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ws2019/ana/lectures/analysis11.tex

@@ -147,15 +147,4 @@ Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{
     durch Zurückblättern.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[monoton + beschränkt $\implies$ konvergent]
-    Eine monoton wachsende (fallende) nach oben (unten) beschränkte Folge konvergiert
-    gegen ihr Supremum:
-    \[
-    \sup_{n \in \N} a_n := \sup \{a_n | n \in \N\} = \min \{c \in \R | a_n \le c\} 
-    .\] bzw. ihr Infimum:
-    \[
-    \inf_{n \in \N} a_n := \inf \{a_n  \mid n \in \N\} = \max \{c \in \R  \mid a_n \ge  c\} 
-    .\] 
-\end{satz}
-
 \end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis12.tex

@@ -0,0 +1,211 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{satz}[monoton + beschränkt $\implies$ konvergent]
+    Eine monoton wachsende (fallende) nach oben (unten) beschränkte Folge konvergiert
+    gegen ihr Supremum:
+    \[
+    \sup_{n \in \N} a_n := \sup \{a_n | n \in \N\} = \min \{c \in \R | a_n \le c\} 
+    .\] bzw. ihr Infimum:
+    \[
+    \inf_{n \in \N} a_n := \inf \{a_n  \mid n \in \N\} = \max \{c \in \R  \mid a_n \ge  c\} 
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Gegeben $a_n \le a_{n+1}$ $\forall n \in \N$, $a_n \le c$ $\forall n \in \N$.
+    Definiere $s := \text{sup}_{n \in \N} a_n$.
+
+    Z.z.: $a_n \to s$. Sei $\epsilon > 0$. Dann $s - \epsilon$ keine obere
+    Schranke, d.h. $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $s - \epsilon < a_{n_\epsilon}$.
+
+    Damit $s - \epsilon < a_{n_\epsilon} \le a_n \le s < s + \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$  \\
+    $\implies |a_n - s| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon \implies a_n \to s$
+    
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Bolzano-Weierstraß]
+    Jede beschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ beschränkt, d.h. $\exists a, b \in \R$, s.d. $a \le a_n \le b$ $\forall n \in \N$.
+
+    Konstruiere induktiv eine Folge von abgeschlossenen Intervallen $I_k := [a_k, b_k]$ mit:
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $I_k$ enthält unendlich viele Folgenelemente von $(a_n)_{n\in\N}$.
+        \item $I_k \subset I_{k - 1}$ $\forall k \in \N, k \ge 2$
+        \item $(b_k - a_k) \le 2^{1-k} (b_1 - a_1)$ $\forall k \in \N$
+    \end{enumerate}
+
+    Für $k = 1$ wähle $a_1 := a$, $b_1 := b$.\\
+    $k \to k+1$ : Intervall $I_k := [a_k, b_k]$ mit Eigenschaften (1)-(3) sei konstruiert.
+
+    Berechne  $M := \frac{a_k + b_k}{2}$ (Mitte des Intervalls $I_k$). Wegen (1): $[a_k, M]$
+    oder $[M, b_k]$ enthält unendlich viele Folgenelemente.
+
+    Setze:
+    \begin{align*}
+        I_{k+1} := \begin{cases}
+            [a_{k}, M] & \text{falls } [a_k, M] \text{ unendlich viele Folgenelemente enthält} \\
+            [M, b_k] & \text{falls } [M, b_k] \text{ unendlich viele Folgenelemente enthält}
+        \end{cases}
+        \intertext{in beiden Fällen:}
+        b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{b_k - a_k}{2} \stackrel{(3)}{\le } \frac{1}{2} 2^{1-k}(b_1 - a_1) = 2^{-k}(b_1 - a_1)
+    .\end{align*} $\implies$ (1) - (3) erfüllt für $I_{k+1}$.
+
+    Wir definieren eine Teilfolge $(a_{n_k})$ mit $a_{n_k} \in I_k$ $\forall k \in \N$ :\\
+    $k = 1$ : Setze $a_{n_1} := a, n_1 := 1$.\\
+    $k \to k+1$ : Wegen (1) ex. ein Index $n_{k+1} > n_k$ mit $a_{n_{k+1}} \in I_{k+1}$.
+
+    $I_k$ bilden eine Intervallschachtelung:
+    \[
+        \implies \underbrace{a_k}_{\to a} \le a_{n_k} \le \underbrace{b_k}_{\to a} \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} a_{n_k} \to a, k \to \infty
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    $a_n = (-1)^{n}$. Teilfolge: $(1,1,1,1, \ldots) \to 1$, $(-1,-1,-1, \ldots) \to -1$.
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Häufungspunkt]
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\R$. Dann heißt $a \in \R$ Häufungspunkt der Folge,
+    falls $\forall \epsilon > 0$ gilt $|a_n - a| < \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $a_n = (-1)^{n}$ hat zwei Häufungspunkte $1$ und $-1$.
+        \item Falls $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, dann ist $a$ Häufungspunkt von $(a_n)_{n\in\N}$.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}
+    Zu jedem Häufungspunkt $a$ ex. eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k \in \N}$ von $(a_n)_{n\in\N}$, die
+    gegen $a$ konvergiert, also $a = \lim_{k \to \infty} a_{n_k}$:
+    \[
+    a \text{ Häufungspunkt} \iff a = \lim_{k \to \infty} a_{n_k} \text{ für eine } (a_{n_k})_{k \in\N}
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item ,,$\implies$'': Sei $a$ Häufungspunkt (HP). Wähle $n_1 \in \N$ mit
+            $a_{n_1} \in D_1(a) = \{x  \mid  |x - a| < 1\} $.
+
+            Sei $n_1, \ldots, n_{k-1}$ bereits gewählt.\\
+            Wähle $n_k > n_{k-1}$, s.d. gilt:
+            \[
+                a_{n_k} \in D_{\frac{1}{k}}(a) = \left\{x  \mid  |x-a| < \frac{1}{k}\right\} 
+            .\] 
+
+            Dann ist $(a_{n_k})_{k \in\N}$ eine Teilfolge, $|a_{n_k} - a | < \frac{1}{k}$.\\
+            $\implies a_{n_k} \to a, k \to \infty$.
+        \item ,,$\impliedby$ '': Sei $(a_{n_k})_{k\in\N}$ eine Teilfolge mit $\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = a$.
+
+            Zu zeigen: $a$ ist HP.
+
+            Sei $\epsilon > 0$. Dann ex. $k_\epsilon \in \N $, s.d. $\forall k \ge k_\epsilon$ gilt:
+            \[
+                |a_{n_k} - a| < \epsilon \implies \forall k \ge k_\epsilon \quad a_{n_k} \in D_\epsilon(a)
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, dass jede beschränkte Folge in $\R$ mindestens einen $HP$ besitzt.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Limes Superior]
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\R$. Ist $(a_n)_{n\in\N}$ nach oben beschränkt, dann
+    definiere eine reelle Folge $(s_n)_{n \in N}$ durch $s_n := \text{sup}\{a_k  \mid  k \ge n\} $.
+
+    $(s_n)_{n\in\N}$ ist monoton fallend. Ist $(s_{n})_{n \in \N}$ nach unten beschränkt, dann definiere
+    \[
+    \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \text{sup}\{a_k  \mid  k \ge n\} 
+    .\] 
+
+    Falls $(a_n)_{n\in\N}$ nicht nach oben beschränkt ist, setzte $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := + \infty$.
+
+    Falls $(a_n)_{n\in\N}$ nach oben beschränkt, aber $(s_n)_{n\in\N}$ \textit{nicht} nach unten beschränkt ist, \\
+    setze $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := - \infty$.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $\lim_{n \to \infty} a_n = a \implies \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = a$.
+        \item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } (-1)^{n} = \lim_{n \to \infty} \text{sup }\{(-1)^{k}  \mid k \ge n\} = 1 $
+        \item $\lim_{n \to \infty} \text{sup }n = + \infty$\\
+            $\lim_{n \to \infty} \text{sup } (-n) = - \infty$
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Limes Inferior]
+    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen. Dann setze:
+    \[
+        \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n := - \lim_{n \to \infty} \text{sup } (-a_n)
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } (n^{2}) = + \infty$\\
+            $\lim_{n \to \infty} \text{inf } (n^2) = -\lim_{n \to \infty} \text{sup }\{-k^{2}  \mid  k \ge n\}
+            = - \lim_{n \to \infty} (-n^2) = +\infty$
+        \item \[
+        a_n := \begin{cases}
+            \frac{n}{2} & n \text{ gerade} \\
+            0 & n \text{ ungerade}
+        \end{cases}
+        .\] $(a_n) = (0,1,0,2,0,3, \ldots)$ 
+
+        $\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = 0$ \\
+        $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = + \infty$
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Charakterisierung von $\lim \text{sup}$ und $\lim \text{inf}$]
+    \label{charakterisierung}
+    Es sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen.
+    \begin{enumerate}
+        \item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = a \in \R \iff$ \\
+            $\forall \epsilon > 0$ gilt:
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item $a_n < a+ \epsilon$ für fast alle $n \in N$.
+                \item $a_n > a - \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
+            \end{enumerate}
+        \item $\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = a \in \R \iff$  \\
+            $\forall \epsilon > 0$ gilt:
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item $a_n > a - \epsilon$ für fast alle $n \in \N$
+                \item $a_n < a + \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
+            \end{enumerate}
+        \item $(a_n)_{n \in \N}$ ist genau dann konvergent, wenn:
+            \[
+            \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = a \in \R
+            .\] In diesem Fall gilt: $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{bem}
+    Satz \ref{charakterisierung} impliziert:
+    \begin{align*}
+        \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = \text{sup } \{\text{HP von} (a_n)_{n\in\N}\} \\
+        \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = \text{inf } \{\text{HP von } (a_n)_{n\in\N}\} 
+    .\end{align*}
+
+    $\forall \epsilon > 0$ liegen unendlich viele Folgenelemente im offenen Intervall
+    \[
+        \left(\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n\right) - \epsilon < a_n < \left(\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n\right) + \epsilon \qquad (\text{1 (i) (ii)})
+    .\] bzw.
+    \[
+        \left(\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n\right) -\epsilon < a_n < \left( \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n \right) + \epsilon \qquad (\text{2 (i) (ii)})
+    .\] 
+    Fast alle Folgenelemente erfüllen:
+    \[
+        \left(\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n\right) - \epsilon < a_n < \left( \lim_{n \to \infty} \text{inf }a_n \right)  +\epsilon \qquad (\text{1 (i) und 2 (i)})
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\end{document}