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@@ -23,7 +23,7 @@
 
 \begin{document}
 
-\section{Projektive Moduln und Algebren}
+\section{Projektive Moduln und Algebren (Vortrag 8)}
 
 \begin{satz}[Projektiv ist lokal frei]
     Sei $A$ ein Ring und $M$ ein $A$-Modul. Die folgenden Eigenschaften sind äquivalent:
@@ -38,7 +38,7 @@
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    Siehe Theorem 4.6 in \cite{lenstra}.
+    Siehe Theorem 4.6 in Lenstra.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}
@@ -48,7 +48,7 @@
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    Vortrag 8. Theorem 4.14 in \cite{lenstra}.
+    Vortrag 8. Theorem 4.14 in Lenstra.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}
@@ -59,76 +59,7 @@
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    Vortrag 8. Proposition 4.16 in \cite{lenstra}.
-\end{proof}
-
-\section{Endlich étale Morphismen}
-
-\begin{definition}
-    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. 
-    $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass
-    $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
-
-    %Sei $f\colon Y \to X$ ein affiner Morphismus von Schemata. $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn
-    %eine offene affine Überdeckung $\{U_i\}_{i \in I}$ existiert mit $U_i = \text{Spec }A_i$, sodass
-    %$f^{-1}(U_i) = \text{Spec }B_i$, wobei $B_i$ eine endliche und freie $A_i$-Algebra ist.
-\end{definition}
-
-\begin{lemma}[]
-    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
-    ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
-    \[
-        S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
-    \] als $S^{-1}A$-Algebren.
-    \label{lemma:localisation}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
-\end{proof}
-
-%\begin{lemma}
-%    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $\varphi\colon \text{Spec }B \to \text{Spec }A$ der induzierte
-%    Morphismus affiner Schemata. Sei $g \in A$. Dann ist
-%    \[
-%        \varphi^{-1}(D(g)) = D(f(g))
-%    .\] Insbesondere gilt
-%    \[
-%        \varphi^{-1}(\text{Spec }A_g) = \text{Spec }B_g
-%    .\] 
-%    \label{lemma:d(f)}
-%\end{lemma}
-%
-%\begin{proof}
-%    Die erste Gleichung ist aus Algebra 2 bekannt und gilt allgemeiner für Morphismen lokal geringter Räume. Die
-%    zweite Gleichung folgt aus der Ersten, wenn der Isomorphismus $D(g) = \text{Spec }A_g$ eingesetzt wird, unter
-%    Verwendung des Ringisomorphismus
-%    \[
-%        B_g = B \otimes_A A_g \simeq B_{f(g)}
-%    .\] 
-%\end{proof}
-
-\begin{bem}
-    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei,
-    wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist.
-    \label{satz:morph-local-free-char}
-\end{bem}
-
-\begin{proof}
-    \ref{satz:projectiveislocallyfree}
-\end{proof}
-
-\begin{satz}[Komposition]
-    Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
-    ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
-    \label{satz:composition-projective}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}
-    Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln
-    \[
-        A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m}
-    .\] 
+    Vortrag 8. Proposition 4.16 in Lenstra.
 \end{proof}
 
 \begin{bem}
@@ -178,91 +109,96 @@
     $[B : A]|_{D(f_i)}$ ist konstant.
 \end{proof}
 
-\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$]
-    Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$
-    von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere
-    existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass
-    $\{\mathfrak{p} \in \spec A  \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$.
-    \label{bem:clopen-sets}
-\end{bem}
 
-\begin{definition}[Treuprojektive Algebren]
-    Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$.
-\end{definition}
+\subsection{Aufgaben nach Vortrag 8}
 
-%\begin{definition}[Surjektive Algebren]
-%    Eine $A$-Algebra $B$ heißt $\emph{surjektiv}$, falls die induzierte Abbildung
-%    $\spec B \to \spec A$ surjektiv ist.
-%\end{definition}
-
-\begin{satz}
-    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
-    \begin{enumerate}[(a)]
-        \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
-        \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
-        \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
-    \end{enumerate}
-    \label{satz:degree}
+\begin{satz}[Komposition]
+    Sei $A$ ein Ring, $B$ endliche, projektive $A$-Algebra und $C$ endliche, projektive $B$-Algebra. Dann
+    ist $C$ endliche, projektive $A$-Algebra.
+    \label{satz:composition-projective}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    \begin{enumerate}[(a)]
-        \item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
-            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
-            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
-            $\iff [B : A] = 0$.
-        \item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
-        \item
-            Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
-            $\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
-            Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
-            $S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
-            $\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
-            $S \subseteq T$. Und damit
+    Sei $A^{n} = B \oplus Q$ und $B^{m} = C \oplus P$. Dann haben wir Isomorphismen von $A$-Moduln
     \[
-                B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B  \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
-            \] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
-            auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
-            $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
-            und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
-            die Aussage aus \cite{macdonald} Theorem 5.10.
-    \end{enumerate}
+        A^{mn} = (A^{n})^{m} = (B \oplus Q)^{m} = B^{m} \oplus Q^{m} = C \oplus P \oplus Q^{m}
+    .\] 
 \end{proof}
 
-\begin{definition}[Endlich étale Algebren]
-    Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{endlich étale}, wenn Elemente $\{f_i\}_{i \in I}$ existieren, sodass
-    $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist für alle $i \in I$.
-\end{definition}
+\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive]
+    Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
+    ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
+    Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
+                & \Z &.
+    \end{tikzcd}
+    \] 
+    \label{satz:basischange-projective}
+\end{satz}
 
-\begin{bem}
-    Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
-    \label{bem:finite-etale-is-locally-free}
-\end{bem}
+\begin{proof}
+    Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
+    existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
+    $A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
+    $A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
+    Tensorieren mit $C$
+    \[
+        C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
+    .\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul.
 
-%\begin{lemma}
-%    Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
-%    \[
-%    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
-%    .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
-%    \[
-%        S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
-%    \] ein Isomorphismus.
-%    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
-%\end{lemma}
-%
-%\begin{proof}
-%    $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
-%    sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
-%    \[
-%        0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
-%        \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
-%    \] und
-%    \[
-%        0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
-%    .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
-%\end{proof}
+    Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei
+    weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also
+    folgt
+    \[
+        (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}}
+        \otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}}
+    .\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt
+    $\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da
+    $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von
+    $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die
+    Behauptung.
+\end{proof}
 
-\begin{lemma}[]
+\begin{lemma}
+    Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente.
+    \label{lemma:local-idempotents}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt
+    $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen
+    $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist
+    $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann
+    ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$.
+    \label{lemma:no-idempotents}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus.
+    Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und
+    $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$.
+
+    Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt
+    $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$.
+    Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist
+    $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also
+    genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$.
+
+    Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann
+    gilt
+    $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und
+    \[
+        \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)}
+    .\]
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
     Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge
     \[
     A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
@@ -304,20 +240,89 @@
     \label{lemma:localisation-finitely-pres}
 \end{korollar}
 
-%\begin{korollar}
-%    Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
-%    eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
-%    $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.
-%
-%    \label{bem:finite-etale-basis}
-%\end{korollar}
-%
-%\begin{proof}
-%    Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
-%    separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
-%    ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
-%    durch Lokalisieren erhalten.
-%\end{proof}
+
+\section{Technische Randbemerkungen}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $S \subseteq A$ ein multiplikatives System. Dann
+    ist $f(S)$ ein multiplikatives System von $B$ und
+    \[
+        S^{-1}B \simeq f(S)^{-1}B
+    \] als $S^{-1}A$-Algebren.
+    \label{lemma:localisation}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Die Formel $\frac{b}{s} \mapsto \frac{b}{f(s)}$ induziert den Isomorphismus.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
+    \[
+        M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f
+    \] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist.
+    \label{kor:localisation-is-colim}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert
+    ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen.
+
+    Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet.
+    Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$,
+    also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit
+    $f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit
+    eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass
+    diese Abbildung bijektiv ist.
+
+    Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$
+    in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$.
+    Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann
+    existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also
+    existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$.
+    Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$.
+\end{proof}
+
+\section{Endlich étale Morphismen}
+
+\begin{definition}
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. 
+    $f$ ist \emph{endlich und lokal frei}, wenn eine Familie $(f_i)_{i \in I}$ existiert, sodass
+    $A = \sum_{i \in I} (f_i)$ und $B_{f_i}$ endliche, freie $A_{f_{i}}$ Algebra ist für alle $i \in I$.
+    \label{def:finite-locally-free}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann ist $f$ genau dann endlich und lokal frei,
+    wenn $B$ endliche, projektive $A$-Algebra ist.
+    \label{satz:morph-local-free-char}
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    \ref{satz:projectiveislocallyfree}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[Zariskiüberdeckung]
+    Eine Überdeckung von $A$ wie in \ref{def:finite-locally-free} nennen wir im Folgenden Zariskiüberdeckung.
+\end{bem}
+
+Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang:
+
+\begin{satz}[Äquivalente Charakterisierungen von endlich étale]
+    Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt.
+        \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$.
+        %\item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$.
+        \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass
+            $B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{bem}
+    Jede endlich étale Algebra ist auch endlich und lokal frei, denn separable Algebren sind per Definition endlich.
+    \label{bem:finite-etale-is-locally-free}
+\end{bem}
 
 \begin{lemma}
     Sei $B$ eine endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist $A \to B$ genau dann separabel, wenn
@@ -359,41 +364,7 @@
     über $A_{f_i}$ und es folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Basiswechsel endlich projektive]
-    Sei $B$ endlich projektive $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann
-    ist $B \otimes_A C$ endlich projektive $C$-Algebra.
-    Insbesondere kommutiert das folgende Diagramm
-    \[
-    \begin{tikzcd}
-        \spec C \arrow[swap]{dr}{[B \otimes_A C : C]} \arrow[from=1-1,to=1-3] & & \spec A \arrow{dl}{[B : A]} \\
-                & \Z &.
-    \end{tikzcd}
-    \] 
-    \label{satz:basischange-projective}
-\end{satz}
-
-\begin{proof}
-    Da $B$ endlich erzeugter, projektiver $A$-Modul ist,
-    existiert ein $A$-Modul $Q$, sodass
-    $A^{n} \simeq B \oplus Q$ als $A$-Moduln für ein $n \ge 0$. Da der natürliche Isomorphismus
-    $A^{n} \otimes_A C \to C^{n}$ auch $C$-linear ist, folgt durch
-    Tensorieren mit $C$
-    \[
-        C^{n} \simeq A^{n} \otimes_A C \simeq (B \oplus Q) \otimes_A C = (B \otimes_A C) \oplus (Q \otimes_A C)
-    .\] Also ist $B \otimes_A C$ (endlich erzeugter) projektiver $C$-Modul.
-
-    Für die Grade: Sei $\mathfrak{p} \in \spec C$ und $\mathfrak{q} \coloneqq \mathfrak{p}^{c}$. Sei
-    weiter $\text{rank}_{A_{\mathfrak{q}}} B_{\mathfrak{q}} = n$. Also
-    folgt
-    \[
-        (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = B \otimes_A C \otimes_A A_{\mathfrak{q}} = B_{\mathfrak{q}}
-        \otimes_A C = A_{\mathfrak{q}}^{n} \otimes_A C = (A^{n} \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = (C^{n})_{\mathfrak{q}}
-    .\] Die natürlichen Isomorphismen sind auch $C_{\mathfrak{q}}$ linear, also folgt
-    $\text{rank}_{C_{\mathfrak{q}}} (B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}} = n$. Da
-    $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{p}}$ bzw. $C_{\mathfrak{p}}$ eine Lokalisierung von
-    $(B \otimes_A C)_{\mathfrak{q}}$ bzw. $C_{\mathfrak{q}}$ ist und Lokalisieren den Grad erhält, folgt die
-    Behauptung.
-\end{proof}
+\subsection{Stabilität von endlich étale}
 
 \begin{satz}[Basiswechsel endlich étale]
     Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ eine weitere $A$-Algebra. Dann ist
@@ -402,23 +373,115 @@
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    Mit \ref{satz:equiv-finite-etale} genügt es zu zeigen:
-    Sei $B$ projektive, separable $A$-Algebra und $C$ eine $A$-Algebra. Dann
-    ist $B \otimes_A C$ projektive, separable $C$-Algebra. Mit
-    \ref{satz:basischange-projective} genügt es die Separabilität zu zeigen.
+    Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Basiswechsel.
+    Außerdem ist $\Omega_{B \otimes_A C/C} = \Omega_{B / A} \otimes_A C = 0$. Also
+    ist $B \otimes_A C$ auch formal unverzweigt und damit endlich étale über $C$.
+\end{proof}
 
-    Es ist also zu zeigen, dass der von der Spurabbildung induzierte Homomorphismus
-    $B \otimes_A C \to \operatorname{Hom}_{C}(B \otimes_A C, C)$ ein Isomorphismus ist. Das folgt aus
-    \ref{lemma:tensor-and-hom} und dem kommutativen Diagramm:
+\begin{satz}[Komposition endlich étale]
+    Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
+    $C$ endlich étale $A$-Algebra.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Flache (bzw. endlich präsentierte) Homomorphismen sind stabil unter Komposition.
+    Außerdem haben wir die exakte Kotangentialfolge
     \[
         \begin{tikzcd}
-        B \otimes_A C \arrow{r} & \operatorname{Hom}_C(B\otimes_A C, C) \\
-        B \otimes_A C \arrow{u}{\operatorname{id}} \arrow[swap]{r}{\sim}
-        & \operatorname{Hom}_A(B, A) \otimes_A C \arrow[swap]{u}{\sim}
+            \underbrace{C \otimes_B \Omega_{B / A}}_{= 0} \arrow{r}
+            & \Omega_{C / A} \arrow{r}
+            & \underbrace{\Omega_{C / B}}_{= 0} \arrow{r}
+            & 0
         \end{tikzcd}
-    .\] 
+    .\] Aus der Exaktheit folgt also $\Omega_{C / A} = 0$.
 \end{proof}
 
+\subsection{Grad}
+
+\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$]
+    Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$
+    von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere
+    existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass
+    $\{\mathfrak{p} \in \spec A  \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$.
+    \label{bem:clopen-sets}
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Treuprojektive Algebren]
+    Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $B$ endliche, projektive $A$-Algebra. Dann ist
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $B = 0 \iff [B : A] = 0$.
+        \item $A \to B$ Isomorphismus $\iff [B : A] = 1$.
+        \item $\spec B \to \spec A$ surjektiv $\iff$ $B$ treuprojektive $A$-Algebra.
+    \end{enumerate}
+    \label{satz:degree}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $B = 0 \iff B_{\mathfrak{p}} = 0$
+            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A \iff \text{rang}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} = 0$
+            $\forall \mathfrak{p} \in \spec A$
+            $\iff [B : A] = 0$.
+        \item Das ist \ref{satz:rings-degree}(c).
+        \item
+            Sei $\spec B \to \spec A$ surjektiv und sei $\mathfrak{p} \in \spec A$ mit Urbild
+            $\mathfrak{q} \in \spec{B}$. Also ist $B \neq 0$ und damit $B_{\mathfrak{q}} \neq 0$.
+            Sei $\varphi\colon A \to B$ der induzierte Ringhomomorphismus,
+            $S = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$ und $T = B \setminus \mathfrak{q}$. Wegen
+            $\mathfrak{p} = f(\mathfrak{q}) = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$, folgt
+            $S \subseteq T$. Und damit
+            \[
+                B_{\mathfrak{q}} = T^{-1}B  \simeq (S^{-1}T)^{-1}(S^{-1}B) = (S^{-1}T)^{-1} B_{\mathfrak{p}},
+            \] also ist $B_{\mathfrak{q}}$ eine Lokalisierung von $B_{\mathfrak{p}}$. Also folgt
+            auch $B_{\mathfrak{p}} \neq 0$, also
+            $[ B : A ](\mathfrak{p}) > 0$. Rückrichtung: Mit \ref{satz:rings-degree}(a) ist $A \to B$ injektiv
+            und weil $B$ endliche $A$-Algebra, ist $B$ ganze Ringerweiterung von $A$, also folgt
+            die Aussage aus Macdonald Theorem 5.10.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+%\begin{lemma}
+%    Seien $M, N$ $A$-Moduln und $M$ endlich präsentiert, d.h. es existiert eine exakte Folge
+%    \[
+%    A^{m} \to A^{n} \to M \to 0
+%    .\] Sei weiter $S \subset A$ ein multiplikatives System. Dann ist der natürliche $A$-Modul Homomorphismus
+%    \[
+%        S^{-1}\operatorname{Hom}_A(M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
+%    \] ein Isomorphismus.
+%    \label{lemma:localisation-finitely-pres}
+%\end{lemma}
+%
+%\begin{proof}
+%    $S^{-1}A$ ist ein flacher $A$-Modul und $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ bzw. $\operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(-, S^{-1}N)$
+%    sind linksexakt. So erhalten wir exakte Folgen
+%    \[
+%        0 \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}A}(S^{-1}M, S^{-1}N)
+%        \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
+%    \] und
+%    \[
+%        0 \to S^{-1}\operatorname{Hom}_{A}(M, N) \to (S^{-1}N)^{n} \to (S^{-1}N)^{m}
+%    .\] Das 5-er Lemma liefert das Ergebnis.
+%\end{proof}
+
+%\begin{korollar}
+%    Ein Morphismus von Schemata $f\colon Y \to X$ ist genau dann endlich étale, wenn
+%    eine Basis von offenen affinen Mengen $\{U_i\}_{i \in I}$ von $X$ existiert, sodass
+%    $U_i = \spec A_i$ und $f^{-1}(U_i) = \spec B_i$, wobei $B_i$ freie, separable $A_i$-Algebra ist.
+%
+%    \label{bem:finite-etale-basis}
+%\end{korollar}
+%
+%\begin{proof}
+%    Die Rückrichtung ist klar. Für die Hinrichtung beachte, dass eine endliche, projektive $A$-Algebra $B$ genau dann
+%    separabel ist, wenn der von der Spur induzierte $A$-Modulhomomorphismus $B \to \operatorname{Hom}_A(B, A)$
+%    ein Isomorphismus ist. Diese Eigenschaft bleibt nach \ref{lemma:localisation-finitely-pres}
+%    durch Lokalisieren erhalten.
+%\end{proof}
+
 \begin{satz}[Treuprojektiv ist treuflach]
     Sei $B$ treuprojektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ treuflach.
     \label{satz:faithfully-projective-faithfully-flat}
@@ -445,18 +508,6 @@
     die Behauptung aus \ref{satz:4.14}.
 \end{proof}
 
-\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
-    Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
-    $A$ ein Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
-    $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
-    \[
-    \begin{tikzcd}
-        B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n}  \\
-        A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
-    \end{tikzcd}
-    \] kommutiert.
-\end{definition}
-
 \begin{satz}[Aufgabe 5.3]
     Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter
     $B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn
@@ -543,7 +594,7 @@
     = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}
+\begin{satz}[Aufgabe 5.4]
     Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra
     für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem
     ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form.
@@ -605,6 +656,18 @@
     ersten Absatz.
 \end{proof}
 
+\begin{definition}[Total zerlegbare Algebren]
+    Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn
+    $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und
+    $B$ isomorph ist zu $\prod_{n \ge 0} A_n^{n}$, sodass
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        B \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0}^{} A_n^{n}  \\
+        A \arrow{u} \arrow{r}{\sim} & \prod_{n \ge 0} A_n \arrow{u}
+    \end{tikzcd}
+    \] kommutiert.
+\end{definition}
+
 \begin{satz}
     Sei $B$ eine $A$-Algebra. Dann ist $B$ genau dann endlich étale,
     wenn $B \otimes_A C$ total zerlegbare $C$-Algebra ist für eine treuprojektive $A$-Algebra $C$.
@@ -657,29 +720,6 @@
     \] wobei der letzte Isomorphismus aus der totalen Zerlegbarkeit von $B_{e_n} \otimes_{A_{e_n}} C_n$ folgt.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[]
-    Sei $B$ endlich étale $A$-Algebra und $C$ endlich étale $B$-Algebra. Dann ist
-    $C$ endlich étale $A$-Algebra.
-\end{satz}
-
-\begin{proof}
-    Sei zunächst $B$ total zerlegbar über $A$ von konstantem Grad. Dann
-    ist $B = A^{n}$ und
-    nach \ref{satz:projective-prod} $C = \prod_{i=1}^{n} C_i$, wobei $C_i$ endlich étale $A$-Algebra. Dann
-    ist $C$ endlich étale nach \ref{ex:5.3}.
-
-    Falls $B$ total zerlegbar über $A$ von nicht notwendig konstantem Grad, ist $A = \prod_{n \ge 0} A_n$
-    und $B = \prod_{n \ge 0} A_n^{n}$. Dann ist $C = \prod_{n \ge 0} C_n$ mit $C_n$ endlich étale
-    $A_n^{n}$-Algebra nach \ref{satz:projective-prod}. Wende
-    nun den ersten Fall auf $A_n \to A_n^{n} \to C_n$ an. Mit \ref{satz:projective-prod} folgt dann die Behauptung.
-
-    Im Allgemeinen: Mit \ref{th:5.10} wähle $D$ treuprojektive $A$-Algebra, sodass
-    $B \otimes_A D$ total zerlegbare $D$-Algebra. Nach \ref{satz:basischange} ist dann
-    $C \otimes_A D = C \otimes_B (B \otimes_A D)$ endlich étale $B \otimes_A D$-Algebra. Mit dem obigen Speziallfall
-    ist also $C \otimes_A D$ endlich étale $D$-Algebra. Da $A \to D$ treuprojektiv war, folgt
-    mit \ref{kor:finite-etale} die Behauptung.
-\end{proof}
-
 Sei $A$ ein Ring und $E$ eine endliche Menge. Dann schreiben wir $A^{E}$ für $\prod_{e \in E} A$. Sei
 $\phi\colon D \to E$ eine Abbildung zwischen endlichen Mengen. Für $d \in D$ sei
 $\psi_d \colon A^{E} \to A$ gegeben durch $(a_e)_{e \in E} \mapsto a_{\phi(d)}$. Das induziert
@@ -696,70 +736,6 @@ einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$.
     und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}.
 \end{proof}
 
-\begin{lemma}
-    Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente.
-    \label{lemma:local-idempotents}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt
-    $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen
-    $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist
-    $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$.
-\end{proof}
-
-\begin{lemma}
-    Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann
-    ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$.
-    \label{lemma:no-idempotents}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus.
-    Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und
-    $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$.
-
-    Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt
-    $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$.
-    Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist
-    $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also
-    genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$.
-
-    Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann
-    gilt
-    $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und
-    \[
-        \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)}
-    .\]
-\end{proof}
-
-\begin{lemma}
-    Sei $A$ ein Ring, $M$ ein $A$-Modul und $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist
-    \[
-        M_{\mathfrak{p}} = \colim_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} M_f
-    \] wobei $A \setminus \mathfrak{p}$ durch die Teilbarkeitsrelation halbgeordnet ist.
-    \label{kor:localisation-is-colim}
-\end{lemma}
-
-\begin{proof}
-    Für eine multiplikative Menge $S$ vertaucht $- \otimes_A S^{-1}A$ mit Kolimites, da das Tensorprodukt linksadjungiert
-    ist. Es genügt also den Fall $M = A$ zu zeigen.
-
-    Sei $S = A \setminus \mathfrak{p}$. Dann ist $S$ halbgeordnet und gerichtet.
-    Für alle $f \in S$ ist $\frac{f}{1} \in A_{\mathfrak{p}}^{\times}$,
-    also existiert eine natürliche Abbildung $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Für $f, g \in S$ mit
-    $f \mid g$ kommutieren diese Abbildungen mit $A_f \to A_g$ und induzieren damit
-    eine Abbildung $\colim_{f \in S} A_f \to A_{\mathfrak{p}}$. Wir zeigen, dass
-    diese Abbildung bijektiv ist.
-
-    Surjektiv: Sei $x = \frac{a}{f} \in A_{\mathfrak{p}}$. Also $f \in S$ und das Bild von $\frac{a}{f} \in A_f$
-    in $\colim_{f \in S} A_f$ ist ein Urbild von $x$.
-    Injektiv: Sei $x \in \colim_{f \in S} A_f$ mit Bild $0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Dann
-    existiert ein $f \in S$ und $a \in A$, sodass $\frac{a}{f^{n}} = 0$ in $A_{\mathfrak{p}}$. Also
-    existiert ein $g \in S$, sodass $ga = 0$. Insbesondere ist $fga = 0$ also $\frac{a}{f} = 0$ in $A_{fg}$.
-    Außerdem ist $f \mid fg$ und damit $x = 0$.
-\end{proof}
-
 \begin{lemma}
     Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein
     Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann