diff --git a/.gitignore b/.gitignore index c578418..3fe5ded 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -6,6 +6,6 @@ *.aux *.fls *.log -*.synctex.gz +*.synctex* *.fdb_latexmk *.toc diff --git a/sose2020/ana/lectures/ana1.pdf b/sose2020/ana/lectures/ana1.pdf deleted file mode 100644 index 21cc03c..0000000 Binary files a/sose2020/ana/lectures/ana1.pdf and /dev/null differ diff --git a/sose2020/ana/lectures/ana1.tex b/sose2020/ana/lectures/ana1.tex deleted file mode 100644 index 2644a41..0000000 --- a/sose2020/ana/lectures/ana1.tex +++ /dev/null @@ -1,358 +0,0 @@ -\documentclass{../../../lecture} - -\begin{document} - -\section{Folgen und Reihen von Funktionen} - -\subsection{Funktionenfolgen und gleichmäßige Konvergenz} - -\begin{definition} - Sei für $n \in \N$, $f_n \colon D \to \R$, $D \subset \R$ eine Funktion. - Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen - eine Funktion $f\colon D \to \R$ falls $\forall x \in D$ - die Folge $(f_n(x))_{n\in\N}$ gegen $f(x)$ konvergiert, d.h. - \[ - \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon, x) > 0 \text{ s.d. } - |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall n \ge N - .\] -\end{definition} - -\begin{bsp} - \begin{enumerate}[(a)] - \item \begin{align*} - &f_n(x)\colon [0,2] \to \R \\ - &f_n(x) = \begin{cases} - n^2x & 0 \le x \le \frac{1}{n} \\ - 2n - n^2x & \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\ - 0 & \frac{2}{n} \le x \le 2 - \end{cases} - .\end{align*} - $(f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert punktweise gegen $f(x) \equiv 0$ $\forall x \in [0,2]$. - - $x=0$: $f_n(0) = 0 = f(0)$\\ - $0 < x \le 2$: $\forall n \ge \frac{2}{x}$, $f_n(x) = 0 = f(x)$ - \item $f_n(x) = x^{n}$, $f_n\colon [0,1] \to \R$. - \begin{figure}[h!] - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}% - [grid=both, - minor tick num=4, - grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, - major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, - axis lines=middle, - enlargelimits={abs=0.2}, - ymax=1, - ymin=0 - ] - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^1}; - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^2}; - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^3}; - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {x^4}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}% - [grid=both, - minor tick num=4, - grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, - major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, - axis lines=middle, - enlargelimits={abs=0.2}, - ymax=1, - ymin=0 - ] - \addplot[domain=0:1.1,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \caption{$f_n(x) = x^{n}$ und ihre Grenzfunktion} - \end{figure} - \begin{align*} - (f_n(x))_{n\in\N} \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x) - = \begin{cases} - 1 & \text{ falls } x = 1 \\ - 0 & \text{ falls } 0 \le x < 1 - \end{cases} - .\end{align*} - \end{enumerate} - \label{bsp:punktweisekonvergenz} -\end{bsp} - -\begin{bem} - Punktweiser Limes stetiger Funktionen muss nicht stetig sein. -\end{bem} - -\begin{definition} - Die Folge $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f\colon D \to \R$ falls gilt - \[ - \forall \epsilon > 0 \quad \exists N = N(\epsilon) \text{ s.d. } - |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \quad \forall x \in D \text{ und } n \ge N - .\] -\end{definition} - -\begin{bem} - $\forall \epsilon > 0$, $\exists N = N(\epsilon)$, $\forall n \ge N$ gilt - \[ - \text{graph}(f_n) \subset \epsilon\text{-Umgebung von Graphen von } f - := \{ (x, y) \in D \times \R \mid | y - f(x)| < \epsilon\} - .\] - \begin{figure}[h!] - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}% - [grid=both, - minor tick num=4, - grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, - major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, - axis lines=middle, - enlargelimits={abs=0.2}, - ymax=1, - ymin=0 - ] - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.7}; - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,red] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5}; - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {0.1 * sin(deg(40*x)) + 0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.5}; - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3*sin(deg(8*x)) + 0.2*x + 0.3}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \begin{tikzpicture} - \begin{axis}% - [grid=both, - minor tick num=4, - grid style={line width=.1pt, draw=gray!10}, - major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50}, - axis lines=middle, - enlargelimits={abs=0.2}, - ymax=1, - ymin=-0.4, - ] - \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {0.3}; - \addplot[domain=0:1.001,samples=1000,smooth,red] {(and(x>=0 , x<1) * 0 + (and(x>=1, x< 10) * 1}; - \addplot[domain=0:1,samples=50,smooth,blue] {x^8}; - \addplot[domain=0:1.1,samples=50,smooth,dashed, blue] {-0.3}; - \end{axis} - \end{tikzpicture} - \caption{Links: ,,$\epsilon$-Schlauch'', Rechts: \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (b) nicht gleichmäßig konvergent} - \end{figure} - Beispiele \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b) nicht gleichmäßig konvergent, zu (a): - Für $\epsilon = \frac{1}{2}$ gilt - $\left|f_n\left(\frac{1}{n}\right)- f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = n > \frac{1}{2}$ -\end{bem} - -\begin{bsp} - $f_n\colon [0,2] \to \R$, $f_n(x) := \frac{1}{n} \sin \left( 2\pi n \cdot x \right) $ konvergiert - gleichmäßig gegen $f(x) = 0$. - \[ - | \sin(2 \pi n \cdot x) | \le 1 \quad \forall x \in R \implies - f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0 \quad \forall x \in [0,2] \implies \text{punktweise Konvergenz} - .\] Sei nun $\epsilon > 0$, dann $\exists N \in \N$ mit $\frac{1}{N} < \epsilon$. Damit folgt - \[ - \forall n \ge N \quad |f_n(x)| \le \frac{1}{N} < \epsilon \quad \forall x - \implies \text{gleichmäßige Konvergenz} - .\] -\end{bsp} -\begin{bem} - Konvergiert $f_n \colon D \to \R$ gleichmäßig gegen $f \colon D \to \R$, dann konvergiert $f_n$ punktweise - gegen $f$. Die Umkehrung gilt nicht, siehe \ref{bsp:punktweisekonvergenz} (a) und (b). -\end{bem} - -\begin{satz}[Gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen ist stetig] - Es sei $D \subset \R$ und $f_n\colon D \to \R$ $\forall n \in \N$ stetig in $D$. - Sei $(f_n)_{n\in\N}$ gleichmäßig konvergent gegen $f\colon D \to \R$. Dann gilt: - $f$ ist stetig in $D$. -\end{satz} - -\begin{proof} - Seien $x_0 \in D$ und $\epsilon > 0$. - Zu zeigen: - $\exists \delta > 0$ $\forall x \in D\colon |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon$. - \[ - (f_n)_{n\in\N} \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f - \implies \exists N \in \N \text{ s.d. } \forall n \ge N \quad \forall x \in D - \text{ gilt } | f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{3} - .\] - \[ - f_n \text{ stetig in } x_0 \implies \exists \delta \text{ s.d. } \forall x \in D \text{ gilt } - |x - x_0| < \delta \implies |f_n(x) - f_n(x_0)| < \frac{\epsilon}{3} - .\] - Zusammen: $\forall x$ mit $|x - x_0| < \delta $ gilt: - \begin{align*} - |f(x) - f(x_0)| &= |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(x_0) + f_n(x_0) - f(x_0)| \\ - &\le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(x_0)| + |f_n(x_0) - f(x_0)| \\ - &\le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\ - &= \epsilon - .\end{align*} -\end{proof} - -\subsection{Der Funktionenraum $C[a,b]$} - -\begin{definition}[Maximumnorm $\Vert\cdot \Vert_\infty$] - Es sei $D$ ein beschränktes, abgeschlossenes Intervall $I = [a,b]$ und - $f\colon [a,b] \to \R$ (oder $\mathbb{C}$) stetig. Dann - \[ - \Vert f \Vert_\infty := \max \{ |f(x)| \mid x \in [a,b]\} - .\] Das Maximum existiert wegen der Stetigkeit des Absolutbetrags und weil $[a,b]$ beschränkt und - abgeschlossen ist. -\end{definition} - -\begin{satz}[$\Vert \cdot \Vert_\infty$ und gleichmäßige Konvergenz] - Es sei $D = [a,b]$ und $f\colon [a,b] \to \R$ stetig. Dann gilt - \begin{enumerate}[(i)] - \item $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig gegen $f \colon [a,b] \to \R - \iff \Vert f_n - f \Vert_\infty \to 0$, $n \to \infty$ - \item Cauchy-Kriterium: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b] - \iff \forall \epsilon > 0$ $\exists N_0 \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge N_0$ gilt - $\Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} < \epsilon$ - \end{enumerate} -\end{satz} - -\begin{proof} - \begin{enumerate}[(i)] - \item ,,$\implies$'': Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists N \in \N$ s.d. - $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$ $\forall x \in [a,b]$ und $\forall n \ge N$. Damit folgt: - \[ - \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \implies \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0 - .\] - ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$. Wegen - $\Vert f_n -f \Vert_{\infty} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ $\exists N \in \N$ s.d. - $\Vert f_n - f \Vert_\infty < \epsilon$ $\forall n \ge N$. Damit folgt - $\forall n \ge N$ und $\forall x \in [a,b]$ - \[ - |f_n(x) - f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)| = - \Vert f_n - f \Vert_{\infty} < \epsilon \implies \text{gleichmäßige Konvergenz} - .\] - \item ,,$\implies$'' $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. - $\exists f: [a,b] \to \R$ s.d. $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f$. - - Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$ s.d. $|f_n(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{4}$ - $\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$. - - Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$: - - \begin{align*} - &|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)| - \le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\ - \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} - \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0 - .\end{align*} - - ,,$\impliedby$'': Sei $\epsilon > 0$, dann $\exists N_0 \in \N$, s.d. - \[ - |f_n(x) - f_m(x)| \le \Vert f_n - f_m \Vert_\infty < \frac{\epsilon}{2} \quad - \forall n,m \ge N_0 \quad \forall x \in [a,b] - .\] $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ ist eine Cauchy-Folge in $\R$.\\ - $\implies (f_n(x))_{n\in\N}$ konvergiert \\ - $\implies$ Definiere $f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$, $x \in [a,b]$. - - Dann gilt $\forall n \ge N_0$, $\forall x \in [a,b]$: - \[ - |f_n(x) - f(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_n(x) - f_m(x)| < \frac{\epsilon}{2} - \implies (f_n)_{n\in\N} \text{ konvergiert gleichmäßig gegen } f - .\] - \end{enumerate} -\end{proof} - -\begin{bem} - $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ erfüllt s.g. Normeigenschaften: - \begin{enumerate}[(N1)] - \item $\Vert f \Vert_\infty = 0 \implies f(x) = 0, x \in [a,b]$ (Definitheit) - \item $\Vert \alpha f \Vert_{\infty} = |\alpha| \cdot \Vert f \Vert_\infty$, $\alpha \in \R$ (Homogenität) - \item $\Vert f + g \Vert_{\infty} \le \Vert f \Vert_\infty + \Vert g \Vert_\infty$ (Dreiecksungleichung) - \end{enumerate} folgen direkt aus den Eigenschaften des Absolutbetrags. -\end{bem} - -\begin{definition} - Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch - \[ - C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R \mid f \text{ stetig }\} - ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum. -\end{definition} - -\begin{satz}[Vollständigkeit] - Der Raum $C[a,b]$ ist vollständig bezüglich gleichmäßiger Konvergenz, d.h. jede - Cauchy-Folge von Funktionen aus $C[a,b]$ besitzt einen Limes in $C[a,b]$ -\end{satz} - -\begin{proof} - Rannacher -\end{proof} - -\subsection{Integration und Grenzübergänge} - -Wichtige Frage: Wenn $f_n \to f$, gilt dann auch $\int_{a}^{b} f_n \to \int_{a}^{b} f$? - -\begin{satz} - Seien $f_n \colon [a,b] \to R$ stetige Riemann-integrierbare Funktionen und $f\colon [a,b] \to \R$ - mit $\Vert f_n - f \Vert_\infty \xrightarrow{n \to \infty} 0$ (gleichmäßige Konvergenz). Dann gilt - $f$ stetig und Riemann-integrierbar und - \[ - \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - = \int_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx - .\] -\end{satz} - -\begin{proof} - $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f \implies f$ stetig $\implies f$ Riemann-integrierbar. - - Es gilt - \[ - \left| \int_{a}^{b} f_n(x) dx - \int_{a}^{b} f(x) dx\right| = \left| \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x))dx\right| - \le \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \le \underbrace{\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f(x)|}_{= \underbrace{\Vert f_n - f \Vert_\infty}_{\xrightarrow{n \to \infty} 0}\underbrace{(b-a)}_{\text{beschränkt}}} - .\] -\end{proof} - -\begin{satz} - Seien $f_n \colon [a,b] \to \R$ stetige Funktionen $(n \in \N)$ und die Reihe - $\sum_{n=0}^{\infty} f_n$ konvergiere gleichmäßig auf $[a,b]$, d.h. die Folge der Partialsummen - $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ sei gleichmäßig konvergent. Dann gilt: - \[ - f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \quad \forall x \in [a,b] - .\] ist stetig und Riemann-integrierbar und - \begin{align*} - \int_{a}^{b} f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \\ - \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx - ,\end{align*} d.h. die Reihe wird gliedweise integriert. -\end{satz} - -\begin{proof} - $f_n$ sind stetig $\implies \sum_{n=0}^{N} f_n(x)$ stetig und Riemann-integrierbar. - - Die Folge der Partialsummen $(\sum_{n=0}^{N} f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, d.h. - \[ - f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) \text{ stetig } = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{n=0}^{N} f_n(x) \right) \text{ gleichmäßiger Limes} - .\] Es gilt - \[ - \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx + \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx - .\] Die Reihe konvergiert gleichmäßig, d.h. $\forall \epsilon > 0$ $\exists N_{\epsilon} \in \N$, s.d. - $\forall N \ge N_{\epsilon}$ gilt - \begin{align*} - &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \cdot (b-a) \\ - \implies &\left| \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx - \sum_{n=0}^{N} \int_{a}^{b} f_n(x) dx \right| \le \epsilon \\ - \implies& \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) dx = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx - .\end{align*} -\end{proof} - -\begin{korrolar}[Integration von Potenzreihen] - Es sei $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}$ eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho > 0$. - Dann konvergiert $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^{n}$ in jedem Intervall - $[x_0 - r, x_0 + r]$ für $0 < r < \rho$ gleichmäßig und für $[a,b] \subset \;]x_0 - \rho, x_0 + \rho[$ gilt - \[ - \int_{a}^{b} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1} - \Big|_{a}^{b} - .\] -\end{korrolar} - -\begin{proof} - Nur die gleichmäßige Konvergenz für $| x - x_0| \le r$ ist zu beweisen: Für $|x - x_0| \le r$, $r < \rho$ gilt: - \begin{align*} - \left\Vert \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n} - \sum_{n=0}^{N} a_n(x-x_0)^{n} \right\Vert_{\infty} - &= \left\Vert \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n(x - x_0)^{n}\right\Vert_\infty \\ - &\stackrel{|x - x_0| < r}{\le} \quad \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot r^{n} \\ - &\stackrel{(*)}{\le} \sum_{n=N+1}^{\infty} \left(\frac{1}{\rho - \epsilon}\right)^{n} \cdot r^{n} \\ - &= \sum_{n=N+1}^{\infty} \underbrace{\left( \frac{r}{\rho-\epsilon} \right)^{n}}_{< 1} - \xrightarrow[\text{geometrische Reihe}]{N \to \infty} 0 - .\end{align*} - $(*)$: $\rho = \frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|} }$, $r < \rho - \epsilon$ für ein $\epsilon > 0 \implies - \exists N_0 \in \N$, s.d. $\sqrt[n]{|a_n|} < \frac{1}{\rho - \epsilon} $ $\forall n \ge N_0$ -\end{proof} - -\end{document} diff --git a/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf b/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf deleted file mode 100644 index f6002c0..0000000 Binary files a/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf and /dev/null differ diff --git a/sose2020/ana/lectures/analysisII.tex b/sose2020/ana/lectures/analysisII.tex deleted file mode 100644 index 41d839d..0000000 --- a/sose2020/ana/lectures/analysisII.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -\documentclass[titlepage]{../../../lecture} - -\usepackage{standalone} -\usepackage{tikz} -\usepackage{subcaption} - -\title{Analysis II} -\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina} -\date{SoSe 2020} - -\begin{document} - -\newgeometry{right=15mm, left=15mm} -\maketitle -\restoregeometry - -\tableofcontents -\newpage - -\input{ana1.tex} - -\end{document} diff --git a/sose2020/ana/uebungen/ana1.pdf b/sose2020/ana/uebungen/ana1.pdf index 3adac28..17de4b6 100644 Binary files a/sose2020/ana/uebungen/ana1.pdf and b/sose2020/ana/uebungen/ana1.pdf differ