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ws2020/ana/uebungen/ana2.tex

@@ -243,10 +243,29 @@
                         \[
                             1 = \nu(E) \le \underbrace{\nu(E \cap A)}_{\le 1} + \underbrace{\nu(E \cap A^{c})}_{=0}
                             \implies \nu(E \cap A) = 1  \implies A \in \mathscr{M}
-                        .\] Also insgesamt $F \subseteq M$.
+                        .\] Also insgesamt $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{M}$.
                 \end{itemize}
             \end{proof}
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\begin{aufgabe}
+    Beh.: $\mu$ ist ein Maß.
+    \begin{proof}
+        \begin{enumerate}[(i)]
+            \item $\mu(\emptyset) = 0$, denn $\#(\emptyset \cap \{1, \ldots, n\}) = 0$ $\forall n \in \N$.
+            \item Sei $A_i \in \mathscr{P}(\N)$ für $i \in \N$ und $A_i \cap A_j = \emptyset$ für $i\neq j$.
+                Dann gilt
+                \begin{salign*}
+                    \mu\left( \bigcupdot_{i \in  \N} A_i  \right)
+                    &= \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# \left( \bigcupdot_{i \in \N} A_i \cap \{1, \ldots, n\}  \right)  \\
+                    &= \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# \left( \bigcupdot_{i \in \N} (A_i \cap \{1, \ldots, n\} ) \right)  \\
+                    &\stackrel{\text{disj. Ver.}}{=} \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i \in \N} \#(A_i \cap \{1, \ldots, n\}) \\
+                    &= \sum_{i \in \N} \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \#(A_i \cap \{1, \ldots, n\}) \\
+                    &= \sum_{i \in \N} \mu(A_i)
+                .\end{salign*}
+        \end{enumerate}
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}