diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo4.pdf b/sose2020/theo/uebungen/theo4.pdf index 2d4a885..27060e8 100644 Binary files a/sose2020/theo/uebungen/theo4.pdf and b/sose2020/theo/uebungen/theo4.pdf differ diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo4.tex b/sose2020/theo/uebungen/theo4.tex index 7361de6..959d477 100644 --- a/sose2020/theo/uebungen/theo4.tex +++ b/sose2020/theo/uebungen/theo4.tex @@ -45,7 +45,7 @@ \intertext{Damit folgt für die Hamilton-Funktion, ausgedrückt durch $f'$ statt $p$} H(f, f') &= \frac{f'^2}{\sqrt{2 g f(1+f'^2)} } - \frac{\sqrt{1 + f'^2} }{\sqrt{2gf} } \\ &= - \frac{1}{\sqrt{2 g f (1 + f'^2)}} - \intertext{Wegen $\frac{\partial H}{\partial t}$, folgt für die Konstante $E > 0$} + \intertext{Wegen $\frac{\partial H}{\partial x} = 0$, folgt für die Konstante $E > 0$} E &:= - H = \frac{1}{\sqrt{2 g f(1+f'^2)} } .\end{align*} Damit folgt als DGL diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf b/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf new file mode 100644 index 0000000..20d50ab Binary files /dev/null and b/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf differ diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex b/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex new file mode 100644 index 0000000..4c32238 --- /dev/null +++ b/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex @@ -0,0 +1,159 @@ +\documentclass[uebung]{../../../lecture} + +\title{Theo II: Übungsblatt 5} +\author{Christian Merten} + +\usepackage[]{bbm} + +\begin{document} + +\punkte + +\begin{aufgabe}[] + \begin{enumerate}[a)] + \item Die potentielle Energie ist gegeben als $mgz$, mit $z = R \cos \vartheta$ folgt also + $m g R \cos \vartheta$. Die kinetische Energie hat zwei Komponenten, einmal die Rotation + um $\vartheta$, gegeben als $R^2 \dot{\vartheta}^2$ und die Rotation um die $z$-Achse, die + abhängig ist vom Rotationsradius, also gegeben als $R^2 \omega^2 \sin^2 \vartheta$. + \item Für den kanonisch konjugierten Impuls gilt + \begin{align*} + \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}} + &= M R^2 \dot{\vartheta} =: p_{\vartheta} \\ + \intertext{Damit folgt die Hamilton Funktion} + H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L = \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} + - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta + .\end{align*} + \item Da ein Potential vorliegt, ist die Hamilton-Funktion nach VL gleich der Gesamtenergie. + Sie sind wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ beide zeitlich erhalten. + \item Für die kanonischen Gleichungen folgt + \begin{align*} + \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} + = \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} = \dot{\vartheta} \\ + \frac{\partial H}{\partial \vartheta} &= mR^2 \omega^2 \sin\vartheta \cos \vartheta - mg R \sin\vartheta + = mR\sin\vartheta(R\omega^2 \cos\vartheta - g) = - \dot{p}_{\vartheta} + .\end{align*} + \item + Für stationäre Lösungen gilt $\dot{\vartheta} = 0$, also $p_{\vartheta} = 0$, damit folgt + \begin{align*} + mR \sin\vartheta (R \omega^2 \cos \vartheta -g ) &= 0 + .\end{align*} + Als stationäre Lösungen folgen damit $\vartheta_1 = 0$ und $\vartheta_2 = \pi$, denn dann ist + $\sin\vartheta = 0$. Für $\vartheta_3 = \frac{\pi}{2}$, folgt $- mRg = 0$, dies ist also + nur möglich, falls Masse oder Radius 0 sind. + + Für $R \neq 0$, $m \neq 0$, $\sin\vartheta \neq 0$ und $\omega \neq 0$ folgt + \begin{align*} + \underbrace{\sin\vartheta}_{\neq 0}(R \omega^2 \cos\vartheta - g) &= 0 \\ + \implies R \omega^2 \cos\vartheta - g &= 0 \\ + \implies \vartheta &= \arccos \left( \frac{g}{R\omega^2} \right) + .\end{align*} + Wie zu erwarten ist $\vartheta \xrightarrow{\omega \to \infty} \frac{\pi}{2}$. + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + \begin{enumerate}[a)] + \item Für Lagrange- und Hamiltonfunktion ist + \begin{align*} + L &= T - V = \frac{m}{2} \dot{q}^2 - \frac{m}{2} \omega^2 q^2 = \frac{m}{2} + (\dot{q}^2 + \omega^2q^2) \\ + H &= \dot{q}p - L = \frac{p^2}{m} - \frac{m}{2}\left( \frac{p^2}{m^2} - \omega^2 q^2 \right) + .\end{align*} + \item Die kanonischen Gleichungen sind + \begin{align*} + \frac{\partial H}{\partial p} &= \frac{p}{m} = \dot{q} \\ + \frac{\partial H}{\partial q} &= m \omega^2 q = - \dot{p} + \intertext{In Matrixschreibweise folgt also} + \dot{\vec{y}} &= \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{m} \\ -m\omega^2 & 0 \end{pmatrix}} + _{=: A} + \begin{pmatrix} q \\ p \end{pmatrix} + \intertext{Als Lösung folgt} + \vec{y} &= e^{At} \vec{y_0} \\ + &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^{k}}{k!} \vec{y_0} + \intertext{Mit $A^{2k} = (-1)^{k} \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}^{2k}$ + und $A^{2k+1} = A^{2k} \cdot A = (-1)^{k} \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ + - m \omega & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega & 0 \\ 0 & \omega \end{pmatrix}^{2k+1}$ + folgt} + \vec{y} &= \left(\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(\omega t \mathbbm{1}_2)^{2k}}{(2k)!} + + \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ - m \omega & 0 \end{pmatrix} + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{(\omega t \mathbbm{1}_2)^{2k+1}}{(2k+1)!} \right) + \vec{y}_0 \\ + &= \left( \cos(\omega t) + \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{\omega m} \\ -m\omega & 0 \end{pmatrix} + \sin(\omega t) \right) \vec{y_0} + \intertext{Damit folgt} + q &= q_0 \cos(\omega t) + \frac{p_0}{\omega m} \sin(\omega t) \\ + p &= p_0 \cos(\omega t) - m\omega q_0 \sin(\omega t) + .\end{align*} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[] + \begin{enumerate}[a)] + \item Ansatz: $q(r,t) = R(r) T(t)$. Damit folgt + \begin{align*} + &\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - v^2 \Delta_{(n)} q = 0 \\ + \implies & R \frac{\d[2]T}{\d t^2} - v^2T \Delta_{(n)} R = 0 \\ + \implies & \frac{1}{T} \frac{\d[2] T}{\d t^2} = \text{konst.} = + \frac{v^2}{R} \Delta_{(n)} R =: -c + .\end{align*} + Damit folgt für $T$: + \[ + \frac{\d[2]T}{\d t^2} + cT = 0 + .\] Für $n = 2$ gilt für $R$: + \begin{align*} + &\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + + \frac{1}{r^2} \underbrace{\frac{\partial^2 R}{\partial \varphi^2}}_{= 0} + + \frac{c}{v^2} R = 0 \\ + \implies &\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + + \frac{c}{v^2}R = 0 + .\end{align*} + Für $n = 3$ folgt analog + \begin{align*} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right) + + \frac{c}{v^2}R = 0 + .\end{align*} + \item Sei $c > 0$. Ansatz: $R(r) = \frac{\tilde{R}(r)}{r}$. + Aus der DGL für $R$ folgt + \begin{align*} + &\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\tilde{R} - r \frac{\partial \tilde R}{\partial r^2}}{r^2} \right) + \frac{c}{v^2} \frac{\tilde R }{r} = 0 \\ + \implies &\frac{1}{r} \left( - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r} + + \frac{c}{v^2} \tilde R \right) = 0 \\ + \implies & - \frac{\partial^2 \tilde R}{\partial r^2} + \frac{c}{v^2} \tilde R = 0 \\ + \implies & \tilde{R} = A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) \\ + \implies & R = \frac{A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)}{r} + .\end{align*} + Damit folgt + \[ + q = T \cdot R = \frac{A_0}{r} \cos(\sqrt{c} t - \delta) + \left( A\exp\left(\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right) + B\exp\left(-\sqrt{\frac{c}{v^2}}r\right)\right) + .\] +\end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[Verständnisfragen] + \begin{enumerate}[a)] + \item Die Hamilton-Funktion ist definiert als + \[ + H(q, p) = \dot{q}_i p_i - L + .\] und ist, falls die Kräfte Potentialkräfte sind und nur + zeitunabhängige Zwangsbedingungen vorliegen, gleich der Gesamtenergie des Systems. + + Die kanonischen Gleichungen sind DGL 1. Ordnung, die die Bewegung des Systems im Phasenraum + beschreiben. + \item Wenn von $N$-Massepunkten zu einem kontinuierlichen System übergegangen wird, + geht die Lagrange-Funktion in ein räumliches Integral über eine Lagrange-Dichte über. + \[ + L \to L(q, \dot{q}) = \int_{0}^{l} \text{Lagrange-Dichte} \d x + .\] Die Wirkung ist das Zeitintegral über eine Lagrangefunktion. + \item Die d'Alembertsche Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung + zweiter Ordnung. + \[ + \frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{N} v^2 \frac{\partial^2 q}{\partial x_i^2} = 0 + .\] Allgemein ist die Lösung für zwei beliebige Funktionen $g$ und $h$ gegeben als + \[ + q(x, t) = g(x + vt) + h(x - vt) + ,\] also eine Überlagerung zweier Wellen, wobei $g$ rück- und $h$ vorläufig ist. + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\end{document}