\documentclass{arbeit}

\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\newcommand{\com}[1]{#1^{\text{\scalebox{0.7}{\textbullet}}}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}

\begin{document}

\section{Motivation}

Aus der kommutativen Algebra ist für einen kommutativen Ring $A$ und einen $A$-Modul
$N$ die Adjunktion
\[
    - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
\] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_i^{A}(-, N)$ als
Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.

\begin{satz}[]
    $\operatorname{Ext}$ ist nicht rechtsadjungiert.
\end{satz}

\begin{proof}
Angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ ist rechtsadjungiert, dann
ist $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
\[
\begin{tikzcd}
    0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
\end{tikzcd}
\] in $\Z$-Mod liefert die exakte Folge
\[
\begin{tikzcd}
    \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
    \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z / 2 \Z)}_{\neq 0} \arrow{r}
                                            & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) \arrow{r}
                                            & \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)
\end{tikzcd}
.\] Aber $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z / 2 \Z) \neq 0$
und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
$\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.

\end{proof}

\section{Neuer Ableitungsbegriff}

Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien, $\mathcal{A}$ habe genügend viele Injektive
und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ sei additiv und linksexakt.

\begin{bem}[Erinnerung]
Sei $X \in \mathcal{A}$.
\begin{enumerate}[(1)]
    \item Es existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
$\com{I}$ in $\mathcal{A}$ mit injektiven Objekten, sodass
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
    \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\
    \cdots  \arrow{r} & 0 \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
    \label{eq:resolution}
\end{tikzcd}
\end{equation}
ein Quasiisomorphismus ist, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
den Kohomologiegruppen induziert.

\item Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
des Komplexes $F(\com{I})$.

\item Wohldefiniert.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{bem}[Idee]
    Identifiziere $X$ bzw. $X[0]$ mit seinen Auflösungen.
\end{bem}

\begin{definition}
    Sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Kategorie mit:
    \begin{itemize}
        \item Objekten: Komplexe von $\mathcal{A}$.
        \item Morphismen: Komplexhomomorphismen modulo Homotopie.
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
    Sei $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$ mit
    \begin{itemize}
        \item Objekte: Komplexe von $\mathcal{A}$
    \end{itemize}
    und einem kanonischen Funktor
    $Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$, sodass
    Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$.
\end{definition}

\begin{bem}[Mengentheorie]
    Es gibt mengentheoretische Probleme.
\end{bem}

$F$ induziert natürlicherweise einen Funktor $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.

\begin{definition}[Totalableitung]
    Sei $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein additiver
    Funktor plus $(*)$.
    Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
    $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
    einer natürlichen Transformation
    $\varphi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die
    eine gewissen universelle Eigenschaft erfüllen.
\end{definition}

\begin{bem}[Universelle Eigenschaft]
    Für jeden Funktor $G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
    und jede natürliche Transformation
    $\psi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}$ eine
    eindeutige natürliche Transformation $\eta\colon RF \to G$ existiert, sodass
    \[
        \begin{tikzcd}
            Q_{\mathcal{B}} \circ F \arrow{r}{\phi} \arrow{dr}{\psi} & RF \circ Q_{\mathcal{A}} \arrow[dashed]{d}{\eta} \\
            & G \circ Q_{\mathcal{A}}
        \end{tikzcd}
    .\] 
\end{bem}

\begin{bem}
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item In der klassischen Situation existiert $RF$ auf der Unterkategorie
            $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$.
        \item Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen mit den klassischen
            Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein.
        \item $\varphi$ induziert Isomorphismen auf der Klasse der nach unten beschränkten
            Komplexe mit injektiven Objekten.
    \end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}[]
    Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{A}$.
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item Für $\com{I} \in \mathcal{J}$ gilt: $\com{I} $ exakt
            $\implies$ $F(\com{I})$ exakt.
        \item Für alle $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ existiert
            ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit $\com{I} \in \mathcal{J}$.
    \end{enumerate}
    Dann existiert $RF\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
    und $\varphi(\com{I})$ ist ein Isomorphismus für alle $\com{I} \in \mathcal{J}$.
\end{satz}

\section{Ableitungen von Hom und Tensorprodukt}

Erweitern von Hom und Tensorprodukt auf $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.

\begin{definition}[]
    Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ definieren wir
    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$, sodass
    \begin{itemize}
        \item $\com{\operatorname{Hom}}$ auf eingradigen Komplexen
            mit $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}$ übereinstimmt,
        \item und
            \[
            H^{0}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})) =
            \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}(\mathcal{A}}(\com{M}, \com{N})
            .\] 
    \end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}
Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun
$\com{M} \otimes_A \com{N}$ so, dass man, analog zur klassischen Adjunktion, für
$\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus
\[
    \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) =
    \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
\] erhält.
\end{definition}
Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$
und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten.
Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{I}$ von Komplexen, die die Bedingungen
(1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt.

Für
$\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
\begin{definition}
    Ein Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ heißt \emph{K-injektiv}, wenn
    der Funktor $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{I})$ Exaktheit von Komplexen erhält. Eine \emph{K-injektive
    Auflösung} eines Komplexes $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist ein Quasiisomorphismus
    $\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$.
\end{definition}

\begin{bem}
    $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist genau dann K-injektiv, wenn
    jeder Komplexhomomorphismus von einem exakten Komplex nach $\com{I} $
    nullhomotop ist.
\end{bem}

\begin{bsp}
    Jeder nach unten beschränkte Komplex mit injektiven Objekten ist K-injektiv (Algebra II).
\end{bsp}

Sei nun $\mathcal{I}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
(1) ist für diese Wahl erfüllt, denn:

\begin{lemma}
    Ein exakter K-injektiver Komplex ist in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ der Nullkomplex.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Sei $\com{I} \in \mathcal{K}$ exakt und K-injektiv. Dann ist
    \[
    \text{id}_{\com{I} } \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{I}, \com{I})
    = H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{I}, \com{I}) = 0
    .\]
\end{proof}

Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.

\begin{bsp}
    Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Injektive hat, hat
    jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen
    nach unten beschränkten Komplex mit injektiven Objekten. Das konstruiert man induktiv, indem
    man schrittweise in injektive Objekte einbettet.
\end{bsp}

Das funktioniert nur nicht für unbeschränkte Komplexe.

Idee: Wir bedienen uns der Auflösung beschränkter Komplexe, konstruieren damit ein inverses System
und der Limes liefert dann eine K-injektive Auflösung.

Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen.

\begin{definition}
    Ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System ist ein abzählbares inverses System
    $(\com{I}_n)_{n \in \N}$, sodass
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item $\com{I}_1 = 0$
        \item Für $n > 1$ ist
            die kurze Folge
            \[
            \begin{tikzcd}
                0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n}
                            & \com{I}_{n-1} \arrow{r} & 0
            \end{tikzcd}
            \] exakt, zerfällt stufenweise und $\text{ker } p_n$ liegt in $\mathcal{J}$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

Wir zeigen nun zunächst, dass die Klasse $\mathcal{I}$ der K-Injektiven abgeschlossen unter
speziellen inversen Systemen ist, das heißt, dass der inverse Limes
$\mathcal{I}$-spezieller inverser Systeme wieder in $\mathcal{I}$ liegt.

Dazu beobachtet man

\begin{lemma}
    Die Klasse der exakten Komplexe ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Diagrammjagd.
\end{proof}

\begin{lemma}
    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie,
    $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(\mathcal{B})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
    Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein kovarianter
    Funktor der mit inversen Limites vertauscht und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
    
    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen
    inversen Limites.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Das liegt daran, dass $F$ $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielle inverse Systeme in
    $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme überführt.
\end{proof}

\begin{korollar}[]
Die Klasse $\mathcal{I}$ der K-injektiven Komplexe
ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
\end{korollar}

\begin{proof}
    Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{A}$,
    dann ist für jeden exakten Komplex $\com{T} $ in $\mathcal{A}$ die Klasse
    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$ abgeschlossen
    unter speziellen inversen Limites. Mit
    \[
    \mathcal{I} = \bigcap_{\com{T} \in \mathcal{E}}
    \com{\operatorname{Hom}} (\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})
    \] folgt jetzt die Behauptung.
\end{proof}

Sei nun $\com{M} \in \mathcal{K}$ ein beliebiger Komplex.
Wir wollen ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System konstruieren, dessen Limes eine Auflösung
von $\com{M} $ liefert.

\begin{definition}[Abschneiden]
    Für $n \in \N$ betrachten wir den Komplex $\tau^{\ge -n} \com{M} $
    \[
        \begin{tikzcd}
            0 \arrow{r} & \arrow{r} \operatorname{coker } d_{M}^{-n-1}
              & \arrow{r} M^{-n+1}
              & \arrow{r} M^{-n+2}
              & \cdots
        \end{tikzcd}
    .\] 
\end{definition}

\begin{bem}[]
    Dann ist für $i \ge -n$
    \[
        H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{M}) = H^{i}(\com{M})
    .\] 
\end{bem}

\begin{satz}[]
    Es existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$
    mit einem inversen System von Quasiisomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$.
\end{satz}

\begin{proof}
    Wir gehen induktiv vor: Setze $I_1 = 0$ und $f_1 = 0$. Sei $\com{M}_n = \tau^{\ge -n} \com{M}$.
    Dann ist $\com{M}_2$ nach unten beschränkt, also existiert ein K-injektiver Komplex
    $\com{I}_2$ und ein Quasiisomorphismus $f_2 \colon \com{M}_2 \to \com{I}_2$.

    Sei nun $n \ge 3$, $\com{I}_{n-1}$ und $f_{n-1}$ bereits konstruiert.
    Aus $\com{I}_{n-1}$ und $\com{M}_n$ konstruiert man einen neuen nach unten beschränkten
    Komplex, der wieder durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann. Durch geeignete Modifikation
    erhält man dann $\com{I}_n$ und $f_n$.
\end{proof}

Wir nehmen nun an, dass in $\mathcal{A}$ inverse Limites existieren.

\begin{bem}[]
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item Sei $\com{I} $ der Limes des Systems
        $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und $f\colon \com{M} \to \com{I}$ der Limes des Systems
        $(f_n)_{n \in \N}$.
    \item Dann sind zwar die $f_n$ Quasiisomorphismen, aber
        $f$ a priori kein Quasiisomorphismus, da der inverse Limes im Allgemeinen,
        insbesondere für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$, nicht exakt ist.
    \item Abhilfe: Mittag Leffler + Diagrammjagd. Also
        $f$ für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ ein Quasiisomorphismus.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{korollar}[]
Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$.
\end{korollar}

\begin{bem}[Umdrehen der Pfeile]
    Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
    Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
\end{bem}

\begin{korollar}[]
Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$.
\end{korollar}

\begin{definition}[K-flach]
    Analog zu K-injektiv für $- \otimes_A \com{N}$.
\end{definition}

\begin{satz}[]
    K-projektiv $\implies$ K-flach
\end{satz}

\begin{korollar}[]
    Es existieren K-flache Auflösungen.
\end{korollar}

\begin{korollar}
    Abgeleitetes Tensorprodukt existiert.
\end{korollar}

Die K-flachen Komplexe hängen noch auf wichtige Weise mit den K-injektiven zusammen:
\begin{satz}[]
    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$. Dann ist $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn
    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ K-injektiv ist für jeden K-Injektiven
    $\com{I} \in \mathcal{K}$.
\end{satz}


\begin{korollar}
    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}(\mathcal{A})$. Dann existiert
    ein natürlicher Isomorphismus
    \[
    R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
    = R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
    .\] 
\end{korollar}

\begin{proof}
    Da in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren und
    wir die Existenz der verschiedenen Auflösungen kennen, können wir ohne Einschränkung annehmen,
    dass $\com{P} $ K-injektiv und $\com{N} $ K-flach ist. Dann ist
    \begin{align*}
    R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P}) \\
    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
    &= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
    &= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
    .\end{align*}
\end{proof}

Die eigentliche Adjunktion bekommen wir durch Anwenden von $H^{0}$

\end{document}