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ws2019/ana/lectures/analysis11.tex
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@@ -147,15 +147,4 @@ Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{
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\end{proof}
\begin{satz}[monoton + beschränkt $\implies$ konvergent]
Eine monoton wachsende (fallende) nach oben (unten) beschränkte Folge konvergiert
gegen ihr Supremum:
\[
\sup_{n \in \N} a_n := \sup \{a_n | n \in \N\} = \min \{c \in \R | a_n \le c\}
.\] bzw. ihr Infimum:
\[
\inf_{n \in \N} a_n := \inf \{a_n \mid n \in \N\} = \max \{c \in \R \mid a_n \ge c\}
.\]
\end{satz}
\end{document}
ws2019/ana/lectures/analysis12.pdf
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ws2019/ana/lectures/analysis12.tex
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@@ -0,0 +1,211 @@
\documentclass{../../../lecture}
\begin{document}
\begin{satz}[monoton + beschränkt $\implies$ konvergent]
Eine monoton wachsende (fallende) nach oben (unten) beschränkte Folge konvergiert
gegen ihr Supremum:
\[
\sup_{n \in \N} a_n := \sup \{a_n | n \in \N\} = \min \{c \in \R | a_n \le c\}
.\] bzw. ihr Infimum:
\[
\inf_{n \in \N} a_n := \inf \{a_n \mid n \in \N\} = \max \{c \in \R \mid a_n \ge c\}
.\]
\end{satz}
\begin{proof}
Gegeben $a_n \le a_{n+1}$ $\forall n \in \N$, $a_n \le c$ $\forall n \in \N$.
Definiere $s := \text{sup}_{n \in \N} a_n$.
Z.z.: $a_n \to s$. Sei $\epsilon > 0$. Dann $s - \epsilon$ keine obere
Schranke, d.h. $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $s - \epsilon < a_{n_\epsilon}$.
Damit $s - \epsilon < a_{n_\epsilon} \le a_n \le s < s + \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$ \\
$\implies |a_n - s| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon \implies a_n \to s$
\end{proof}
\begin{satz}[Bolzano-Weierstraß]
Jede beschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge.
\end{satz}
\begin{proof}
Sei $(a_n)_{n\in\N}$ beschränkt, d.h. $\exists a, b \in \R$, s.d. $a \le a_n \le b$ $\forall n \in \N$.
Konstruiere induktiv eine Folge von abgeschlossenen Intervallen $I_k := [a_k, b_k]$ mit:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $I_k$ enthält unendlich viele Folgenelemente von $(a_n)_{n\in\N}$.
\item $I_k \subset I_{k - 1}$ $\forall k \in \N, k \ge 2$
\item $(b_k - a_k) \le 2^{1-k} (b_1 - a_1)$ $\forall k \in \N$
\end{enumerate}
Für $k = 1$ wähle $a_1 := a$, $b_1 := b$.\\
$k \to k+1$ : Intervall $I_k := [a_k, b_k]$ mit Eigenschaften (1)-(3) sei konstruiert.
Berechne $M := \frac{a_k + b_k}{2}$ (Mitte des Intervalls $I_k$). Wegen (1): $[a_k, M]$
oder $[M, b_k]$ enthält unendlich viele Folgenelemente.
Setze:
\begin{align*}
I_{k+1} := \begin{cases}
[a_{k}, M] & \text{falls } [a_k, M] \text{ unendlich viele Folgenelemente enthält} \\
[M, b_k] & \text{falls } [M, b_k] \text{ unendlich viele Folgenelemente enthält}
\end{cases}
\intertext{in beiden Fällen:}
b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{b_k - a_k}{2} \stackrel{(3)}{\le } \frac{1}{2} 2^{1-k}(b_1 - a_1) = 2^{-k}(b_1 - a_1)
.\end{align*} $\implies$ (1) - (3) erfüllt für $I_{k+1}$.
Wir definieren eine Teilfolge $(a_{n_k})$ mit $a_{n_k} \in I_k$ $\forall k \in \N$ :\\
$k = 1$ : Setze $a_{n_1} := a, n_1 := 1$.\\
$k \to k+1$ : Wegen (1) ex. ein Index $n_{k+1} > n_k$ mit $a_{n_{k+1}} \in I_{k+1}$.
$I_k$ bilden eine Intervallschachtelung:
\[
\implies \underbrace{a_k}_{\to a} \le a_{n_k} \le \underbrace{b_k}_{\to a} \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} a_{n_k} \to a, k \to \infty
.\]
\end{proof}
\begin{bsp}
$a_n = (-1)^{n}$. Teilfolge: $(1,1,1,1, \ldots) \to 1$, $(-1,-1,-1, \ldots) \to -1$.
\end{bsp}
\begin{definition}[Häufungspunkt]
Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\R$. Dann heißt $a \in \R$ Häufungspunkt der Folge,
falls $\forall \epsilon > 0$ gilt $|a_n - a| < \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
\end{definition}
\begin{bsp}
\begin{enumerate}
\item $a_n = (-1)^{n}$ hat zwei Häufungspunkte $1$ und $-1$.
\item Falls $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, dann ist $a$ Häufungspunkt von $(a_n)_{n\in\N}$.
\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{bem}
Zu jedem Häufungspunkt $a$ ex. eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k \in \N}$ von $(a_n)_{n\in\N}$, die
gegen $a$ konvergiert, also $a = \lim_{k \to \infty} a_{n_k}$:
\[
a \text{ Häufungspunkt} \iff a = \lim_{k \to \infty} a_{n_k} \text{ für eine } (a_{n_k})_{k \in\N}
.\]
\end{bem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item ,,$\implies$'': Sei $a$ Häufungspunkt (HP). Wähle $n_1 \in \N$ mit
$a_{n_1} \in D_1(a) = \{x \mid |x - a| < 1\} $.
Sei $n_1, \ldots, n_{k-1}$ bereits gewählt.\\
Wähle $n_k > n_{k-1}$, s.d. gilt:
\[
a_{n_k} \in D_{\frac{1}{k}}(a) = \left\{x \mid |x-a| < \frac{1}{k}\right\}
.\]
Dann ist $(a_{n_k})_{k \in\N}$ eine Teilfolge, $|a_{n_k} - a | < \frac{1}{k}$.\\
$\implies a_{n_k} \to a, k \to \infty$.
\item ,,$\impliedby$ '': Sei $(a_{n_k})_{k\in\N}$ eine Teilfolge mit $\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = a$.
Zu zeigen: $a$ ist HP.
Sei $\epsilon > 0$. Dann ex. $k_\epsilon \in \N $, s.d. $\forall k \ge k_\epsilon$ gilt:
\[
|a_{n_k} - a| < \epsilon \implies \forall k \ge k_\epsilon \quad a_{n_k} \in D_\epsilon(a)
.\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{bem}
Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, dass jede beschränkte Folge in $\R$ mindestens einen $HP$ besitzt.
\end{bem}
\begin{definition}[Limes Superior]
Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\R$. Ist $(a_n)_{n\in\N}$ nach oben beschränkt, dann
definiere eine reelle Folge $(s_n)_{n \in N}$ durch $s_n := \text{sup}\{a_k \mid k \ge n\} $.
$(s_n)_{n\in\N}$ ist monoton fallend. Ist $(s_{n})_{n \in \N}$ nach unten beschränkt, dann definiere
\[
\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \text{sup}\{a_k \mid k \ge n\}
.\]
Falls $(a_n)_{n\in\N}$ nicht nach oben beschränkt ist, setzte $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := + \infty$.
Falls $(a_n)_{n\in\N}$ nach oben beschränkt, aber $(s_n)_{n\in\N}$ \textit{nicht} nach unten beschränkt ist, \\
setze $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := - \infty$.
\end{definition}
\begin{bsp}
\begin{enumerate}
\item $\lim_{n \to \infty} a_n = a \implies \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = a$.
\item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } (-1)^{n} = \lim_{n \to \infty} \text{sup }\{(-1)^{k} \mid k \ge n\} = 1 $
\item $\lim_{n \to \infty} \text{sup }n = + \infty$\\
$\lim_{n \to \infty} \text{sup } (-n) = - \infty$
\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{definition}[Limes Inferior]
Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen. Dann setze:
\[
\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n := - \lim_{n \to \infty} \text{sup } (-a_n)
.\]
\end{definition}
\begin{bsp}
\begin{enumerate}
\item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } (n^{2}) = + \infty$\\
$\lim_{n \to \infty} \text{inf } (n^2) = -\lim_{n \to \infty} \text{sup }\{-k^{2} \mid k \ge n\}
= - \lim_{n \to \infty} (-n^2) = +\infty$
\item \[
a_n := \begin{cases}
\frac{n}{2} & n \text{ gerade} \\
0 & n \text{ ungerade}
\end{cases}
.\] $(a_n) = (0,1,0,2,0,3, \ldots)$
$\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = 0$ \\
$\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = + \infty$
\end{enumerate}
\end{bsp}
\begin{satz}[Charakterisierung von $\lim \text{sup}$ und $\lim \text{inf}$]
\label{charakterisierung}
Es sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen.
\begin{enumerate}
\item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = a \in \R \iff$ \\
$\forall \epsilon > 0$ gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $a_n < a+ \epsilon$ für fast alle $n \in N$.
\item $a_n > a - \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
\end{enumerate}
\item $\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = a \in \R \iff$ \\
$\forall \epsilon > 0$ gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $a_n > a - \epsilon$ für fast alle $n \in \N$
\item $a_n < a + \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
\end{enumerate}
\item $(a_n)_{n \in \N}$ ist genau dann konvergent, wenn:
\[
\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = a \in \R
.\] In diesem Fall gilt: $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{bem}
Satz \ref{charakterisierung} impliziert:
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = \text{sup } \{\text{HP von} (a_n)_{n\in\N}\} \\
\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = \text{inf } \{\text{HP von } (a_n)_{n\in\N}\}
.\end{align*}
$\forall \epsilon > 0$ liegen unendlich viele Folgenelemente im offenen Intervall
\[
\left(\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n\right) - \epsilon < a_n < \left(\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n\right) + \epsilon \qquad (\text{1 (i) (ii)})
.\] bzw.
\[
\left(\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n\right) -\epsilon < a_n < \left( \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n \right) + \epsilon \qquad (\text{2 (i) (ii)})
.\]
Fast alle Folgenelemente erfüllen:
\[
\left(\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n\right) - \epsilon < a_n < \left( \lim_{n \to \infty} \text{inf }a_n \right) +\epsilon \qquad (\text{1 (i) und 2 (i)})
.\]
\end{bem}
\end{document}