add ana24

ws2019/ana/lectures/analysis24.tex

@@ -0,0 +1,333 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\usepgfplotslibrary{fillbetween}
+
+\begin{document}
+
+\begin{bsp}
+    \[
+        f(x) = \begin{cases}
+            \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\
+            0 & x = 0
+        \end{cases}
+    .\] auf $I = [0,1]$ ist  $f(x)$ R.-integrierbar.
+    Auf  $I$ hat $f(x)$ eine Unstetigkeit bei $x = 0$.
+
+    Sei $\epsilon > 0$ beliebig. Dann $\exists \delta \in [0,1]$, s.d.
+    \[
+        \sup_{x \in [0,1]} |f(x)| \cdot \delta < \frac{1}{4} \epsilon
+    .\] Auf $[\delta , 1] f(x)$ stetig und R.-integrierbar. Dann
+    ex. eine Zerlegung $Z_{\delta } \in \mathcal{Z}(\delta , 1)$, s.d.
+    \[
+    |\overline{S}_{Z_\delta }(f) - \underline{S}_{Z_\delta }(f)| < \frac{1}{2} \epsilon
+    .\] Ergänze $Z_{\delta }$ um das Intervall $[0, \delta ]$
+    $\implies Z \in \mathcal{Z}(0,1)$. Und es gilt
+    \[
+        |\overline{S}_{Z}(f) - \underline{S}_{Z}(f)|
+        \le | \overline{S}_{Z_\delta }(f) - \underline{S}_{Z_\delta }(f)|
+        + 2 \sup_{x \in [0, \delta ]} |f(x)| \cdot \delta < \epsilon
+    .\] 
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Linearität]
+    Seien $f, g\colon I = [a,b] \to \R$ (beschränkt) R.-integrierbar.
+    Dann ist $\alpha f + \beta g$, $\alpha, \beta \in \R$ über
+    $I$ R.-integrierbar und es gilt
+     \[
+         \int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x) dx =
+         \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx  
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Es ex. $RS_Z(f)$ und $RS_Z(g)$ s.d.
+    \begin{align*}
+        \lim_{h \to 0} RS_Z(f) &=
+        \int_{a}^{b} f(x) dx  \\
+        \lim_{h \to 0} RS_Z(g) &=
+        \int_{a}^{b} g(x) dx 
+    .\end{align*}
+    o.B.d.A. $Z$ und  $\xi_k$ sind gleich für  $f$ und $g$. Damit folgt
+    \begin{align*}
+        RS_Z(\alpha f + \alpha g) &:= RS_Z(\alpha f) + RS_Z(\beta g)
+        = \alpha RS_Z(f) + \beta RS_Z(g) \\
+        \implies \quad \alpha \int_{a}^{b} f(x) dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) dx
+                                  &= \alpha \lim_{h \to 0} RS_Z(f) + \beta \lim_{h \to 0} RS_Z(g) \\
+                                  &= \lim_{h \to 0} (\alpha \cdot RS_Z(f)) +
+        \lim_{h \to 0} (\beta \cdot RS_Z(g)) \\
+                                  &= \lim_{h \to 0} RS_Z(\alpha f) + \lim_{h \to 0} RS_Z(\beta g) \\
+                                  &= \lim_{h \to 0} RS_Z(\alpha f + \beta g) \\
+                                  &= \int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x)dx  \\
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Monotonie des Riemann-Integrals]
+    Seien $f, g\colon I = [a,b] \to \R$ (beschränkte)
+    R.-integrierbare Funktionen mit $g(x) \ge f(x)$ $\forall x \in [a,b]$.
+    Dann gilt
+    \[
+        \int_{a}^{b} g(x) dx \ge \int_{a}^{b} f(x) dx  
+    .\] 
+    \label{satz:riemann-monoton}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Es gilt für Zerlegung $Z$ und $\xi_k \in I_k$ :
+    \begin{align*}
+        RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)(x_k - x_{k-1})
+        \le \sum_{k=1}^{n} g(\xi_k)(x_k - x_{k-1}) = RS_Z(g)
+    .\end{align*} Für $h \to 0$ folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    Sei $f\colon [a,b] \to \R$ (beschr.) R.-integrierbare Funktion,
+    $m \le f(x) \le M$. Dann gilt
+    \begin{align*}
+        m(b - a) \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le M(b-a) 
+    .\end{align*}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    $g \equiv 1 \implies \int_{a}^{b} 1 dx = (b - a)$ Damit folgt
+    \begin{align*}
+        m (b-a) = \int_{a}^{b} m \cdot dx
+        \stackrel{\text{Satz \ref{satz:riemann-monoton}}}{\le}
+        \int_{a}^{b} f(x) dx
+        \le \int_{a}^{b} M dx
+        = M (b-a)
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    Seien $f, g\colon I \to \R$ zwei beschr. R.-integrierbare
+    Funktionen. Dann gilt
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $f_+ := \text{max}\{f, 0\} $ und
+            $f_- := \text{min}\{f, 0\} $ sind R.-integrierbar
+        \item $|f|$ ist R.-integrierbar und es gilt
+             \[
+                 \left| \int_{a}^{b} f(x) dx  \right|
+                 \le  \int_{a}^{b} |f(x)| dx 
+            .\] 
+        \item $\forall p \in [1, \infty)$ ist $|f|^{p}$ R.-integrierbar
+        \item $f \cdot g$ ist R.-integrierbar.
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$.
+            \begin{align*}
+                0 &\le \overline{S}_Z(f_+) - \underline{S}_Z(f_+)
+                \le \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f) \\
+                0 &\le \overline{S}_Z(f_-) - \underline{S}_Z(f_-)
+                \le \overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)
+            .\end{align*}
+            Falls $|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)|
+            \xrightarrow{h \to 0}  0$
+            $\implies$ $|\overline{S}_Z(f_{\pm}) - \underline{S}_Z(f_\pm)
+            | \xrightarrow{h \to 0} 0 \implies$ Beh.
+        \item $|f| = f_+ - f_- \stackrel{\text{Linearität}}{\implies}
+            |f|$ R.-integrierbar.
+            $f \le |f|, - f \le |f| \stackrel{\text{Monotonie}}{\implies}
+            \int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx 
+            \implies \left| \int_{a}^{b} f(x) dx  \right|
+            \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx $.
+        \item Sei $M = \sup_{x \in [a,b]} |f| \stackrel{\text{linear}}{\implies} \frac{|f|}{M}$ integrierbar. $0 \le \frac{|f|}{M} \le 1
+            \implies$ z.Zg.: $|f|^{p}$ integr. für $0 \le f \le 1$.
+
+            Sei $0 \le x \le y \le 1$. Aus dem Mittelwertsatz der
+            Differentialrechnung folgt
+            \begin{align*}
+                y^{p} - x^{p} &= p \cdot \xi^{p-1}(y - x) \\
+                \implies |y|^{p} - |x|^{p} &= p \cdot |\xi|^{p-1}(|y| - |x|)
+                \le p \left( |y| - |x| \right) 
+            .\end{align*}
+            Für $Z \in \mathcal{Z}(0,1)$ gilt
+            \begin{align*}
+                \underbrace{\overline{S}_Z(|f|^{p}) - \underline{S}_Z(|f|^{p})}_{\xrightarrow{h \to 0} 0}
+                \le p \underbrace{(\overline{S}_Z(|f|) - \underline{S}_Z(|f|))}_{ \impliedby \xrightarrow{h \to 0} 0}
+            .\end{align*}
+        \item $f\cdot g = \frac{1}{4}\left( (f+g)^2 - (f-g)^2 \right) $ und
+            c).
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Im Allgemeinen ist
+    \[
+        \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx \neq  \left( \int_{a}^{b} f(x) dx  \right) 
+        \left( \int_{a}^{b} g(x) dx  \right) 
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{korrolar}[Definitheit des R.-Integrals]
+    Sei $f\colon I = [a,b] \to \R$ eine stetige Funktion mit 
+    $f(x) \ge 0$, $x \in [a,b]$. Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \implies f \equiv 0 
+    .\end{align*}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    durch Kontraposition.
+    Sei $f \not\equiv 0$, d.h.  $\exists x_0 \in [a,b]$ mit $f(x_0) > 0$.
+    $\stackrel{f\text{ stetig}}{\implies} \exists I_{\epsilon}
+    := [x_0, x_0 + \epsilon]$ oder $I_{\epsilon} := [x_0 - \epsilon, x_0]$, s.d.
+    $f(x) \ge \delta  > 0$ $\forall x \in I_{\epsilon}$.
+
+    Sei $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit $h$ klein genug, s.d.
+    für ein  $k$  $I_k \subset I_{\epsilon}$. Dann gilt
+    \begin{align*}
+        0 &< \delta (x_{k} - x_{k-1}) \le
+        \inf_{x \in I_k} f(x) (x_k - x_{k-1})
+          \le \underline{S}_Z(f) \le \int_{a}^{b} f(x) dx 
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Sei $a \le b$ Dann ist
+    \begin{align*}
+        \int_{b}^{a} f(x) dx &:= - \int_{a}^{b} f(x) dx \\
+        \int_{a}^{a} f(x) dx &:= 0 
+    .\end{align*}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[1. Mittelwertsatz]
+    Sei $f\colon I = [a,b] \to \R$ stetig, $g \colon I \to \R$
+    R.-integrierbar. $g$ habe in $I$ keinen Vorzeichenwechsel.
+    Dann $\exists \xi \in [a,b]$ s.d. gilt
+    \[
+        \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx = f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) dx 
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $g \ge 0$ (o.B.d.A.). $f$ stetig
+    $\implies$ $\exists m = \min_{x \in I} f(x)$, $M = \max_{x \in I} f(x)$.
+    Dann folgt
+    \begin{align*}
+        m \int_{a}^{b} g(x) dx \le \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx
+        \le M \int_{a}^{b} g(x) dx 
+    .\end{align*}
+    Betrachte $\varphi(t) := (m (1-t) + M \cdot t) \int_{a}^{b} g(x) dx $,
+    $t \in [0,1]$. Nach ZWS $\exists \theta \in [0,1]$, s.d.
+    \begin{align*}
+        \varphi(\theta) &= y = (m(1-\theta) + M\cdot \theta) \int_{a}^{b} g(x) dx  \\
+        \varphi(0) &\le y \le \varphi(1) \\
+        m \int_{a}^{b} g(x) dx &\le y \le M \int_{a}^{b} g(x) dx \\
+        \implies \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx &= \mu \int_{a}^{b} g(x) dx  
+    .\end{align*} Nach dem ZWS für $f$ $\exists \xi \in [a,b]$, s.d.
+    $f(\xi) = \mu \in [m, M]$.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}
+    Sei $f\colon I \to \R$ stetig.
+    \begin{enumerate}
+        \item $\exists \xi \in I$, s.d. $\int_{a}^{b} f(x) dx = 
+            f(\xi)(b-a)$
+        \item Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetig mit $m \le f(x) \le M$.
+            $x \in I$. Sei $g\colon I \to \R$ R.-integrierbar mit $g \ge 0$.
+            Dann gilt
+            \[
+                m \int_{a}^{b} g(x) dx \le \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx
+                \le M \int_{a}^{b} g(x) dx 
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{bem}
+    Voraussetzungen sind unverzichtbar!
+
+    Stetigkeit: $f(x) = \begin{cases}
+        0 & 0 \le x < 1 \\
+        1 & 1 \le x \le 2
+    \end{cases}$ unstetig.
+    \begin{align*}
+         f(\xi)(b-a) = f(\xi) \cdot 2 = \begin{cases}
+            0 & 0 \le \xi < 1 \\
+            2 & 1 \le \xi \le 2
+        \end{cases} \neq  1 = \int_{0}^{2} f(x) dx
+    .\end{align*}
+
+    Positivität: $f(x) = x$, $g(x) = \begin{cases}
+        -1 & 0 \le x < 1 \\
+        1 & 1 \le x \le 2
+    \end{cases}$.
+    \begin{align*}
+        \int_{0}^{1} f(x) g(x) dx = \int_{0}^{1} (-x) dx
+        + \int_{1}^{2} x dx
+        = - \left( \frac{1}{2} - 0 \right)  + \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = 1
+    .\end{align*} aber
+    \begin{align*}
+        \xi \cdot \int_{0}^{2} g(x) dx = \xi \cdot 0 = 0 \quad \forall \xi \in [0,2] 
+    .\end{align*}
+\end{bem}
+
+\subsection{Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung}
+
+\begin{satz}[Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung]
+    Es sei $a < b$,  $f \colon [a,b] \to \R $ stetig.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Die Funktion $F_0 \colon [a,b] \to \R$ definiert durch
+            $F_0(x) := \int_{a}^{x} f(t) dt $ ist
+            stetig differenzierbar auf $[a,b]$ und
+             \[
+                 F_0'(x) = f(x) \quad x \in [a,b] \quad (*)
+             .\] 
+             Jede Funktion $F \in C^{1}([a,b], \R)$ welche $(*)$ erfüllt,
+             heißt Stammfunktion von $f$.
+        \item Jede Stammfunktion $F$ von $f$ hat die Form
+            \[
+                F(x) = C + \int_{a}^{x} f(t) dt = C + F_0(x) 
+            .\] 
+        \item Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt
+            \[
+                \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a) \; \text{d.h. insb.}
+                \; \int_{a}^{b} F'(t) dt = F(b) - F(a)
+                \quad \forall F \in C^{1}([a,b], \R)
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item 
+    Für $h \neq 0$, $x \in [a,b]$
+    \begin{align*}
+        \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h}
+        = \frac{1}{h} \left( \int_{a}^{x+h} f(t) dt
+        - \int_{a}^{x} f(t) dt \right)
+        = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt 
+        \quad \stackrel{\text{1. MWS}}{=}
+        \quad \frac{1}{h} f(\xi_h) \cdot h
+        \xrightarrow[h \to 0]{f\text{ stetig}} f(x) \\
+        \implies F_0'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h} = f(x)
+    .\end{align*}
+        \item Sei $F$ eine Stammfunktion ovn $f$, dann gilt
+            $(F - F_0)' = f - f = 0
+            \stackrel{\text{MWS Diff.}}{\implies} F - F_0 \equiv
+            \text{konstant} = C \implies F = F_0 + C$ für ein $C \in \R$.
+        \item $F(b) - F(a) \stackrel{\text{(b)}}{=} F_0(b) - F_0(a)
+            = \int_{a}^{b} f(t) dt $
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item $F(b) - F(a) =: F(x) \Big|_a^b$
+            $\implies \int_{a}^{b} F'(t) dt = F(x) \Big|_a^b $.
+
+            Man bezeichnet eine Stammfunktion auch als unbestimmtes Integral
+            \[
+                F(x) = \int f(x) dx
+            .\] (math. nicht korrekte Bezeichnung)
+        \item Integration und Differentiation sind inverse zu einander
+            \begin{align*}
+                \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) \\
+                F(x) = F(a) + \int_{a}^{x} F'(t) dt 
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\end{document}

ws2019/la/uebungen/la12.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{align*}
+    \left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & -0.5\\0 & -2 & 6 & 6\\0 & 0 & -6 & -15\\0 & 0 & 0 & 10\end{matrix}\right]
+\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0.333333333333333 & 2.22044604925031 \cdot 10^{-16} & 4.44089209850063 \cdot 10^{-16}\\0 & 0 & 0.200000000000001 & 3.33066907387547 \cdot 10^{-15}\\0 & 0 & 1.33226762955019 \cdot 10^{-15} & 0.0357142857142889\end{matrix}\right]
+.\end{align*}
+
+sympy integrate((-1+6*x+6*x^2)*(-0.5 +6*x + -15*x^2 + 10*x^3), (x, 0, 1)) sympy
+
+\end{document}