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ws2019/la/uebungen/la5.tex

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+\documentclass{../../../lecture}
+
+\usepackage{enumerate}
+
+\begin{document}
+
+\begin{aufgabe}
+
+Es sei $K$ Körper, $M$ eine Menge und $m_0 \in M$ ein fest gewähltes
+Element. In \\$V = \text{Abb}(M, K)$ betrachten wir die Teilmengen
+$U = \{f \in V  \mid f(m_0) = 0\} $ und
+\\$W = \{f \in V  \mid \forall x, y \in M \colon f(x) = f(y)\} $ 
+
+Zunächst: $K$ ist K-Vektorraum mit $(K, +, 0)$. Damit wird
+$V = \text{Abb}(M, K)$ zum Vektorraum.
+
+\begin{enumerate}[a)]
+    \item Beh.: $U \subset V$ ist Untervektorraum.
+
+        \begin{proof}
+            Seien $f_1, f_2 \in U$, $a \in K$ beliebig. Zu zeigen:
+            $(f_1 + f_2)(m_0) = 0 $ und $(a f_1)(m_0) = 0$.
+            
+            \[
+                (f_1 + f_2)(m_0) = f_1(m_0) + f_2(m_0) = 0 + 0 = 0
+            .\] $\implies (f_1 + f_2) \in U$.
+            \[
+                (a f_1)(m_0) = a f_1(m_0) = a \cdot 0 = 0
+            .\] $\implies (a f_1) \in U$.
+        \end{proof}
+
+        Beh.: $W \subset V$ ist Untervektorraum
+        
+        \begin{proof}
+            Seien $f_1, f_2 \in W$, $a \in K$ und $x, y \in M$ beliebig.
+            Zu zeigen:
+            $(f_1 + f_2)(x) = (f_1 + f_2)(y)$
+            und $(a f_1)(x) = (a f_1)(y)$.
+            \begin{align*}
+                (f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) = f_1(y) + f_2(y)
+                = (f_1 + f_2)(y)
+            .\end{align*}
+            $\implies (f_1 + f_2) \in W$.
+            \[
+                (a f_1)(x) = a f_1(x) = a f_1(y) = (a f_1)(y)
+            .\] $\implies (a f_1) \in W$.
+        \end{proof}
+    \item Beh.: $U \cap W = \{0\} $
+
+        \begin{proof}
+            Sei $f \in U \cap W$ beliebig:
+            \begin{align*}
+                &\forall m \in M \colon f(m) = f(m_0) \land f(m_0) = 0 \\
+                \implies &\forall m \in M \colon f(m) = 0 \\
+                \implies &f = 0
+            .\end{align*}
+        \end{proof}
+    \item Beh.: $V = U + W$
+
+        \begin{proof}
+            Sei $f \in V$ beliebig.
+
+            Zu zeigen: $\exists u \in U, \exists w \in W \colon f = u + w$ 
+
+            Dann wähle $u \in U$, s.d.
+            \[
+                u(m) = \begin{cases}
+                    f(m) - f(m_0) & m \neq m_0 \\
+                    0 & m = m_0
+                \end{cases} 
+            .\] und $w \in W$, s.d.
+            \[
+                w(m) = f(m_0) \text{  } \forall m \in M
+            .\]
+            
+            Damit folgt:
+            \[
+                f(m) = u(m) + w(m) = \begin{cases}
+                    f(m) - f(m_0) + f(m_0) = f(m) & m \neq m_0 \\
+                    0 + f(m_0) = f(m_0) & m = m_0
+                \end{cases}
+            .\] 
+        \end{proof}
+\end{enumerate}
+    
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+
+Es sei $K$ ein Körper,
+$U = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n\}, K\right) $ und
+$V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.
+\begin{align*}
+    \psi\colon V &\to K^{n+2} \\
+    f &\mapsto \left( f(0), f(1), \ldots, f((n+1) \right) \\
+    \partial\colon V &\to U \\
+    f &\mapsto \left( i \mapsto (i + 1) \cdot f(i+1) \right) 
+.\end{align*}
+
+\begin{enumerate}[a)]
+    \item Beh.: $\psi$ ist linear.
+
+        \begin{proof}
+        Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ beliebig.
+        \begin{align*}
+            \psi(v_1 + v_2) &= \left( (v_1+v_2)(0), (v_1 + v_2)(1), \ldots, (v_1+v_2)(n+1) \right) \\
+                            &= \left( v_1(0) + v_2(0), v_1(1) + v_2(1), \ldots, v_1(n+1) + v_2(n+1) \right)  \\
+                            &= \left( v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \right) 
+                            + \left( v_2(0), v_2(1), \ldots, v_2(n+1) \right) \\
+                            &= \psi(v_1) + \psi(v_2)
+        .\end{align*}
+        \begin{align*}
+            \psi(a v_1) &= \left(a v_1(0), a v_1(1), \ldots, a v_1(n+1)\right) \\
+                        &= a (v_1(0), v_1(1), \ldots, v_1(n+1) \\
+                        &= a \psi(v_1)
+        .\end{align*}
+            
+        \end{proof}
+
+        Beh.: $\partial$ ist linear.
+        \begin{proof}
+        Seien $v_1, v_2 \in V$, $a \in K$ und $i \in \{0, 1, \ldots, n\} $ beliebig.
+        \begin{align*}
+            \partial(v_1+v_2)(i) &= (i+1) \cdot (v_1 + v_2)(i+1) \\
+                               &= (i+1) \cdot (v_1(i+1) + v_2(i+1)) \\
+                               &= (i+1)v_1(i+1) + (i+1)v_2(i+1) \\
+                               &= \partial(v_1)(i) + \partial(v_2)(i)
+        .\end{align*}
+        \begin{align*}
+            \partial(a v_1)(i) &= (i + 1)(a v_1)(i+1) \\
+                               &= a (i+1) v_1 (i+1) \\
+                               &= a \partial(v_1)(i)
+        .\end{align*}
+            
+        \end{proof}
+    \item Beh.: $\psi$ ist Isomorphismus.
+        \begin{proof}
+            Zu zeigen: $\psi$ ist bijektiv.
+
+            Seien $v_1, v_2 \in V$ mit $\psi(v_1) = \psi(v_2)$. Dann
+            \begin{align*}
+                &\psi(v_1) = \left( f_1(0), f_1(1), \ldots, f_1(n+1) \right)
+                = \left( f_2(0), f_2(1), \ldots, f_2(n+1) \right) = \psi(v_2)\\
+                \implies& f_1(k) = f_2(k) \text{  }\forall k \in \{0, \ldots, n+1\}  \\
+                \implies& f_1 = f_2
+            .\end{align*}
+            $\implies \psi$ ist injektiv.
+
+            Sei $c = (c_0, \ldots, c_{n+1}) \in K^{n+2}$, dann ex. ein $f \in V$, s.d.
+            \begin{align*}
+                &f(k) = c_k \text{ } \forall k \in \{0, \ldots, n+1\} \\
+                \implies &\psi(f) = c
+            .\end{align*}
+            $\implies \psi$ ist surjektiv.
+        \end{proof}
+    \item Beh.: $\partial$ surjektiv
+        $\iff \text{char}K \notin \{2, \ldots, n+1\} $ 
+
+        \begin{proof}
+            Damit $\partial$ surjektiv ist, muss für alle $u \in U$
+            ein $v \in V$ existieren, s.d. $\partial(v) = u$.
+
+            Sei $u \in U, k \in \{0, \ldots, n\}$ beliebig, dann muss
+            für $v$ gelten:
+            \begin{align*}
+                &\partial(v)(k) = (k + 1) \cdot v(k+1) = u(k)
+            .\end{align*}
+            Dies ist genau dann wohldefiniert, wenn $k+1 \neq 0$, denn genau
+            dann ex. ein Inverses zu $k+1$ und damit:
+            \begin{align*}
+                &v(k+1) = (k+1)^{-1} \cdot u(k)
+            .\end{align*}
+
+            Bleibt zu zeigen: char$K \not\in \{2, \ldots, n+1\} \iff
+            k+1 \neq 0$ $\forall k \in \{0, \ldots, n\} $.
+            \begin{align*}
+                &k + 1 \neq 0 \\
+                \stackrel{k > 0}{\iff} & k + 1 \neq \text{char}K \\
+                \stackrel{0 \le k \le n}\iff & \text{char}K = 0 \lor \text{char}K > n + 1 \\
+                \iff & \text{char}K \not\in \{2, \ldots, n+1\}
+            .\end{align*}
+        \end{proof}
+    \item Beh.: $\psi(\text{ker }\partial) =
+        \left\{ (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}})  \mid c \in K\right\} $
+
+        \begin{proof}
+            Zunächst: $\text{ker }\partial$.
+
+            Damit $r \in V$ im Kern von  $\partial$ liegt, muss gelten:
+            $\partial(r)(k) = 0$ $\forall k \in \{0, \ldots, n\}$
+            \begin{align*}
+                &\partial(r)(k) = (k+1) \cdot r(k+1) \\
+                \stackrel{k+1 \neq 0}{\implies} &r(k+1) = 0
+            .\end{align*}
+            Damit: $r(k) = 0$ $\forall k \in \{1, \ldots, n+1\} $.
+            \begin{align*}
+                \psi(r) &= \left( r(0), r(1), \ldots, r(n+1) \right) \\
+                        &= (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}}) \text{ } \forall c \in K
+            .\end{align*}
+            Das heißt:
+            \[
+            \psi(\text{ker }\partial) = \left\{ (c, \underbrace{0, \ldots, 0}_{n+1\text{-mal}})  \mid c \in K\right\} 
+            .\] 
+        \end{proof}
+\end{enumerate}
+
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}