskiüberdeckung existiert, sodass
+%	$B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
+%	\label{def:finite-locally-free}
+%\end{definition}
+\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
+	Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item $A \to B$ endlich étale, das heißt endlich, flach und unverzweigt.
+		%\item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
+		%\item $B$ ist endliche, projektive und separable $A$-Algebra.
+		\item $A \to B$ endlich, projektiv und separabel.
+		%\item $A \to B$ endlich, projektiv und $\Omega_{B / A} = 0$.
+		\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
+		$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich étale ist für alle $i \in I$.
+		\item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
+		$A_{f_i} \to B_{f_i}$ endlich frei und separabel ist für alle $i \in I$.
+		%\item Es existiert eine treuprojektive $A$-Algebra $C$, sodass $B \otimes_A C$ total zerlegbar ist.
+	\end{enumerate}
+\end{satz}	
+	
+	\begin{satz}%[Basiswechsel endlich étale]
+		%Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
+		%$B \otimes_{A} C$ endlich étale $C$-Algebra.
+		%\label{satz:basischange}
+        Endlich étale ist stabil unter Basiswechsel und Komposition.
+	\end{satz}
+%	\begin{satz}[Komposition endlich étale]
+%	Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
+%	$C$ endlich étale $A$-Algebra.
+%\end{satz}
+\begin{bung}
+	Sei $A$ ein Ring und $(B_i)_{i \in I}$ $A$-Algebren mit $I$ endlich. Sei weiter
+	$B = \prod_{i \in I} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
+	jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt
+	$[B : A] = \sum_{i \in I} [B_i : A]$.
+	\label{ex:5.3}
+\end{bung}
+\begin{bung}
+	Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
+	für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
+	ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
+	Weiter ist
+	\[
+	\left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j]
+	.\] 
+	\label{satz:projective-prod}
+\end{bung}
+\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
+    Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
+    $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
+    $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n}  \\
+        A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
+    \end{tikzcd}
+    \] kommutiert.
+\end{definition}
+
+\begin{thm}
+    Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann endlich étale,
+    wenn eine treuprojektive $A$-Algebra $C$ existiert, sodass
+    $C \to B \otimes_A C$ total zerlegbar ist.
+    \label{th:5.10}
+\end{thm}
+
+\begin{definition}
+    Sei $E$ eine endliche Menge. Dann sei $A^{E} = \prod_{e \in E}^{} A$. Für
+    eine Abbildung endlicher Mengen $\phi\colon D \to E$ bezeichne
+    mit $\hat{\phi}\colon A^{E}\to A^{D}$ den von $A^{E} \to A$,
+    $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$ für $d \in D$ induzierten $A$-Algebrahomomorphismus.
+    Ein solches $\hat{\phi}$ ist endlich étale.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
+    Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann
+    existiert ein $a \in A$, sodass $a \not\in \mathfrak{p}$ und $f, g$ und $h$ trivial über $D(a)$ sind. Das heißt
+    es existieren endliche Mengen $D$ und $E$ und Isomorphismen $\alpha\colon A_a^{D} \to B_a$
+    und $\beta\colon A_a^{E} \to C_a$ und eine Abbildung $\phi\colon D \to E$, sodass das Diagramm
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B_a & & & \arrow[from=1-4,to=1-1,swap]{}{h} C_a \\
+        & \arrow{ul}{\alpha} A_a^{D} & \arrow[swap]{l}{\hat{\phi}} A_a^{E} \arrow{ur}{\beta} & \\
+        A_a \arrow[from=3-1,to=1-1]{}{f} \arrow{ur} & & & \arrow[from=3-4,to=3-1]{}{\operatorname{id}_{A_a}} \arrow{ul} A_a \arrow[from=3-4,to=1-4]{}{g}
+    \end{tikzcd}
+    \] kommutiert.
+    \label{lemma:locally-trivial}
+\end{lemma}
+
+\begin{satz}
+    Seien $f\colon A \to B$ und $g\colon A \to C$ endlich étale Ringhomomorphismen und
+    $h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Dann ist $h$ endlich étale.
+\end{satz}
+\end{document}