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ws2019/ana/lectures/analysis9.tex

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+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+Heute: Längstes deutsches Wort! Hi Josua :D
+
+,,Intervallschachtelungseigenschaft hat ganze 33 Buchstaben'' meint Kostina.
+
+\begin{proof}[Fortsetzung des Beweises vom letzten Mal]
+    Ab jetzt: $n$ statt $k$.
+    
+    Zu zeigen: Es existiert eine Wurzel für $0 < a < 1$.
+
+    Definiere Menge $M := \{y \in \R | 0 < y < 1, y^{n} < a\} $  \\
+    $M \neq \emptyset$, weil $\frac{1}{2} a \in M$. $M$ ist auch
+    beschränkt, untere Schranke $0$, obere Schranke $1$.
+
+    Da $\R$ vollständig $\implies \exists$ sup $M =: x$.
+
+    Zu zeigen: $x^{n} = a$
+    Annahme: $x^{n} < a$. Wegen $(x+1) \not\in M$ gilt $(x+1)^{n} > a$.
+    Konstruiere:
+    \[
+        \tau := \frac{\overbrace{a-x^{n}}^{>1}}{(x+1)^{n}-x^{n}}
+    .\] 
+    \begin{align*}
+        (x+\tau)^{n} &= x^{n} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \tau^{k}x^{n-k} \\
+                     &< x^{n} + \tau \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} \\
+                     &= x^{n} + \tau((x + 1)^{n}-x^{n}) \\
+                     &\stackrel{\text{Def. }\tau}{=} x^{n} + (a-x^{n}) = a
+    .\end{align*}
+    $\implies$ 
+    \[
+        (x+\tau)^{n} < a \implies(x+\tau) \in M
+    .\] und damit:
+    \[
+    x + \tau > x \qquad \text{Widerspruch zu } x = \text{sup } M
+    .\] 
+    (folgt aus der binomischen Formel: $(x+1)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k})$
+
+    Annahme: $x^{n} > a$
+
+    Nach der Ungleichung von Bernoulli gilt für $\tau := \frac{x^{n} - a}{n x^{n}}$.
+    $\left( 0 < \tau < \frac{x^{n} - a}{x^{n}} < 1 \right) $ 
+    Damit:
+    \begin{align*}
+        (x-\tau x)^{n} &= x^{n} ( 1 - \tau) \ge x^{n} ( 1 - n \tau) \\
+                       &= x^{n} \left(1 - \frac{x^{n} - a}{x^{n}}\right) = a
+    .\end{align*}
+    $\implies$ Für $y \in M$ gilt:
+    \[
+        y^{n} < a < (x - \tau x)^{n}
+    .\]  $\implies$
+    \[
+        0 < (x- \tau x)^{n} - y^{n} = \underbrace{(x - \tau x - y) \sum_{k=0}^{n} (x - \tau x)^{n-1-k} y^{k}}_{> 0}
+    .\] 
+    $\implies x - \tau x - y > 0$  \\
+    $\implies y < x - \tau x < x \implies x - \tau x < x$ eine obere
+    Schranke von M. Widerspruch zu $x = \text{sup }M$
+
+    (Formel: $a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k}$)
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Ungleichung von Bernoulli]
+    Sei $x \ge -1$, dann gilt:
+    \[
+        (1+x)^{n} \ge 1 + nx, \forall n 
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Allgemeine rationale Potenzen]
+    $a^{q}, q = \frac{r}{s} \in \Q, a > 0, a \in \R$ wird definiert durch
+    \[
+        a^{q} = a^{\frac{r}{s}} := \left( \sqrt[s]{a} \right)^{r}
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{itemize}
+        \item Regeln für das Rechnen mit Wurzeln
+            \[
+            \left( \sqrt[s]{a}  \right)^{r} = (a^{\frac{1}{s}})^{r}  
+            = a^{\frac{r}{s}} = \left( a^{r} \right) ^{\frac{1}{s}}
+            = \sqrt[s]{a^{r}} 
+            .\] 
+        \item Für $a \in \R_+$ wird unter $\sqrt[k]{a} $ \textbf{immer}
+            die positive $k$-te Wurzel verstanden.\\
+            $\implies$ Aussage $\sqrt{a^2} = a $ ist falsch.\\
+            Korrekt: $\sqrt{a^{2}} = |a|$
+
+            Die Gleichung $x^{2} = a$ hat zwei Lösungen:
+            $x_1 = \sqrt{a}, x_2 = -\sqrt{a} $
+    \end{itemize}
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Reelle Potenzen]
+    $a \in \R_+, r \in \R, a^{r}$ - ?
+
+    $\exists (q_n)_{n\in\N} \to r, q_n \in \Q$, damit:
+    \[
+    a^{r} := \lim_{n \to \infty} a^{q}
+    .\] 
+    Noch zu überprüfen: ob der Grenzwert existiert und eindeutig ist
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    $\sqrt{2} , (q_n) = \{1.4, 1.41, 1.414, \ldots\} $
+    \[
+        a^{\sqrt{2} } = \lim_{n \to \infty} a_n, a_1 = a^{1.4}, a_2 = a^{1.41}, \ldots
+    .\] Analog über Intervallschachtelung:
+    \begin{align*}
+        I_1 &= \left[ 1.4; 1.5 \right] \\
+        I_2 &= \left[ 1.41; 1.42 \right] \\
+        I_3 &= \left[ 1.414; 1.415 \right] \\
+        I_n &= \left[ r_n, s_n \right]
+    .\end{align*}
+    \[
+        a^{\sqrt{2} } = \bigcap_{n = 1}^{\infty} \overline{I_n}
+    .\] 
+    Alternative Definition über $\exp$ und $\ln$ 
+    \[
+        a^{r} = \exp(r \ln a)
+    .\] und Reihenentwicklung:
+    \[
+        \exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}
+    .\] oder
+    \[
+        \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^{n}
+    .\] 
+\end{bsp}
+
+\subsection{Mächtigkeit von $\Q$ und $\R$ }
+
+\begin{definition}[Mächtigkeit]
+    Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente.
+
+    Eine Menge ist ,,unendlich'', wenn eine bijektive Abbildung
+     $f: A \to \text{Echte Teilmenge von }A$ existiert.
+    Dann $|A| = \infty$.
+
+    Eine unendliche Menge, deren Elemente mit Hilfe der natürlichen Zahlen
+    durchnummeriert werden kann, heißt ,,abzählbar (unendlich)'', sonst
+    ,,überabzählbar''.
+    
+    Abzählbarkeit heißt: Es existiert eine bijektive Abbildung $f\colon \N \to  A$.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{itemize}
+        \item $A = \{a_1, a_2, a_3\} $ dann $|A| = 3$
+    \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\end{document}