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sose2022/galois/vortrag_affin.tex

@@ -841,5 +841,62 @@ Wir benötigen noch zwei Lemmata aus der kommutativen Algebra:
     ersten Absatz.
 \end{proof}
 
+\begin{bsp}[]
+    Sei $A = \mathbb{C}[X]$ und $B = A[Y]/(Y^2 - X)$.  
+    Dann ist $\{1, Y\}$ eine Basis
+    von $B$ über $A$.
+    \begin{proof}
+    $\{1, Y\} $ ist ein Erzeugendensystem von $B$ als $A$-Modul, denn
+    $Y^2 = X$ in $B$.
+    Außerdem folgt für $f, g \in \mathbb{C}[X]$ mit $f + gY = 0$ bereits, dass
+    $f + gY \in (Y^2 - X)$ also existiert ein $h \in \mathbb{C}[X]$ mit $f + gY = h(Y^2 - X)$.
+    Angenommen $g \neq 0$. Dann
+    ist $1 = \text{deg}_Y (f + gY) = \text{deg}_Y(h) + \text{deg}_Y(Y^2 -X) = \text{deg}_Y(h) + 2$.
+    Widerspruch. Also ist $f \in (Y^2 - X)$, aber da $f \in \mathbb{C}[X]$ folgt $f = 0$. Also
+    sind $\{1, Y\}$ linear unabhängig.
+    \end{proof}
+
+    $B$ ist also endlich frei und insbesondere projektiv über $A$. Allerdings ist
+    mit $f = Y^2 - X$
+    \[
+    \Omega_{B / A} = \Omega_{(A[Y] / (f)) / A} \simeq A[Y]/(f, f') = A[Y]/(Y^2 - X, 2Y)
+    = \mathbb{C}[X,Y]/(Y^2 - X, 2Y)
+    .\] Nach Ersetzen von $A$ durch $A_X = \mathbb{C}[X, X^{-1}]$
+    ist $Y^2$ eine Einheit in $B$ und damit auch $Y$. Also ist
+    \[
+    \Omega_{B / A} = B / (2Y) = 0
+    .\] Also $A \to B$ endlich étale. Es ist $[ B : A ] = 2$ und
+    sei $\psi\colon \spec B \to \spec A$ die induzierte Abbildung. Dann ist
+    $\spec A \simeq D(X) \subseteq \spec \mathbb{C}[X]$. Sei $\lambda \in \mathbb{C}^{\times}$
+    und $x_{\lambda} = \mathfrak{p}_{\lambda}$ das von $(X - \lambda)$ erzeugte Maximalideal.
+    Dann folgt
+    \begin{align*}
+    \psi^{-1}(x_{\lambda})
+    &\simeq \spec \kappa(x_{\lambda}) \otimes_A B \\
+    &= \spec A/(X - \lambda) \otimes_{A} A[Y]/(Y^2-X) \\
+    &\simeq \spec A[Y]/(Y^2 - X, X - \lambda) \\
+    &\simeq \spec \mathbb{C}[Y]/(Y^2 - \lambda) \\
+    &= \{ Y - \lambda, Y + \lambda \} 
+    .\intertext{Aber für den generischen Punkt $\xi \in \spec A$ folgt}
+        \psi^{-1}(\xi) &\simeq \spec \kappa(\xi) \otimes_A B \\
+                  &\simeq \spec \mathbb{C}(X) \otimes_A A[Y] / (Y^2 - X) \\
+                  &\simeq \spec \mathbb{C}(X)[Y]/(Y^2 - X)
+    .\end{align*}
+    Das Polynom $(Y^2 - X)$ ist irreduzibel in $\mathbb{C}(X)$ also
+    ist $\mathbb{C}(X)[Y]/(Y^2 - X)$ eine Körpererweiterung vom Grad $2$ von $\mathbb{C}(X)$.
+    Insbesondere ist die Faser $\psi^{-1}(\xi)$ einelementig, also ist
+    $\psi$ keine topologische Überlagerung.
+
+    Es ist weiter
+    \begin{align*}
+        B \otimes_A B &= B \otimes_A A[Z]/(Z^2-X) \\
+                      &= B[Z]/(Z^2-X) \\
+                      &= B[Z] / (Z - Y) (Z + Y) \\
+                      &\simeq B[Z] / (Z - Y) \times B[Z] / (Z + Y)\\
+                      &\simeq B \times B
+    .\end{align*}
+    Also wird $A \to B$ durch Basiswechsel mit $A \to B$ total zerlegbar.
+\end{bsp}
+
 
 \end{document}