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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

@@ -194,6 +194,7 @@ Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-
         \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
             dann auch der dritte.
     \end{enumerate}
+    \label{satz:k-proj-triangulated}
 \end{satz}
     
 \begin{proof}
@@ -387,7 +388,6 @@ inverse bzw. direkte Systeme deren Limites die gewünschten Auflösungen liefern
             $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
             Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
     \end{enumerate}
-    
 \end{definition}
 
 Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe 
@@ -814,6 +814,7 @@ Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:
     $\colim$ ist exakt.
 
     Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Linksauflösung.
+    \label{satz:existence-k-proj-resolution}
 \end{korollar}
 
 \begin{proof}
@@ -1002,7 +1003,122 @@ Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Kom
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    (i)$\implies$(ii): Sei ^
+    (i)$\implies$(ii): Sei $\com{I}$ K-injektiv und $\com{S}$ exakt. Dann ist
+    \[
+        \com{\text{Hom}} (\com{S} , \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I}))
+        \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
+        \com{\text{Hom}}(\underbrace{\com{S} \otimes_A \com{M}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{I}}_{\text{K-injektiv}} )
+    .\] Weil $\com{M} $ K-flach ist, folgt $\com{S} \otimes_A \com{M} $ exakt, also wegen $\com{I} $ K-injektiv,
+    die Behauptung.
+
+    (ii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ azyklisch. $A$-Mod hat genügend Injektive, also genügt es wegen \ref{lemma:0.10} zu
+    zeigen, dass für jeden injektiven $A$-Modul $I$, $\com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, I) $ exakt ist. Dazu
+    sei $I$ injektiver $A$-Modul und $\com{I} = [ \cdots \to 0 \to I \to 0 \cdots]$.
+    Dann ist nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} $\com{I} $ K-injektiv und damit
+    \[
+        \com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, I) = \com{\text{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, \com{I})
+        \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=} \com{\text{Hom}}(\underbrace{\com{S}}_{\text{exakt}}, \underbrace{\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})}_{\text{K-injektiv}})
+    \] exakt.
 \end{proof}
 
+\begin{satz}[]
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-projektiv. Dann ist $\com{M} $ K-flach.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\com{M} $ K-projektiv und $\com{S} $ exakt. Sei weiter $\com{I} $ K-injektiv. Dann folgt
+    \[
+        \com{\text{Hom}} (\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{I}) \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
+        \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I} )
+    .\] Es ist $\com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I})$ exakt, da $\com{I} $ K-injektiv und damit die rechte Seite, da
+    $\com{M} $ K-projektiv ist. Also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:0.10}.
+    \label{satz:k-proj-is-k-flat}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-flach und exakt. Dann ist $\com{M} \otimes_A \com{N} $ exakt
+    für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-flach und exakt und sei $\com{N} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach
+    \ref{satz:existence-k-proj-resolution} ein $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und ein Quasiisomorphismus
+    $\com{P} \to \com{N} $. Da $\com{M} $ K-flach, ist $\com{M} \otimes_A -$ ein exakter Funktor also folgt
+    \begin{equation}
+        H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{N}) = \com{M} \otimes_A H^{i}(\com{N})
+        = \com{M} \otimes_A H^{i}(\com{P})
+        = H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{P})
+        \label{eq:cohom-groups}
+    .\end{equation}
+    Wegen \ref{satz:k-proj-is-k-flat} ist $\com{P} $ K-flach, also folgt mit der Exaktheit von $\com{M} $, dass
+    $\com{M} \otimes_A \com{P} $ exakt ist. Damit folgt die Behauptung aus \eqref{eq:cohom-groups}.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ K-injektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{M} , \com{I} )$ exakt für alle
+    $\com{M} \in \mathcal{K}$.
+
+    \label{satz:hom-exact-for-k-inj}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach
+    \ref{satz:existence-k-proj-resolution} ein $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und ein Quasiisomorphismus
+    $\com{P} \to \com{M}$. Da $\com{I} $ K-injektiv, ist $\com{\text{Hom}}(-, \com{I})$ ein exakter Funktor, also
+    folgt
+    \begin{equation}
+        H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})) = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{M}), \com{I})
+        = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{P}), \com{I})
+        = H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{I}  ))
+        \label{eq:cohom-groups}
+    .\end{equation}
+    Da $\com{P} $ K-projektiv und $\com{I} $ exakt, folgt die Exaktheit der rechten Seite und damit die Behauptung.
+\end{proof}
+
+Umdrehen der Pfeile liefert
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{M} )$ exakt für alle
+    $\com{M} \in \mathcal{K}$.
+\end{satz}
+
+\subsection{Abgeleitete $\com{\text{Hom}}$ Funktoren}
+
+\begin{satz}[]
+    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ wohldefiniert
+    und kann mithilfe einer K-projektiven Auflösung von $\com{M} $ oder einer K-injektiven Auflösung von $\com{N} $
+    berechnet werden.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    In der Notation von \ref{satz:existence-derived-functors} wähle $\mathcal{L}$ als die volle Unterkategorie der
+    K-injektiven Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann ist für $\com{M} $ beliebig:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-proj-triangulated}.
+        \item Für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$ existiert ein Quasiisomorphismus $\com{N} \to \com{I} $
+            mit $\com{I} \in \mathcal{L}$.
+        \item Nach \ref{satz:hom-exact-for-k-inj} ist $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)|_{\mathcal{L}}$ exakt.
+    \end{enumerate}
+    Also existiert R$\com{\text{Hom}}(\com{M} , -)$. Analog berechnet sich R$\com{\text{Hom}}(-, \com{N})$ für
+    $\com{N} \in \mathcal{K}$ unter Wahl von $\mathcal{L}$
+    als die volle Unterkategorie der K-projektiven Komplexe von $\mathcal{K}$. Beide Ableitungen stimmen überein, denn
+    für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ beliebig und $\com{P} \to \com{M} $ und $\com{N} \to \com{I} $ K-projektive
+    bzw. K-injektive Auflösungen gilt mit wiederholter Anwendung von \ref{satz:existence-derived-functors} und
+    wegen $\com{P} \stackrel{\sim }{=} \com{M} $ und $\com{N} \stackrel{\sim }{=} \com{I} $ in $\mathcal{D}$:
+    \begin{align*}
+        \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} , - )(\com{N})
+        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{P} , -)(\com{I}) \\
+        &= \com{\text{Hom}}(\com{P}, \com{I}) \\
+        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(-, \com{I} )(\com{P}) \\
+        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(-, \com{N} )(\com{M})
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\subsection{Abgeleitetes Tensorprodukt}
+
+\begin{satz}[]
+    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}$ wohldefiniert und
+    kann mithilfe einer K-flachen Auflösung einer der Faktoren berechnet werden.
+\end{satz}
+
 \end{document}