Compare commits
2
Commits
| Author | SHA1 | Date | |
|---|---|---|---|
 christian
|
82c3e84806 | ||
|
christian
|
9cb5baebbd |
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,277 @@
|
||||
\documentclass[uebung]{../../../lecture}
|
||||
|
||||
\title{Algebra I: Übungsblatt 11}
|
||||
\author{Lukas Nullmeier, Christian Merten}
|
||||
\usepackage[]{gauss}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\punkte
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Es ist $L$ Zerfällungskörper von $f$ über $K$, also $L / K$ normal.
|
||||
Außerdem ist $f$ irreduzibel und $f' = n x^{n-1}$ und $\text{char }K \nmid n$ also
|
||||
$f' \neq 0$. Also $f$ separabel. Also sind die Nullstellen von $f$ separabel und
|
||||
da $L$ von den Nullstellen von $f$ über $K$ erzeugt, folgt $L / K$ separabel,
|
||||
insgesamt also galoissch.
|
||||
|
||||
Sei nun $b \in L$ eine Nullstelle von $f$ und $\mu_n = \{\zeta_1, \ldots, \zeta_n\} $.
|
||||
Diese sind paarw. verschieden.
|
||||
Setze nun $\alpha_k \coloneqq \zeta_k b$. Dann
|
||||
ist für $k \in \{1, \ldots, n\} $:
|
||||
\[
|
||||
f(\alpha_k) = (\zeta_k b)^{n} - a = \zeta_k^{n} b^{n} - a = b^{n} - a = 0
|
||||
.\] Das heißt $\alpha_k$ sind Nullstellen von $f$ und
|
||||
paarweise verschieden (Ang. es gäbe $i \neq j$ mit $\alpha_i = \alpha_j \implies \zeta_i =
|
||||
\zeta_j$ $\contr$), also sind die $n$ Nullstellen von $f$ genau die $(\alpha_k)_{k=1}^{n}$.
|
||||
Da $\mu_n \subseteq K$ folgt $\alpha_k \in K(b)$ $\forall k \in \{1, \ldots, n\} $, also
|
||||
$L = K(b)$.
|
||||
\item Sei $\beta \in L$ eine Nullstelle von $f$. Dann sind analog zu (a)
|
||||
$\alpha_k = \zeta_k \beta$ die Nullstellen von $f$.
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Z.z.: $\psi$ wohldefiniert.
|
||||
Seien $b, b'$ Nullstellen von $f$. Dann ex. $i, j \in \{ 1, \ldots, n\} $, s.d.
|
||||
$b = \zeta_i \beta$ und $b' = \zeta_j \beta$. Dann folgt
|
||||
\[
|
||||
\frac{\sigma(b)}{b} = \frac{\sigma(\zeta_i \beta)}{\zeta_i \beta}
|
||||
= \frac{\zeta_i \sigma(\beta)}{\zeta_i \beta}
|
||||
= \frac{\sigma(\beta)}{\beta}
|
||||
= \frac{\zeta_j \sigma(\beta)}{\zeta_j \beta}
|
||||
= \frac{\sigma(\zeta_j \beta)}{ \zeta_j \beta}
|
||||
= \frac{\sigma(b')}{b'}
|
||||
.\]
|
||||
\item Z.z.: $\psi$ Gruppenhomomorphismus
|
||||
Seien $\sigma, \tau \in \text{Gal}(L / K)$. Dann ex. ein $i \in \{ 1, \ldots, n\}$,
|
||||
s.d. $\tau(\beta) = \alpha_i$. Dann gilt
|
||||
\[
|
||||
\psi(\sigma \circ \tau) = \frac{\sigma \circ \tau(\beta)}{\beta}
|
||||
= \frac{\sigma(\zeta_i \beta)}{\beta}
|
||||
= \frac{\beta \zeta_i \sigma(\beta)}{\beta^2}
|
||||
= \frac{\tau(\beta)}{\beta} \frac{\sigma(\beta)}{\beta}
|
||||
.\]
|
||||
\item Z.z.: $\psi$ injektiv.
|
||||
Sei $\sigma \in \text{Gal}(L / K)$ mit $\psi(\sigma) = 1$. Dann ex.
|
||||
ein $i \in \{1, \ldots, n\} $, s.d. $\sigma(\beta) = \alpha_i$. Damit folgt
|
||||
\[
|
||||
1 = \psi(\sigma) = \frac{\sigma(\beta)}{\beta}
|
||||
= \frac{\zeta_i \beta}{\beta} = \zeta_i
|
||||
.\] Also $\sigma(\beta) = \beta$. Da $L / K$ von $\beta$ erzeugt wird, legt
|
||||
$\sigma(\beta)$ $\sigma$ eindeutig fest, d.h. $\sigma = \text{id}$.
|
||||
\item Z.z.: $\text{Bild}(\psi) = \mu_n$. Sei $\sigma \in \text{Gal}(L / K)$. Dann
|
||||
ex. ein $i \in \{1, \ldots, n\} $, s.d. $\sigma(\beta) = \zeta_i \beta$. Also
|
||||
\[
|
||||
\psi(\sigma) = \frac{\sigma(\beta)}{\beta} = \frac{\zeta_i \beta}{\beta} = \zeta_i \in \mu_n
|
||||
.\] Also folgt $\text{Bild}(\psi) \subseteq \mu_n$. Da
|
||||
$L = K(\beta)$ und $f$ Mipo von $\beta$, folgt $[L : K ] = n$, also
|
||||
$\# \text{Gal}(L / K) = n$. Da $\psi$ injektiv, ist
|
||||
also $\#\text{Bild}(\psi) = n$ und da $\# \mu_n = n$ folgt
|
||||
$\text{Bild}(\psi) = \mu_n$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Damit ist also $\text{Gal}(L / K) \stackrel{\sim }{=} \mu_n$. Da $\mu_n$ zyklisch, folgt
|
||||
$\text{Gal}(L / K)$ zyklisch.
|
||||
\item Betrachte $K = \Q$, $f = X^{4} - 2$. Dann ist $f$ irred. nach Eisenstein und
|
||||
nach Blatt 5 ist $L = \Q(\sqrt[4]{2}, i)$ und $\text{Gal}(L / \Q) \stackrel{\sim }{=} D_4$,
|
||||
aber $D_4$ ist nicht abelsch, insbesondere nicht zyklisch.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Zunächst beachte:
|
||||
\[
|
||||
\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \in \text{GL}_2(\mathbb{F}_p)
|
||||
\iff \begin{gmatrix}[v] a & b \\ 0 & d \end{gmatrix} = ad \neq 0
|
||||
\quad \stackrel{\mathbb{F}_p \text{ nullt.frei.}}{\iff} \quad a \neq 0 \land d \neq 0
|
||||
.\] Damit ist
|
||||
\[
|
||||
G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \in M_{2,2}(\mathbb{F}_p) \;
|
||||
\Big| \;a, b, d \in \mathbb{F}_p, a \neq 0 \neq d \right\}
|
||||
.\] Damit folgen
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
G\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \; \Big| \; a, b, d \in \mathbb{F}_p, a\neq 0 \neq d\right\} \\
|
||||
&= \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \\
|
||||
G\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
|
||||
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \; \Big| \; a, b, d \in \mathbb{F}_p, a\neq 0 \neq d\right\} \\
|
||||
&= \left\{ \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \; \Big| \; a \in \mathbb{F}_p^{\times } \right\} \\
|
||||
G\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} &= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; \Big| \; a, b, d \in \mathbb{F}_p, a\neq 0 \neq d\right\} \\
|
||||
&= \left\{ \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} \; \Big| \; b, d \in \mathbb{F}_p, d \neq 0\right\}
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Es ist $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \not\in G\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
|
||||
\cup G \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $
|
||||
und $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \not\in G\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $. Da
|
||||
$V$ in die disjunkte Vereinigung der Bahnen zerfällt, sind also
|
||||
$G \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, G \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},
|
||||
G \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ paarw. verschieden.
|
||||
|
||||
Sei nun $x \in V$ beliebig. Dann ex. $a, b \in \mathbb{F}_p$ mit $x = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $.
|
||||
Falls $a = b = 0$, dann folgt $x \in G \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $.
|
||||
|
||||
Falls $b \neq 0$. Dann ist
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & b \end{pmatrix}}_{\in G}
|
||||
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
|
||||
= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = x
|
||||
\implies x \in G \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
|
||||
.\] Falls $b = 0$, dann ist $a \neq 0$ und es gilt
|
||||
\[
|
||||
\underbrace{\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\in G}
|
||||
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} = x
|
||||
\implies x \in G \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
|
||||
.\] Das zeigt die Behauptung.
|
||||
\item Seien nun $x_1 \coloneqq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $, $x_2 \coloneqq \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} $ und $x_3 \coloneqq \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $.
|
||||
Es ist offensichtlich $G_{x_1} = G$.
|
||||
|
||||
Es gilt
|
||||
\[
|
||||
\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
|
||||
= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}
|
||||
= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \iff a = 1
|
||||
.\] Also folgt
|
||||
\[
|
||||
G_{x_2} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \in M_{2,2}(\mathbb{F}_p)
|
||||
\; \Big| \; a,b, d \in \mathbb{F}_p, d \neq 0, a = 1 \right\}
|
||||
.\] Weiter gilt
|
||||
\[
|
||||
\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
|
||||
= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \iff \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}
|
||||
= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \iff b = 0 \land d = 1
|
||||
.\] Also folgt
|
||||
\[
|
||||
G_{x_3} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \in M_{2,2}(\mathbb{F}_p)
|
||||
\; \Big| \; a,b, d \in \mathbb{F}_p, a \neq 0, b = 0, d=1 \right\}
|
||||
.\]
|
||||
\item Für die Bahnen siehe Vorbemerkung.
|
||||
Es ist ebenfalls nach Vorbemerkung $\# G = (p-1)^2 p$. Mit (b) folgt nun:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item $\#(G x_1 )= 1$ und $\#G_{x_1} = \#G$, also $\# G_{x_1} \#(G x_1) = \#G$.
|
||||
\item $\#(G x_2) = p-1$ und $\#G_{x_2} = p(p-1)$, also
|
||||
$\# G_{x_2} \#(G x_2) = (p-1)^2 p = \#G$.
|
||||
\item $\#(G x_3) = p(p-1)$ und $\# G_{x_3} = p-1$, also
|
||||
$\# G_{x_3} \#(G x_3) = (p-1)^2 p = \# G$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\item Es ist nach Lagrange
|
||||
\[
|
||||
(G : G_x) = \frac{\# G}{\# G_x} = \frac{(p-1)^2 p}{\# G_x}
|
||||
.\] Also folgt durch Einsetzen der Ergebnisse aus (c):
|
||||
$(G : G_{x_1}) = 1$, $(G : G_{x_2}) = p-1$ und $(G : G_{x_3}) = (p-1)p$. Damit folgt
|
||||
\[
|
||||
1 + (p-1)p + p-1 = 1 + p^2 -p +p -1 = p^2 = \#V
|
||||
.\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Sei $G$ endlich mit $\#G = 2020$. Dann
|
||||
ist $2020 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 101$. Da $101 \mid \#G$, ex.
|
||||
ein $a \in G$ mit $\text{ord}(a) = 101$, also $H \coloneqq \langle a \rangle$
|
||||
ist $101$-Gruppe und $101 \nmid 2^2 \cdot 5 = (G : H)$, also
|
||||
$H$ $101$-Sylowgruppe. Sei $s$ die Anzahl der $101$-Sylowgruppen. Nach Sylowsätzen gilt
|
||||
nun $s \mid \#G$ und $s \equiv 1 \text{ mod 101}$. Da aber $2^2 \cdot 5 < 101$ sind
|
||||
alle Teiler $t \neq 1$ von $2020$ mit $101 \nmid 101$, bereits $t \not\equiv 1 \text{ mod } 101$.
|
||||
Also folgt $s = 1$.
|
||||
|
||||
Da alle $101$-Sylowgruppen zueinander konjugiert sind, gilt für $g \in G$: $gHg^{-1} = H$.
|
||||
Also ist $H$ Normalteiler in $G$. Außerdem ist $\# H = 101$, also $H \stackrel{\sim }{=} \Z / 101 \Z$,
|
||||
insbesondere abelsch.
|
||||
\item Sei $G$ endlich mit $\#G = 2021$.
|
||||
Es ist $2021 = 43 \cdot 47$. Da $43 < 47$ und $43 \nmid 46 = 47 - 1$ folgt nach VL, dass
|
||||
$G$ zyklisch ist und damit $G \stackrel{\sim }{=} \Z / 2021 \Z$.
|
||||
\item Sei $G$ endlich mit $\#G = 36 = 2^2 \cdot 3^2$. Sei $s$ die Anzahl der
|
||||
$3$-Sylowgruppen. Es ist $s \mid \#G$ und $s \equiv 1 \text{ mod }3$, also
|
||||
folgt $s \in \{1, 4\} $, da $2 \equiv 2 \text{ mod }3$.
|
||||
Falls $s = 1$: Wende Argument aus (a) an.
|
||||
|
||||
Falls $s = 4$: Dann sei $X$ die Menge der $3$-Sylowgruppen auf denen $G$ mittels Konjugation
|
||||
wirkt. Es ist dann $\#X = 4$ und
|
||||
$\forall H \in X$ ist $\#H = 9$, also $\{1\} \neq H \neq G$.
|
||||
Sei $\varphi\colon G \to \mathfrak{S}(X)
|
||||
\stackrel{\sim }{=} \mathfrak{S}_4$, der zur Konjugationswirkung assoziierte
|
||||
Gruppenhomomorphismus. Da
|
||||
\[
|
||||
\# \mathfrak{S}_4 = 4! = 24 < 36 = \#G
|
||||
\]
|
||||
folgt $\text{ker } \varphi \neq \{1\}$.
|
||||
Falls $\varphi(G) = \{\text{id}\} $: Dann
|
||||
ist für $H \in X$ und $g \in G$:
|
||||
\[
|
||||
g H g^{-1} = H^{g} = \varphi(g)H = H
|
||||
.\]
|
||||
Also $H$ nicht-trivialer
|
||||
Normalteiler in $G$.
|
||||
Sei nun $\#\varphi(G) > 1$: Da $G / \text{ker }\varphi \stackrel{\sim }{=} \varphi(G)$, folgt
|
||||
$\# \varphi(G) \# \text{ker } \varphi = \#G$. Da $\#\varphi(G) > 1$,
|
||||
folgt also $\# \text{ker }\varphi < 36$, also insgesamt $G \neq \text{ker } \varphi \neq \{1\} $.
|
||||
Damit ist $\text{ker } \varphi$ nicht-trivialer Normalteiler in $G$.
|
||||
|
||||
%Es ist $\#X = s = 4 = 1 + 3 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2$. Nach Bahnengleichung
|
||||
%ex. also entweder eine Bahn der Kardinalität $4$,
|
||||
%mindestens eine Bahn der Kardinalität $1$ oder zwei Bahnen der Kardinalität $2$.
|
||||
|
||||
%Falls es nur eine Bahn der Kardinalität $4$ gibt, dann gibt es insbesondere
|
||||
|
||||
%Falls es mindestens eine Bahn der Kardinalität $1$ gibt, dann ex. ein $H \in X$, s.d.
|
||||
%$GH = \{H\} $. Dann ist aber $H \in \text{Fix}_{G}(X)$ und damit ist nach VL
|
||||
%$H \neq \{1\}$ Normalteiler in $G$.
|
||||
|
||||
%Falls es eine Bahn der Kardinalität $2$ gibt, dann sein $H \in X$ ein
|
||||
%Vertreter dieser Bahn. Dann gilt $2 = \#(GH) = (G : G_{H})$. Also
|
||||
%ist $G_H \neq \{1\}$ Normalteiler in $G$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
\begin{enumerate}[(a)]
|
||||
\item Sei $(x_1 \ldots x_r)$ ein $r$-Zykel in $\mathfrak{S}_n$ und $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ beliebig.
|
||||
Sei $x \in \{1, \ldots, n\} $.
|
||||
|
||||
Falls es ex. ein $i \in \{1, \ldots, r\} $ mit $\sigma ^{-1}(x) = x_i $, dann
|
||||
ist $\sigma(x_i) = x$ und $(x_1 \ldots x_r) x_i = x_{i+1}$ mit $x_{r+1} \coloneqq x_1$. Dann
|
||||
gilt
|
||||
\[
|
||||
\sigma(x_1 \ldots x_r) \sigma ^{-1}(x) = \sigma (x_1 \ldots x_r) x_i
|
||||
= \sigma(x_{i+1})
|
||||
= (\sigma(x_1) \ldots \sigma(x_r))\sigma(x_i)
|
||||
= (\sigma(x_1) \ldots \sigma(x_r))x
|
||||
.\]
|
||||
|
||||
Falls $\sigma ^{-1}(x) \not\in \{x_1, \ldots, x_r\} $, dann
|
||||
ist $x \not\in \{ \sigma(x_1), \ldots, \sigma(x_r)\} $ und
|
||||
\[
|
||||
\sigma(x_1 \ldots x_r) \sigma ^{-1}(x) = \sigma \sigma ^{-1}(x) = x
|
||||
= \left( \sigma(x_1) \ldots \sigma(x_r) \right) x
|
||||
.\]
|
||||
\item Für ein Produkt aus zwei $2$-er Zykeln gilt für $\sigma \in \mathfrak{S}_n$:
|
||||
\[
|
||||
\sigma (x_1 x_2) (x_3 x_4) \sigma ^{-1}
|
||||
= \sigma (x_1 x_2) \sigma ^{-1} \sigma (x_3 x_4) \sigma ^{-1}
|
||||
\stackrel{\text{(a)}}{=} (\sigma(x_1) \sigma(x_2)) (\sigma(x_3) \sigma(x_4))
|
||||
.\] Also ist ein Produkt aus zwei $2$-er Zykeln nach Konjugation wieder
|
||||
ein Produkt aus zwei $2$-er Zykeln. Außerdem ist, falls
|
||||
$x_1, \ldots, x_4$ paarweise verschieden, auch $\sigma(x_1), \ldots, \sigma(x_4)$ paarweise
|
||||
verschieden, da $\sigma$ injektiv.
|
||||
Außerdem gilt $\sigma \text{id} \sigma ^{-1} = \text{id}$.
|
||||
|
||||
Da
|
||||
$\mathfrak{V}_4$ gerade aus $\text{id}$ und allen Produkten aus
|
||||
zwei $2$-er Zykeln mit paarweise verschiedenen Einträgen besteht,
|
||||
folgt $\sigma \mathfrak{V}_4 \sigma ^{-1} = \mathfrak{V}_4$, also
|
||||
$\mathfrak{V}_4$ Normalteiler in $\mathfrak{S}_4$.
|
||||
\item Es ist $1 \triangleleft \mathfrak{V}_4$ trivial und
|
||||
$\# \mathfrak{V}_4 / 1 = \# \mathfrak{V}_4 = 4 = 2^2$, also $\mathfrak{V}_4 / 1 $ abelsch.
|
||||
|
||||
Da $\mathfrak{V}_4 \triangleleft \mathfrak{S}_4$ und $\text{sgn}(\sigma) = 1$
|
||||
$\forall \sigma \in \mathfrak{V}_4$ folgt $\mathfrak{V}_4 \triangleleft \mathfrak{A}_4$. Da
|
||||
$\# \mathfrak{A}_4 = \frac{4!}{2} = 12$ folgt $\# \mathfrak{A}_4 / \mathfrak{V}_4 = 3$,
|
||||
also $\mathfrak{A}_4 / \mathfrak{V}_4$ abelsch.
|
||||
|
||||
Da $\mathfrak{A}_4 = \text{ker } \text{sgn}$ ist $\mathfrak{A}_4 \triangleleft \mathfrak{S}_4$
|
||||
und $\# \mathfrak{S}_4 / \mathfrak{A}_4 = 2$, also $\mathfrak{S}_4 / \mathfrak{A}_4$ abelsch.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,177 @@
|
||||
\documentclass[uebung]{../../../lecture}
|
||||
|
||||
\title{Analysis 3: Übungsblatt 10}
|
||||
\author{Leon Burgard, Christian Merten}
|
||||
\usepackage[]{mathrsfs}
|
||||
\newcommand{\tageq}{\stepcounter{equation}\tag{\theequation}}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
|
||||
\punkte
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Sei $\emptyset \neq \Omega \subseteq \R^{n}$.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item ,,$\implies$'': Sei $\Omega $ $n$-dimensionale $C^{1}$-Mannigfaltigkeit der
|
||||
Dimension $n$ und $x \in M$ beliebig. Dann ex. eine Umgebung $\Omega \subseteq \R^{n}$ von
|
||||
$x$ und eine Abbildung $f \in C^{1}(\Omega, \R^{0})$, mit
|
||||
$f^{-1}(0) = M \cap \Omega$. Da $\R^{0} = \{0\} $ folgt
|
||||
\[
|
||||
M \cap \Omega = f^{-1}(0) = \Omega
|
||||
.\] Also folgt $\Omega \subseteq M$. Da $\Omega$ Umgebung, ex. ein $\epsilon > 0$, s.d.
|
||||
$B_{\epsilon}(x) \subseteq \Omega \subseteq M$. Da $x$ beliebig, folgt $M$ offen.
|
||||
\item ,,$\impliedby$'': Sei $\Omega$ offen und $x \in M$ beliebig. Dann $\exists \epsilon > 0$, s.d.
|
||||
$B_{\epsilon}(x) \subseteq M$. Setze $\Omega \coloneqq B_{\epsilon}(x)$. Dann ist
|
||||
$\Omega \subseteq \R^{n}$ eine Umgebung von $x$. Setze weiter
|
||||
$f\colon \Omega \to \R^{0}, x \mapsto 0$. Dann ist $f$ konstant, insbesondere
|
||||
$f \in C^{1}(\Omega, \R^{0})$ und $f^{-1}(0) = \Omega = M \cap \Omega$, da $\Omega \subseteq M$.
|
||||
Außerdem ist $Df(x) = 0$ $\forall x \in \Omega$, also $\text{rang} Df(x) = 0 = n - n$
|
||||
$\forall x \in \Omega$. Also $M$ $C^{1}$-Mannigfaltigkeit der Dimension $n$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
\begin{enumerate}[a)]
|
||||
\item Sei $x \in S^{n-1}$. Dann setze $\Omega \coloneqq \R^{n} \setminus \{0\} $. Dann
|
||||
ist $\Omega$ offen, da $\Omega^{c} = \{0\} $ abgeschlossen in $\R^{n}$. Außerdem
|
||||
ist $x \neq 0$, also $x \in \Omega$ und damit $\Omega$ Umgebung von $x$.
|
||||
|
||||
Setze weiter $f\colon \Omega \to \R$ mit $g(x) \coloneqq |x| -1$. Dann
|
||||
gilt, da $0 \not\in S^{n-1}$:
|
||||
\[
|
||||
f^{-1}(0) = \{ x \in \R^{n} \mid |x| = 1\}
|
||||
= S^{n-1} = S^{n-1} \cap (\R^{n} \setminus \{0\} ) = S^{n-1} \cap \Omega
|
||||
.\]
|
||||
Außerdem ist für $x \in \Omega$: $f(x) = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} x_k} - 1$ als
|
||||
Komposition differenzierbarer Abbildungen differenzierbar auf $\Omega$. Außerdem
|
||||
ist für $i \in \{1, \ldots, n\} $ und $x \in \Omega$
|
||||
\[
|
||||
\frac{\partial f(x)}{\partial x_i} = \frac{x_i}{|x|}
|
||||
\] stetig also $f \in C^{1}(\Omega, \R)$ und
|
||||
\[
|
||||
D f(x) = \frac{x^{t}}{|x|} \neq 0
|
||||
.\] Dann folgt also $\text{rang}D f(x) = 1$ $\forall x \in \Omega$.
|
||||
|
||||
Also folgt $S^{n-1}$ $n-1$-dimensionale $C^{1}$-Mfkt.
|
||||
\item Sei $x \in K^{n-1} \setminus \{0\} $. Dann setze $\Omega \coloneqq \R^{n} \setminus \{0\} $.
|
||||
Dann ist analog zu (a), $\Omega$ eine Umgebung von $x$. Setze weiter
|
||||
$f\colon \Omega \to \R, x \mapsto \sum_{k=1}^{x_k^2} - x_n^2$. Dann ist
|
||||
$f$ differenzierbar und für $i \in \{ 1, \ldots, n-1\} $ gilt
|
||||
\[
|
||||
\frac{\partial f}{ \partial x_i} = 2 x_i \qquad \frac{\partial f}{\partial x_n} = - 2x_n
|
||||
.\] Also folgt
|
||||
\[
|
||||
D f(x) = 2 \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} & - x_n \end{pmatrix} \neq 0
|
||||
\quad \forall x \in \Omega
|
||||
.\] Also $\text{rang}Df(x) = 1$ $\forall x \in \Omega$. Zuletzt gilt
|
||||
\[
|
||||
f^{-1}(0) = K^{n-1} \setminus \{0\} = (K^{n-1} \setminus \{0\}) \cap \Omega
|
||||
.\] Also ist $K^{n-1}$ eine $n-1$ dim. $C^{1}$-Mfkt.
|
||||
\item Ang.: $K^{n-1}$ ist eine $C^{1}$-Mfkt. Dann betrachte $x := 0$. Dann ex.
|
||||
eine Umgebung $\Omega \subseteq \R^{n}$ von $x$ und $U \subseteq \R^{n-1}$ und
|
||||
ein $g \in C^{1}(U, \R^{1})$ mit $K^{n-1} \cap \Omega = \pi (\text{graph }g)$.
|
||||
Da $\Omega$ Umgebung
|
||||
von $x$, ex. ein $\epsilon > 0$, s.d. $B_{\epsilon}(0) \subseteq \Omega$.
|
||||
|
||||
Setze
|
||||
nun $a \coloneqq \frac{\epsilon}{2}$ und $b \coloneqq \sqrt{\frac{a^2}{n-1}} $.
|
||||
Für $z \in \pi(\text{graph }g)$ ex. ein $k \in \{1, \ldots, n\} $ mit
|
||||
$z_k = g(z_1, \ldots, z_{k-1}, z_{k+1}, \ldots, z_n)$.
|
||||
Dann
|
||||
setze für $i \in \{ 1 \ldots, n-1\} $: $y_i := b$ und
|
||||
$y_n \coloneqq a$. Setze nun
|
||||
\[
|
||||
\tilde{y}_i \coloneqq \begin{cases}
|
||||
y_i & i \neq k \\
|
||||
- y_i & i = k
|
||||
\end{cases} \qquad \forall i \in \{ 1, \ldots, n\}
|
||||
.\] Dann folgt da $\tilde{y}_i^2 = y_i^2$ $\forall i \in \{1, \ldots, n\} $:
|
||||
\[
|
||||
|y| = |\tilde{y}| = \sqrt{(n-1) b^2 + a^2} = \sqrt{2 a^2} = \frac{\epsilon}{\sqrt{2} }
|
||||
< \epsilon
|
||||
.\] Außerdem
|
||||
\[
|
||||
\sum_{i=1}^{n-1} y_i^2 = \sum_{i=1}^{n-1} \tilde{y}_i^2 = (n-1) b^2 = a^2 =
|
||||
y_n^2 = \tilde{y}_n^2
|
||||
.\] Also ist $y, \tilde{y} \in \Omega \cap K^{n-1}$. Sei nun nach Umnummerierung
|
||||
der Koordinaten o.E. $k = n$. Dann ex. ein $u \in U \subseteq \R^{n-1}$,
|
||||
s.d. $(u, g(u)) = y$. Das heißt $u_1, \ldots, u_{n-1} = b$ und
|
||||
$g(u) = a$. Aber da $\tilde{y} \in K^{n-1} \cap \Omega$ ist auch
|
||||
$(u, -a) \in \text{graph }g$, insbesondere folgt
|
||||
\[
|
||||
-a = g(u) = a
|
||||
\] aber das ist ein Widerspruch zu $g$ Abbildung.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
\begin{enumerate}[a)]
|
||||
\item Sei $v \in T_{\xi}M$. Dann ex. $\gamma \in C^{1}((-\epsilon, \epsilon), M)$ mit
|
||||
$\gamma(0) = \xi$ und $\gamma'(0) = v$. Dann ist $F \circ \gamma(0) = F(\xi)$.
|
||||
Es gilt $\forall t \in (- \epsilon, \epsilon)\colon \gamma(t) \in M$. Da
|
||||
$B_r(\xi)$ offen und $\gamma \in C^{1}((- \epsilon, \epsilon), M)$ ex.
|
||||
ein $0 < \delta < \epsilon$, s.d. $\forall t \in (-\delta, \delta)\colon
|
||||
\gamma(t) \in M \cap B_r(\xi)$. Also gilt
|
||||
$\forall t \in (-\delta, \delta)\colon F \circ \gamma(t) \ge F \circ \gamma(0)$. Also
|
||||
ist $0$ ein lokales Minimum von $F \circ \gamma$. Damit folgt
|
||||
mit der Kettenregel
|
||||
\begin{salign*}
|
||||
0 = (F \circ \gamma)(0)'
|
||||
= (D F)(\xi) \gamma'(0)
|
||||
= (\nabla F)(\xi)^{t} v
|
||||
= \langle \nabla F(\xi), v \rangle
|
||||
.\end{salign*}
|
||||
Also folgt $\nabla F(\xi) \in T_{\xi}M^{\perp} = N_{\xi}M$.
|
||||
\item Das gegebene $f$ erfüllt gerade die Eigenschaften aus Satz 5.6, d.h. es folgt
|
||||
$N_{\xi}M = \text{span} \langle \nabla f_1(\xi), \ldots, \nabla f_{m-n}(\xi) \rangle$.
|
||||
Da nach (a) $\nabla F(\xi) \in N_{\xi}M$, ex. also $y_i \in \R$ s.d.
|
||||
\[
|
||||
\nabla F(\xi) = \sum_{i=1}^{m-n} y_i \nabla f_i(\xi)
|
||||
.\]
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Sei $f \in \mathscr{S}(\R)$ und $\lambda > 0$. Dann ist
|
||||
$\widehat{f} \in \mathscr{\R}$ und für ein beliebiges Polynom $p \in C^{\infty}(\R)$
|
||||
auch $p \widehat{f} \in \mathscr{S}(\R)$ nach Definition von $\mathscr{S}(\R)$. Falls
|
||||
$p(x) \neq 0$ $\forall x \in \R$ ist ebenfalls $\frac{\widehat{f}}{p} \in \mathscr{S}(\R)$.
|
||||
Mit Quotientenregel folgt, dass
|
||||
\[
|
||||
\frac{\mathrm{d}^{k}}{\d{x^{k}}}\left( \frac{\widehat{f}(x)}{-x^2 - \lambda} \right)
|
||||
= \frac{\sum_{k=1}^{s} p_k(x) \frac{\mathrm{d}^{k}}{\d{x^{k}}}\widehat{f}(x)}{(-x^2 - \lambda)^{2k}}
|
||||
\tageq \label{eq:1}
|
||||
\] für Polynome $p_k \in C^{\infty}$.
|
||||
Da $(-x^2 - \lambda)^{k} \neq 0$ für $k \in \N$ und $x \in \R$, folgt mit (\ref{eq:1}), dass
|
||||
\[
|
||||
\frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda} \in \mathscr{S}(\R)
|
||||
.\]
|
||||
Setze nun $u\colon \R \to \R$ mit
|
||||
$u(x) \coloneqq \mathcal{F}^{-1}\left( \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda} \right)(x) $ für $x \in \R$.
|
||||
Dann ist $u \in \mathscr{S}(\R)$ und es gilt:
|
||||
%\begin{salign*}
|
||||
% &\quad \; u(x) = \mathcal{F}^{-1}\left( \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda} \right)(x) \qquad \forall x \in \R\\
|
||||
% \stackrel{\mathcal{F} \text{ inj.}}{\iff}& \widehat{u}(x) = \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda}
|
||||
% \qquad \forall x \in \R\\
|
||||
% \stackrel{-x^2 - \lambda \neq 0}{\iff}& \widehat{u}(x) (-x^2 - \lambda) = \widehat{f}(x)
|
||||
% \qquad \forall x \in \R\\
|
||||
% \iff& ix \widehat{u'}(x) - \lambda \widehat{u}(x) = \widehat{f}(x) \qquad \forall x \in \R\\
|
||||
% \iff& \widehat{u''}(x) - \lambda \widehat{u}(x) = \widehat{f}(x) \qquad \forall x \in \R\\
|
||||
% \iff& \mathcal{F}(u'' - \lambda u)(x) = \mathcal{F}f(x) \qquad \forall x \in \R\\
|
||||
% \stackrel{\mathcal{F} \text{ inj.}}{\iff}& u''(x) - \lambda u(x) = f(x) \qquad \forall x \in \R
|
||||
%.\end{salign*}
|
||||
\begin{alignat*}{4}
|
||||
&\quad & u(x) = \mathcal{F}^{-1}\left( \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda} \right)(x) &\qquad &\forall x \in \R\\
|
||||
\stackrel{\mathcal{F} \text{ inj.}}{\iff}& & \widehat{u}(x) = \frac{\widehat{f}}{-x^2 - \lambda}
|
||||
& &\forall x \in \R\\
|
||||
\stackrel{-x^2 - \lambda \neq 0}{\iff}& &\widehat{u}(x) (-x^2 - \lambda) = \widehat{f}(x)
|
||||
& &\forall x \in \R\\
|
||||
\iff& & ix \widehat{u'}(x) - \lambda \widehat{u}(x) = \widehat{f}(x) &&\forall x \in \R\\
|
||||
\iff& & \widehat{u''}(x) - \lambda \widehat{u}(x) = \widehat{f}(x) &&\forall x \in \R\\
|
||||
\iff& & \mathcal{F}(u'' - \lambda u)(x) = \mathcal{F}f(x) &&\forall x \in \R\\
|
||||
\stackrel{\mathcal{F} \text{ inj.}}{\iff}& & u''(x) - \lambda u(x) = f(x) &&\forall x \in \R
|
||||
\end{alignat*}
|
||||
Das zeigt die Existenz und die Eindeutigkeit.
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
+1
-1
Submodule ws2020/wtheo/uebungen updated: 4c121ead88...25ed8ff2ef
Reference in New Issue
Block a user