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ws2019/ana/lectures/analysis13.tex

@@ -45,7 +45,7 @@ Aus Definitionen:
     betrachten die Folge der $n$-ten Partialsumme $(s_n)_{n \in \N}$ 
     definiert durch:
     \[
-    s_n := \sum_{k=1}^{\infty} a_k
+    s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k
     .\] Die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ konvergiert (divergiert),
     wenn die Folge der Partialsummen $(s_n)_{n\in\N}$ konvergiert (divergiert).
 
@@ -65,14 +65,14 @@ Aus Definitionen:
     \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = 1 + q + q^2 + q^{3} + \ldots
     .\] $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}$ konvergiert genau
     für alle $ q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$ und
-    es gilt $\sum_{0=1}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q}$.
+    es gilt $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q}$.
     \label{geometrischereihe}
 \end{bsp}
 
 \begin{proof}
     Folge der Partialsummen
     \[
-    s_n = \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = \begin{cases}
+    s_n = \sum_{k=0}^{n} q^{k} = \begin{cases}
         \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad q \neq 1 & q \neq 1 \\
         n + 1 & q = 1
     \end{cases}

ws2019/ana/lectures/analysis14.tex

@@ -48,7 +48,7 @@
         .\] $\implies \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{n}$ konvergente
         Majorante für $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^{n}}$.
     \item $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} } $ ist divergent, weil
-        $\frac{1}{\sqrt{n} } \ge \frac{1}{n}$ ($\sqrt{n} \ge 1$
+        $\frac{1}{\sqrt{n} } \ge \frac{1}{n}$ ($\sqrt{n} \ge 1$)
         $\implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergente
         Minorante.
 \end{enumerate}
@@ -74,9 +74,9 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
         \item $\forall n \ge N_0$ gilt:
             \[
             |a_n| \le q |a_{n-1}| \le  \ldots \le q^{n-N_0} |a_{N_0}|
-            .\] $\implies \frac{|a_{N_0}}{q^{N_0}} \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}$
+            .\] $\implies \frac{|a_{N_0}|}{q^{N_0}} \sum_{n=1}^{\infty} q^{n}$
              ist konvergente Majorante.
-         \item $|a_n| \ge  |a_{n-1}| \ge \ldots \ge |a_n| \implies
+         \item $|a_n| \ge  |a_{n-1}| \ge \ldots \ge |a_{N}| \implies
              (a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies \sum_{n=1}^{\infty} a_n$
              divergiert.
     \end{enumerate}
@@ -131,7 +131,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
     Sei $(a_n)_{n\in\N}$, $a_n \in \R_{+}$, eine reelle, positive
     monoton fallende Nullfolge. Dann gilt
     \[
-    \sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{ konvergent } \iff \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} a_{2k} \text{ konvergent}
+    \sum_{k=1}^{\infty} a_k \text{ konvergent } \iff \sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}} \text{ konvergent}
     .\] 
 \end{satz}