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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

@@ -1321,39 +1321,71 @@ und insbesondere die folgenden Ergebnisse:
 
 \subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}
 
-\subsubsection{Linksauflösungen}
+Das Ziel dieses Abschnittes ist es nun Satz \ref{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions}
+zu beweisen. Dazu verallgemeinern wir zunächst die Begriffe K-injektive und K-projektive Auflösungen:
+
+\begin{definition}[Auflösungen]
+    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen aus $\mathcal{K}$. Dann
+    ist eine $\mathcal{J}$-Linksauflösung ein Quasiisomorphismus $\com{J} \to \com{X} $
+    mit $\com{J} \in \mathcal{J}$. Analog ist eine $\mathcal{J}$-Rechtsauflösung
+    ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{J} $ mit $\com{J} \in \mathcal{J}$.
+\end{definition}
 
-Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind
-äquivalent:
+\subsubsection{Linksauflösungen}
 
-% TODO: wirklich notwendig die beschränkung nach oben??
-\begin{enumerate}[(1)]
-    \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine Auflösung $\com{P} \to \com{A} $
-        nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt.
-    \item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
-        $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
-        einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
+Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die folgender Bedingung genügt:
+\begin{enumerate}[(L1)]
+    \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
+        Linksauflösung $\com{P} \to \com{A} $ durch einen nach oben beschränkten
+        Komplex $\com{P} \in \mathcal{P}$.
 \end{enumerate}
 
-\begin{proof}
-    (1) $\implies$ (2): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $n \in \Z$. Dann ist $\tau_{\le n} \com{A}$ nach oben
-beschränkt, also existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ und ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{P} \to \tau_{\le n}\com{A}$. Durch Komposition mit dem natürlichen Komplexhomomorphismus $\tau_{\le n}\com{A} \to \com{A}$ erhalten wir
-ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $.
-Für $i > n$ ist nun $H^{i}(\com{P}) = H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
-$H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = H^{i}(\com{A})$, also induziert $f$ den gewünschten Isomorphismus.
-
-    (2) $\implies$ (1): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{-}$. Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$. Dann
-    existiert für $n = 0$ ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $ mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $f$ induziert
-    $H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und
-    $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
-\end{proof}
+% TODO: beschränktheit notwendig
+%\begin{lemma}[]
+%    Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind äquivalent:
+%    \begin{enumerate}[(i)]
+%        %\item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$
+%        %    hat eine $\mathcal{P}$-Linksauflösung.
+%        \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
+%            Linksauflösung $\com{P} \to \com{A} $ durch einen nach oben beschränkten
+%            Komplex $\com{P} \in \mathcal{P}$.
+%        \item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
+%            $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
+%            einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
+%    \end{enumerate}
+%    \label{lemma:class-compl-cond}
+%\end{lemma}
 
-Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die Eigenschaft (1) erfüllt.
+%\begin{proof}
+%    (ii) $\implies$ (i):
+%    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ nach oben beschränkt.
+%    Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$.
+%    Wähle $n= 0$ in (iii). Dann existiert ein $f\colon \com{P'} \to \com{A} $ mit
+%    $\com{P'} \in \mathcal{P}$ und $f$ induziert
+%    $H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und
+%    $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. Also ist
+%    $f$ ein Quasiisomorphismus.
+%
+%    (i) $\implies$ (ii):
+%    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $n \in \Z$.
+%    Dann ist $\tau_{\le n} \com{A}$ nach oben beschränkt, also existiert
+%    ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ und ein Quasiisomorphismus
+%    $s\colon \com{P} \to \tau_{\le n}\com{A}$. Durch Komposition mit dem natürlichen
+%    Komplexhomomorphismus $\tau_{\le n}\com{A} \to \com{A}$ erhalten
+%    wir ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $. Für $i > n$ ist nun
+%    $H^{i}(\com{P}) = H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
+%    $H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = H^{i}(\com{A})$, also induziert $f$ den gewünschten Isomorphismus.
+%\end{proof}
 
-\begin{bsp}[]
-    Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, können wir $\mathcal{P}$ als die Klasse der nach oben beschränkten
-    Komplexe
-    $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ wählen.
+\begin{bsp}
+    Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, können wir $\mathcal{P}$ als
+    die Klasse
+    der nach oben beschränkten Komplexe $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$
+    projektiv für alle $i \in \Z$ wählen.
+    %Sei $\mathcal{P}$ die Klasse
+    %der nach oben beschränkten Komplexe $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$
+    %projektiv für alle $i \in \Z$. Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, erfüllt
+    %$\mathcal{P}$ die äquivalenten Bedingungen aus \ref{lemma:class-compl-cond}.
 
     Ein solches $\com{P}$ ist K-projektiv, denn: Für alle eingradigen Komplexe $\com{Q}$ mit
     $Q^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ ist $\com{Q} $ nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} K-projektiv. Da
@@ -1367,35 +1399,36 @@ Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die Eigenschaft (1) erfüllt.
     \label{bsp:bounded-above-projectives}
 \end{bsp}
 
-Unser Ziel ist nun für einen gegebenen Komplex $\com{A}$ eine Auflösung nach Links durch einen Komplex
-aus $\mathcal{P}$ zu konstruieren. Dazu schneiden wir den Komplex nach oben ab und lösen schrittweise auf. Das
-folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
-
 \begin{lemma}
-    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n\ge -1}$ und
+    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ und
     ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass
-    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 0$.
+    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 2$.
     \label{lemma:constr-dir-system}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-    Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{-1} = 0$ und $f_{-1} = 0$. Nach (1) existiert ein Quasiisomorphismus
-    $f_0 \colon \com{P}_0 \to \tau_{\le 0}\com{A} $ mit $\com{P}_0 \in \mathcal{P}$.
-
-    Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert mit $\com{P}_i \in \mathcal{K}^{-}$. Dann
-    setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$, $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
+    Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{1} = 0$ und $f_{1} = 0$.
+    Nach (L1) existiert ein Quasiisomorphismus
+    $f_2 \colon \com{P}_2 \to \tau_{\le 2}\com{A}$, wobei $\com{P}_2 \in \mathcal{P}$
+    nach oben beschränkt ist.
+
+    Sei nun $n \ge 3$ und seien $\com{P}_{1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{1}, \ldots, f_{n-1}$
+    konstruiert mit $\com{P}_i$ nach oben beschränkt. Dann
+    setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$ und $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
     $a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
     und $f = a_{n-1}f_{n-1}\colon \com{P} \to \com{B}$. Es gilt dann
     \begin{equation}
         f d_P = d_B f
         \label{eq:f-comp-hom} 
     \end{equation}
-    Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt sind und
-    $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$, existiert mit (1) ein Quasiisomorphismus
-    $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und
-    $\com{Q} $ nach oben beschränkt. Da gradweise
-    $C_f^{i}[-1] = P^{i} \oplus B^{i-1}$ ist $g = (g_i)_{i \in \Z}$ ist $g$ gradweise
-    gegeben durch $g'_i\colon Q^{i} \to P^{i} $ und $g''_i\colon Q^{i} \to B^{i-1}$.
+    Da $\com{B}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt sind und
+    $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$, ist $\com{C}_f$ auch nach oben beschränkt.
+    Also existiert mit (L1) ein Quasiisomorphismus
+    $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1]$ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und
+    $\com{Q} $ nach oben beschränkt. Da
+    $C_f^{i}[-1] = P^{i} \oplus B^{i-1}$ für $i \in \Z$, ist $g$ gradweise
+    gegeben durch Morphismen $g'_i\colon Q^{i} \to P^{i} $ und $g''_i\colon Q^{i} \to B^{i-1}$
+    in $\mathcal{A}$.
 
     Betrachte für $i \in \Z$ das folgende kommutative Diagramm:
     \begin{equation}
@@ -1413,7 +1446,7 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
         \intertext{Also folgt}
         d_{C_f}[-1] &= - d_{C_f} = \begin{pmatrix} -d_{P}[1] & 0 \\ -f[1] & -d_{B} \end{pmatrix} 
     .\end{align*}
-    Auswerten von \eqref{eq:1} in beiden Summanden liefert nun
+    Auswerten der Kommutativität von \eqref{eq:1} in beiden Summanden liefert nun
     \begin{align}
         d_P g' &= g' d_Q \label{eq:g'-comp-hom} \\
         g''d_Q &= -fg' - d_Bg'' \label{eq:g''}
@@ -1448,7 +1481,7 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
             \end{pmatrix}  \\
             &= d_B h
     .\end{salign*}
-    Also ist $h$ Komplexhomomorphismus. Bleibt zu zeigen, dass $h$ ein Quasiisomorphismus
+    Also ist $h$ ein Komplexhomomorphismus. Bleibt zu zeigen, dass $h$ ein Quasiisomorphismus
     ist. Dafür genügt es nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} zu zeigen, dass $\com{C}_h$
     exakt ist. Behauptung: $\com{C}_h = \com{C}_{-g}[1]$.
 
@@ -1511,7 +1544,7 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
                     & Q^{i+1} \arrow{r} & 0
     \end{tikzcd}
     .\]
-    Also ist $(\com{P}_n)_{n \ge -1}$ ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System.
+    Also ist $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System.
     Außerdem ist nach Definition von $h$: $f_n p_{n-1} = h p_{n-1} = f = a_{n-1} f_{n-1}$,
     also kommutiert
     \[
@@ -1520,7 +1553,7 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
         & \com{P}_{n} \arrow{d}{f_n = h} \\
         \tau_{\le n-1}\com{A} \arrow{r}{a_{n-1}} & \tau_{\le n}\com{A}
     \end{tikzcd}
-    \] und $(f_n)_{n \ge -1}$ ist ein direktes System.
+    \] und $(f_n)_{n \in \N}$ ist ein direktes System.
 \end{proof}
 
 Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:
@@ -1528,7 +1561,6 @@ Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:
 \begin{satz}
     Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
     $\colim$ ist exakt.
-
     Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
     $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Linksauflösung.
 
@@ -1555,7 +1587,6 @@ Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:
 \begin{korollar}[]
     Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und
     $\colim$ ist exakt.
-
     Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Linksauflösung.
     \label{satz:existence-k-proj-resolution}
 \end{korollar}
@@ -1567,18 +1598,18 @@ Dieses Lemma können wir nun anwenden, um das zentrale Ergebnis zu zeigen:
 
 \subsubsection{Rechtsauflösungen}
 
-Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Im Folgenden nehmen wir an,
-dass $\mathcal{J}$ die folgende Eigenschaft erfüllt:
+Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Im Folgenden nehmen wir an,
+dass $\mathcal{I}$ die folgende Eigenschaft erfüllt:
 
 \begin{enumerate}[(1)]
     \item Jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine
-        Auflösung $\com{A} \to \com{I} $ nach rechts mit $\com{I} \in \mathcal{J}$ und
+        Auflösung $\com{A} \to \com{I} $ nach rechts mit $\com{I} \in \mathcal{I}$ und
         $\com{I}$ nach unten beschränkt.
 \end{enumerate}
 
 \begin{bsp}
     Falls $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, können wir dual zu Beispiel
-    \ref{bsp:bounded-above-projectives} $\mathcal{J}$ als die Klasse
+    \ref{bsp:bounded-above-projectives} $\mathcal{I}$ als die Klasse
     der nach unten beschränkten Komplexe mit in $\mathcal{A}$ injektiven Objekten wählen.
 \end{bsp}
 
@@ -1586,7 +1617,7 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
 \ref{lemma:constr-dir-system} und \ref{satz:existence-left-resolutions}:
 
 \begin{lemma}[]
-    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{J}$-spezielles
+    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles
     inverses System $(\com{I}_n)_{n \ge -1}$ und ein inverses System von
     Kettenhomomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge-n}\com{A} \to \com{I}_n$, sodass
     $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
@@ -1596,7 +1627,6 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
 \begin{satz}[]
     Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und
     $\lim$ ist exakt.
-
     Dann hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine
     $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$-Rechtsauflösung.
 
@@ -1605,7 +1635,7 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
 
 \begin{bem}
     Leider findet \ref{satz:existence-right-resolutions} in $\mathcal{A} = R\text{-Mod}$ für
-    $R$ ein Ring keine Anwendung, da hier $\lim$ nicht exakt ist.
+    einen Ring $R$ keine Anwendung, da hier $\lim$ nicht exakt ist.
 
     Diese Voraussetzung wird jedoch nur verwendet, um zu zeigen, dass
     $f = \lim f_n\colon \com{A} \to \lim \com{I}_n$ ein Quasiisomorphismus ist.
@@ -1701,6 +1731,10 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
     $n=N$ liefert nun, dass $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist.
 \end{proof}
 
+\begin{bem}[]
+    Damit ist \ref{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions} bewiesen.
+\end{bem}
+
 \newpage
 
 \section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}