add ana25

ws2019/ana/lectures/analysis25.tex

@@ -0,0 +1,263 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{korrolar}[2. Mittelwertsatz]
+    Seien $f\colon I \to \R$ monoton, $g\colon I \to \R$ R.-integrierbar. Dann
+    ex. $\xi \in [a,b]$ s.d.
+    \[
+        \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx = f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) dx + f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) dx   
+    .\]
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    o.B.d.A: $f$ monoton fallend.
+
+    Definiere $\phi(t) := f(a) \int_{a}^{t} g(x) dx + f(b) \int_{t}^{b} g(x) dx $, $a \le t \le b$.
+    Nach HDI $\phi(t)$ stetig.
+    \[
+        \varphi(a) = f(b) \int_{a}^{b} g(x) dx \qquad \quad
+        \stackrel{f \text{ monoton fallend}}{\le} \qquad \quad
+        \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx
+        \le f(a) \int_{a}^{b} g(x) dx = \varphi(b) 
+    .\] Nach ZWS $\exists \xi \in [a,b]$ s.d.
+    $\varphi(\xi) = \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx $.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Monotonie unverzichtbar. $f(x) = x^2$, $g(x) = 1$, $I = [-1,1]$.
+    \begin{align*}
+         &f(-1) \int_{-1}^{\xi} g(x) dx + f(1) \int_{\xi}^{1} g(x) dx
+         = \int_{-1}^{1} 1 dx = 2  \quad \forall \xi \in I\\
+         & \int_{-1}^{1} x^2 dx = \frac{x^{3}}{3} \Big|_{-1}^{1} = \frac{1}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \neq 2
+    .\end{align*}
+\end{bem}
+
+\subsection{Integrationsformeln}
+
+\begin{lemma}[Partielle Integration]
+    $f, g\colon  [a,b] \to \R$ stetig differenzierbar. Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} f'(x) g(x) dx = \left[ f(x) \cdot g(x) \right] \Big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f(x) g'(x) dx 
+    .\end{align*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $(f \cdot g)'(x) = f' \cdot g + f\cdot g' \implies$
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} (f' \cdot g + f\cdot g')(x) dx =
+        \int_{a}^{b} (f \cdot g)'(x) dx
+        \stackrel{\text{HDI}}{=} (f \cdot g)(x) \Big|_{a}^{b}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} \cos^2(x) &= \int_{a}^{b} \cos x \cdot \cos x dx   \\
+        &= \cos x \cdot \sin x \Big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} (- \sin x) \sin x dx  \\
+        &= \cos x \cdot \sin x |Big_{a}^{b} + \int_{a}^{b} (1 - \cos^2(x))dx \\
+        \implies 2 \int_{a}^{b} \cos^2(x) dx &= \cos x \cdot \sin x
+        \Big|_{a}^{b} + \int_{a}^{b} dx 
+    .\end{align*}
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+    Seien $[a,b], [\alpha, \beta] \subset \R$, $f\colon [a,b] \to \R$ stetig,
+    $\varphi\colon [\alpha, \beta] \to [a,b]$ stetig differenzierbar
+    mit $a = \varphi(\alpha)$, $b= \varphi(\beta)$. Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt =
+        \int_{a = \varphi(\alpha)}^{b = \varphi(\beta)} f(x) dx
+    .\end{align*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann
+    $F \circ \varphi \colon [\alpha, \beta] \to \R$ stetig differenzierbar
+    und
+    \begin{align*}
+        (F \circ \varphi)' = (F'(\varphi(t))) \cdot \varphi'(t)
+        = f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)
+    .\end{align*}
+    \begin{align*}
+        \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = 
+        \int_{\alpha}^{\beta} (F \circ \varphi)'(t) dt
+        = (F \circ \varphi)(t) \Big|_{\alpha}^{\beta}
+        = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))
+        = \int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}   f(x) dx
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Formal:
+    $x = \varphi(t)$
+    \begin{align*}
+        \frac{dx}{dt} = \varphi'(t) \implies dx = \varphi'(t) dt \\
+        \int_{\varphi(\alpha) = a}^{\varphi(\beta) = b} 
+        f(x) dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt 
+    .\end{align*}
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{align*}
+        \int_{0}^{2} t \cdot \cos(\underbrace{t^2 + t}_{x}) dt
+        = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \cos(\underbrace{t^2 + t}_{\varphi(t)})
+        \cdot 2 t dt
+        = \frac{1}{2} \int_{\varphi(0) = 1}^{\varphi(2) = 5} \cos x dx
+    .\end{align*}
+\end{bsp}
+
+\subsection{Uneigentliche Integrale}
+
+\begin{satz}[Uneigentliches R.-Integral Typ 1]
+    Sei $f\colon (a, b] \to \R$ auf $(a, b]$
+    R.-integrierbar, d.h. $f$ R.-integrierbar auf
+    $\forall [a', b] \subset (a, b]$, aber nicht auf
+    $[a,b]$.
+
+    Falls für alle Folgen $a_n \in (a,b]$ ex.
+    \begin{align*}
+        \lim_{a_n \searrow a} \int_{a_n}^{b} f(x) dx =: \int_{a}^{b} f(x) dx
+    .\end{align*}
+    Dann gilt: Dieser Limes ist von der Wahl der Folge $a_n$ unabhängig und
+    heißt das uneigentliche Integral von $f$ über $[a,b]$.
+\end{satz}
+
+\begin{figure}[h!]
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [grid=both,
+             minor tick num=4,
+             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             enlargelimits={abs=0.2},
+             ymax=10,
+             ymin=0,
+             width=.5\textwidth
+            ]
+            \addplot[domain=0:2,samples=100,smooth,red] {1/x};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+\begin{proof}
+    Sei $(a_n')_{n \in \N}$ eine weitere Folge mit
+    \[
+        \lim_{a_n \searrow a} \int_{a'}^{b} f(x) dx = A' 
+    .\] Konstruiere Folge $\{a_1, a_1', a_2, a_2', \ldots\} = (a''_n)_{n \in \N}$. Nach Voraussetzungen
+    \begin{align*}
+        \exists \lim_{a_n'' \searrow a} \int_{a''}^{b} f(x) dx = A''
+    .\end{align*}
+    Alle Teilfolgen konvergenter Folgen, konvergieren gegen denselben
+    Limes wie die Gesamtfolge $\implies A''= A'$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon (a,b] \to \R$ auf $(a, b]$ aber nicht auf  $[a,b]$
+    integrierbar.
+
+    Falls das uneigentliche Integral von  $|f|$ auf  $[a,b]$ ex., dann
+    ex. das uneigentliche Integral von $f$ über $[a,b]$ und es gilt
+     \begin{align*}
+         \left| \int_{a}^{b} f(x) dx  \right| \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx 
+    .\end{align*}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\epsilon > 0, \epsilon < b - a$. Betrachte
+    \begin{align*}
+        \int_{a + \epsilon}^{b} f(x) dx =
+        \int_{a + \epsilon}^{b} \frac{|f(x)| + f(x)}{2} dx
+        - \int_{a + \epsilon}^{b} \frac{|f(x)| - f(x)}{2} dx
+    .\end{align*}
+    Integrale sind gleichmäßig beschränkt.
+    \begin{align*}
+        \frac{|f(x)| + f(x)}{2} > 0 \quad \forall x \text{ und }
+        \frac{|f(x)| - f(x)}{2} > 0 \quad \forall x
+    .\end{align*}
+    $\implies \int_{a+ \epsilon}^{b} \ldots dx $ monoton wachsend für
+    $\epsilon \to 0$ und
+    \begin{align*}
+        \left| \int_{a+\epsilon}^{b} \frac{|f(x)| + f(x)}{2} dx  \right|
+        + \left| \int_{a+\epsilon}^{b} \frac{|f(x)| - f(x)}{dx}  \right|
+        \le \frac{4}{2} \int_{a+\epsilon}^{b} |f(x)| dx 
+        \le 2 \int_{a}^{b} |f(x)|dx 
+    .\end{align*}
+    $\implies$ Für $\epsilon \to 0$:
+    \begin{align*}
+        \exists \lim_{\epsilon \to 0}
+        \int_{a + \epsilon}^{b} f(x) dx =: \int_{a}^{b} f(x) dx  
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Umkehrung der Aussage
+    (d.h. $f$ uneigentlich integrierbar $\implies |f|$ uneigentlich
+    integrierbar) ist i.A. nicht richtig.
+
+    ,,einfache'' Konvergenz, d.h.
+    $\exists \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+ \epsilon}^{b} f(x) dx$.
+
+    ,,absolute'' Konvergenz / absolut uneigentlich integrierbar, d.h.
+    $\exists \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a + \epsilon}^{b} |f(x)| dx$.
+\item
+    Sei $\int_{a}^{b} f(x) dx $ bei $b$ uneigentlich und 
+    bei $a $ nicht uneigentlich, dann definiert man das uneigentliche Integral
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} f(x) dx := &\lim_{x \to b} \int_{a}^{x} f(t) dt \quad \text{oder }\\
+                                &\lim_{\epsilon \to 0} \int_{a}^{b - \epsilon} f(x) dx
+    .\end{align*}
+    falls der Limes existiert!
+\item Sei $\int_{a}^{b} f(x) dx  $ bei $a$ und $b$ uneigentlich, dann
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} f(x) dx := \lim_{\epsilon \to 0} \int_{c}^{b - \epsilon} f(x) dx + \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{c} f(x) dx  
+    .\end{align*} mit $c \in (a,b)$, falls beide Grenzwerte
+    existieren, ist der Wert unabhängig von der Wahl von $c \in (a,b)$.
+\item Uneigentliches Integral existiert $\iff$ uneigentliches Integral
+    konvergiert.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{lemma}[wie bei Reihen]
+    Absolute Konvergenz $\implies$ Einfache Konvergenz
+\end{lemma}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{align*}
+        \int_{a + \epsilon}^{b} \frac{dx}{x - a}  = \ln(b-a) - \ln(\epsilon)
+        \xrightarrow{\epsilon \to 0} \infty
+    .\end{align*}
+    \begin{align*}
+        \int_{a + \epsilon}^{b} \frac{dx}{(x-a)^{\mu}} 
+        = \frac{1}{1 - \mu} \frac{1}{(x-a)^{\mu -1}} \Big|_{a + \epsilon}^{b}
+        = \frac{1}{1 - \mu} \left( \frac{1}{(b-a)^{\mu - 1}} - \frac{1}{\epsilon^{\mu - 1}} \right)
+    .\end{align*}
+    $\implies$ Integral ex. für $0 < \mu < 1$, ex. nicht für $\mu \ge 1$.
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Uneigentliche R.-Integrale Typ 2]
+    Sei $f\colon [a, \infty] \to \R$ eine lokal integrierbare
+    Funktion, d.h. $f$ ist auf $[a,b'] \subset [a, \infty)$ integrierbar
+    $\forall b'$.
+
+    Falls für alle Folgen $b_n \in [a, +\infty)$ der Limes
+    \begin{align*}
+        \lim_{b_n \to \infty} \int_{a}^{b_n} f(x) dx =:
+        \int_{a}^{\infty} f(x) dx
+    .\end{align*} existiert, dann ist dieser unabhängig von der Wahl
+    der Folge $(b_n)_{n\in\N}$ und heißt uneigentliches Integral von
+    $f$ über $[a, \infty)$.
+\end{satz}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon [a, \infty) \to \R$ lokal integrierbar und es existiere
+    $\int_{a}^{\infty} |f(x)| dx $. Dann ex. $\int_{a}^{\infty} f(x) dx $ 
+    und es gilt
+    \begin{align*}
+        \left| \int_{a}^{\infty} f(x) dx \right| \le \int_{a}^{\infty} |f(x)| dx 
+    .\end{align*}
+\end{lemma}
+
+\end{document}