\documentclass[uebung]{../../../lecture} \title{Lineare Algebra 2: Übungsblatt 4} \author{Dominik Daniel, Christian Merten} \usepackage[]{gauss} \begin{document} \punkte[16] \begin{aufgabe} Seien $L$ und $K$ Teilkörper mit $K \subseteq L$. \begin{enumerate}[a)] \item \begin{enumerate}[(i)] \item Beh.: Für $f, g \in K[t]$ gilt $\text{ggT}_{L[t]}(f,g) = \text{ggT}_{K[t]}(f,g)$. \begin{proof} Seien $f, g \in K[t]$. Der euklid. Algorithmus in $K[t]$ liefert $a_2, \ldots, a_k \in K[t]$ mit $a_k \in \text{GGT}_{K[t]}(f, g)$. Da $K$ Teilkörper von $L$ ist, ist $K[t]$ Unterring von $L[t]$. Das heißt, der euklid. Algorithmus kann in $L[t]$ mit den selben $a_2, \ldots a_k$ ausgeführt werden. Damit folgt $a_k \in \text{GGT}_{L[t]}(f,g)$. Definiere $d \in K[t]$, als das normierte Polynom von $a_k$. Wegen der Eindeutigkeit des größten gemeinsamen Teilers in $L[t]$ und $K[t]$ folgt damit \[ \text{ggT}_{L[t]}(f, g) = d = \text{ggT}_{K[t]}(f,g) .\] \end{proof} \item Beh.: Für $A, B \in M_{n, n}(K)$ so gilt \[ A \approx B \text{ in } M_{n,n}(K) \iff A \approx B \text{ in } M_{n, n}(L) .\] \begin{proof} Seien $A, B$ in $M_{n, n}(K)$. ,,$\implies$'' ist trivial. ,,$\impliedby$'': Sei $A \approx B$ in $M_{n,n}(L)$. Da $P_{A} \in M_{n,n}(K[t])$ folgt \begin{salign*} d_{l_{L[t]}}(A) &= \text{ggT}_{L[t]}\{ \underbrace{\text{det}(C)}_{\in K[t]} \mid C \text{ ist } l \times l \text{ Untermatrix von } P_A\} \\ &\stackrel{(i)}{=} \text{ggT}_{K[t]}\{ \text{det}(C) \mid C \text{ ist } l \times l \text{ Untermatrix von } P_A\} \\ &= d_{l_{K[t]}}(A) .\end{salign*} Analog für $B$. Wegen $A \approx B$ in $M_{n,n}(L)$ gilt $\forall l=1,\ldots, n$: \[ d_{l_{K[t]}}(A) = d_{l_{L[t]}}(A) = d_{l_{L[t]}}(B) = d_{l_{K[t]}}(B) .\] Damit folgt $A \approx B$ in $M_{n,n}(K)$. \end{proof} \end{enumerate} \item Beh.: Für $A \in M_{n,n}(K)$ ist $A \approx A^{T}$. \begin{proof} Es ist $Fit_{l}(P_A) = Fit_{l}((P_A)^{T})$ $\forall l = 1, \ldots, n$. Also $P_{A} \sim (P_A)^{T}$. Wegen $(P_A)^{T} = (tE_n - A)^{T} = tE_n - A^{T} = P_{A^{T}}$ folgt $P_{A} \sim P_{A^{T}}$. Damit folgt mit dem Satz von Frobenius: $A \approx A^{T}$. \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)] \item Kurze Rechung ergibt \begin{align*} P_A &= \begin{gmatrix}[p] t-10 & 11 & 11 & 32 \\ 1 & t & 2 & - 4 \\ -1 & 1 & t-1 & 4 \\ -2 & 2 & 2 & t+6 \rowops \swap{0}{1} \end{gmatrix} \sim \begin{gmatrix}[p] 1 & t & 2 & - 4 \\ t-10 & 11 & 11 & 32 \\ -1 & 1 & t-1 & 4 \\ -2 & 2 & 2 & t+6 \rowops \add[-(t-10)]{0}{1} \add{0}{2} \add[2]{0}{3} \colops \add[-t]{0}{1} \add[-2]{0}{2} \add[4]{0}{3} \end{gmatrix} \\ &\sim \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11-t^2 + 10t & -8 + 4t \\ 0 & t+1 & t+1 & 0 \\ 0 & 2+2t & 6 & t-2 \rowops \swap{1}{3} \colops \swap{1}{2} \end{gmatrix} \sim \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 2+2t & t-2 \\ 0 & t+1 & t+1 & 0 \\ 0 & 31-2t & 11-t^2 + 10t & -8+4t \rowops \mult{1}{\cdot \frac{1}{6}} \end{gmatrix} \\ &\sim \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3}t & \frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \\ 0 & t+1 & t+1 & 0 \\ 0 & 31-2t & 11-t^2+10t & -8+4t \rowops \add[-(t+1)]{1}{2} \add[-(31-2t)]{1}{3} \colops \add[-\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}t \right)]{1}{2} \add[-\left(\frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \right)]{1}{3} \end{gmatrix} \sim \begin{gmatrix}[p] E_2 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3} t^2+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}t & -\frac{1}{6}t^2 + \frac{1}{6}t + \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} + \frac{1}{3}t - \frac{1}{3}t^2 & \frac{1}{3}t^2 - \frac{11}{6}t + \frac{7}{3} \rowops \add[-1]{1}{2} \colops \add[-\frac{1}{2}]{1}{2} \end{gmatrix} \\ &\sim \begin{gmatrix}[p] E_2 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{3}t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}t^2 - 2t + 2 \rowops \mult{1}{\cdot (-3)} \mult{2}{\cdot 2} \end{gmatrix} \sim \begin{gmatrix}[p] E_2 & 0 & 0 \\ 0 & (t+1)(t-2) & 0 \\ 0 & 0 & (t-2)^2 \rowops \add{1}{2} \colops \add[-1]{1}{2} \end{gmatrix} \\ &\sim \begin{gmatrix}[p] E_2 & 0 & 0 \\ 0 & (t+1)(t-2) & -(t+1)(t-2) \\ 0 & (t+1)(t-2) & -3t + 6 \rowops \swap{1}{2} \colops \swap{1}{2} \end{gmatrix} \sim \begin{gmatrix}[p] E_2 & 0 & 0 \\ 0 & -3t + 6 & (t-2)(t+1) \\ 0 & -(t-2)(t+1) & (t-2)(t+1) \rowops \mult{1}{\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)} \colops \mult{2}{\cdot 3} \end{gmatrix} \\ &\sim \begin{gmatrix}[p] E_2 & 0 & 0 \\ 0 & t - 2 & -(t-2)(t+1) \\ 0 & -(t-2)(t+1) & 3(t-2)(t+1) \rowops \add[t+1]{1}{2} \colops \add[t+1]{1}{2} \end{gmatrix} \sim \begin{gmatrix}[p] E_2 & 0 & 0 \\ 0 & t-2 & 0 \\ 0 & 0 & (t-2)^2(t+1) \end{gmatrix} .\end{align*} Damit folgen als Invariantenteiler: $c_1 = c_2 = 1$, $c_3 = t- 2$ und $c_4 = (t-2)^2(t+1)$. Die Determinantenteiler sind damit $d_1 = 1$, $d_2 = 1$, $d_3 = t-2$ und $d_4 = (t-2)^{3}(t+1)$. \item Hier ist sofort ersichtlich: \begin{align*} \text{det}(P_B) = \begin{gmatrix}[v] t+5 & 3 & -5 \\ 0 & t-1 & 1 \\ 8 & 4 & t-7 \end{gmatrix} = (t-1)^{3} \neq (t-2)(t-1)(t+1) = \begin{gmatrix}[v] t+3 & -8 & -12 \\ -1 & t+2 & 3 \\ 2 & -4 & t-7 \end{gmatrix} = \text{det}(P_C) .\end{align*} Damit ist $d_3_{B} \neq d_3_{C}$, also sind nach Invariantenteilersatz $B$ und $C$ nicht ähnlich. \end{enumerate} \end{aufgabe} \end{document}