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+\documentclass{../../../lecture}
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{enumerate}
+
+\begin{document}
+
+Sorry für die Verspätung..
+
+Rechenregeln für komplexe Zahlen
+(siehe Übungsblatt)
+
+Reelle Zahlen: $z \in \R \iff \text{Im}(z) = 0 \iff z = \overline{z}$
+ 
+Dies führt zur weiteren Darstellung komplexer Zahlen mit Hilfe von $\sin$ und $\cos$.
+
+\textbf{Polardarstellung}
+
+\begin{enumerate}[(a)]
+    \item 
+        \[
+            z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi) \qquad r = |z|
+        .\] 
+        Bsp.: $i = 1 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2}\right)$
+    \item
+        Definiere $e^{iy} := \cos y + i \sin y \qquad y \in \R$. Es folgt
+        eine \textit{Exponentialdarstellung}.
+        \[
+            z = r \cdot e^{i \varphi} \text{ mit } r = |z| \quad \varphi = \text{Arg}(z)
+        .\] 
+\end{enumerate}
+
+\begin{satz}[Vorteil der Exponentialdarstellung]
+    Für $z = r e^{i \varphi} = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$
+    \[
+    z_k = r_k e^{i \varphi k} \qquad k = 1,2 \text{ gilt}
+    .\] 
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $\overline{z} = r \cdot e^{-i\varphi}$
+        \item $z_1 \cdot z_2 = r_1\cdot r_2 \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$
+        \item $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\cdot e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}$
+        \item $z^{n} = r^{n} e^{in\varphi}$ \\
+            insbesondere gilt die Formel von de Moivre:
+            \[
+                \left(e^{i\varphi}\right)^{n}
+                = (\cos \varphi + i \sin\varphi)^{n}
+                = \cos (n \varphi) + i \sin(n \varphi)
+                = e^{in\varphi}
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $\overline{z} =  \overline{r(\cos \varphi + i \sin\varphi)}
+            = r (\cos\varphi - i \sin\varphi)
+            = r (\cos(-\varphi) + i \sin(-\varphi))
+            =  r\cdot e^{-\varphi}$
+        \item \begin{align*}
+                z_1 \cdot z_2 &= r_1\cdot r_2\left( \cos\varphi_1 \cos\varphi_2 - \sin\varphi_1 \sin\varphi_2 \right)
+                            + i \left(\left( \cos\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_2 \sin\varphi_1 \right)\right) \\
+                              &= r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 +\varphi_2)) \\
+                              &= r_1 r_2 e^{i (\varphi_1 + \varphi_2)} 
+            .\end{align*}
+        \item folgt aus 2
+        \item folgt aus 2
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+tolle Grafik von der Kostina, die gibt's nur in der Vollversion.
+
+\begin{bem}[Beobachtungen]
+    \begin{enumerate}
+        \item $e^{i \varphi} = 1 \iff \varphi \in \{2\pi k\mid k \in \Z\} $
+            \begin{proof}
+                durch Behauptung.
+            \end{proof}
+        \item $e^{i\varphi_1} = e^{i \varphi_2} \iff \varphi_1 - \varphi_2
+            \in \{2 \pi k  \mid k \in \Z\} $
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[$n$-te Wurzel in $\C$]
+    Für $n \in \N$ und $0 \neq w = r e^{i\varphi}$ hat die Gleichung
+    $z^{n} = w $ genau $n$ verschiedene Lösungen.
+    \[
+        z_k = \sqrt[n]{r} e^{i(\varphi + 2 \pi k)\cdot \frac{1}{n}}
+        \qquad k = 0,1, \ldots, n-1
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $z = \rho e^{i \psi}$. Dann:
+    \begin{align*}
+        &z^{n} = \rho^{n} e^{i n \psi}
+        \stackrel{!}{=} r e^{i \varphi} = w \\
+        \iff &\rho^{n} = r \text{ und } n \psi = \varphi + 2 \pi k, k \in \Z \\
+        \iff &\varrho = \sqrt[n]{r} \text{ und } \psi = \frac{1}{n}(\varphi + 2 \pi k) k \in \Z
+    .\end{align*}
+
+    Betrachte: $z_k = \sqrt[n]{r} e^{i\psi_k}, \psi_k = \frac{1}{n}\left( \varphi + 2 \pi k \right), k = 0, 1, \ldots, n-1$ 
+
+    \begin{enumerate}
+        \item Alle $z_k$ sind paarweise verschieden (klar).
+        \item Wir zeigen, dass es keine weiteren Lösungen gibt.
+            Sei $z$ eine beliebige Lösung $z^{n} = w$ und
+            $z = |z| \cdot (\cos \psi + i \sin \psi)$. Es gilt
+            $|z|^{n} = |w|$ und folglich $|z| = \sqrt[n]{|w|}  = \sqrt[n]{r} $.
+
+            Weiterhin ist $n \psi = \varphi + 2 \pi l $ für ein $l \in \Z$
+            (wegen $(e^{i \psi})^{n} = e^{i n \psi}$), dann
+            $\psi = \frac{\varphi}{n} + l \frac{2\pi}{n}$.
+
+            Teile $l$ durch $n$ mit Rest: $l = k + s \cdot n$.
+            \[
+            \frac{l}{n} = s + \frac{k}{n}, s \in \Z, 0 \le k \le n-1
+            .\] 
+            Dann
+            \[
+            \psi = \frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi}{n}(k+sn)
+        = \underbrace{\left( \frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi}{n} k \right)}_{\psi_k} + 2\pi s
+            .\]
+            $\implies z = z_k, 0 \le k \le n-1$ \\
+            $\implies$ Alle Lösungen gefunden
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Geometrische Interpretation]
+    Die Lösungen sind die Ecken eines regelmäßigen $n$-Ecks auf
+    dem Kreis mit Radius $|z| = \sqrt[n]{r} $.
+
+    Im Fall $w = 1$ heißen $z_k$ die $n$-ten Einheitswurzeln.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    Die dritten Einheitswurzeln sind
+    \begin{align*}
+        &\left\{ e^{i 2 k \pi \frac{1}{3}}, k = 0,1,2 \right\} \\
+        &= \left\{ \cos\left( k \frac{2\pi}{3} + i \sin (k \frac{2\pi}{3}, k = 0,1,2 \right) \right\}  \\
+        &= \left\{1, -\frac{1}{2}+ i \frac{\sqrt{3} }{2} , -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}    }{2}\right\} 
+    .\end{align*}
+\end{bsp}
+
+\end{document}