\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\begin{bem}[Organisatorisches]
    Nächsten Mittwoch (20. November) findet keine Vorlesung und auch keine Plenarübung statt. Aber Mittwoch (27.11.) Vorlesung
    statt Plenarübung im großen Hörsaal Chemie
\end{bem}

\begin{satz}[Wichtiger Satz]
    Der Körper $\R$ ist vollständig, d.h. jede
    Cauchy Folge in $\R$ hat einen Limes
\end{satz}

\begin{proof} 
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Cauchy Folge reeller Zahlen, d.h. $a_n \in \R$.
    \[
        a_n \in \R: \forall n \in \N: \exists \text{ C.F. } (a_{n, m})
    .\] 
    \[
        a_{n,m} \in \Q \forall n, m \in \N, a_n = \lim_{m \to \infty} a_{n,m}
    .\] 

    $\forall  n \in \N$ wähle Index $k_n \in \N$ mit
    \[
    |a_n - a_{n,kn}| < \frac{1}{n}
    .\] 

    $k_n$ existiert, weil $\lim_{m \to \infty} a_{n,m} = a_n$ und damit $|a_n - a_{n,m}| \to 0$ also $\exists \epsilon |a_n - a_{n.m}| < \epsilon < \frac{1}{n}$
    und Archimedisches Axiom.

    Ziel: zu zeigen $\left( a_{n, k_{n}} \right)_{n \in \N}$ rationaler Zahlen ist Cauchy Folge.

    Sei $\epsilon > 0$. Dann $\exists n_{\epsilon} \in \N$ s.d. $\forall n, m \ge n_\epsilon$ :
    \begin{align*}
        |a_n - a_m| < \frac{1}{3} \epsilon, |a_n - a_{n,k_n}| < \frac{1}{3} \epsilon \\
        (a_n)_{n \in \N} \text{C.F.} \\
        |a_m - a_{m,k_m}| < \frac{1}{3} \epsilon \text{(AA)}
    .\end{align*}

    und folglich
    \[
    |a_{n, k_n} - a_{m, k_m}| \le |a_{n, k_n} - a_n + a_n - a_m + a_m - a_{m, k_m}| \le |a_{n, k_n} - a_n| + | a_n - a_m| + |a_m - a_{m, k_m}| < \epsilon
    .\] 
    $\implies (a_{n, k_n})_{n \in \N}$ Cauchy Folge
    $\implies$ Nach Konstruktion der $\R$ folgt, dass $\exists $ ,,limes' $a \in \R$, s.d.
    \[
    \forall \epsilon > 0, \exists n_\epsilon \in \N, \forall n \ge n_\epsilon: |a_{n, k_n} - a| < \epsilon
    .\] 
    Dann gilt für die Folge $(a_n)_{n\in\N}$:
    \[
    |a_n - a| \le |a_n - a_{n, k_n}| + |a_{n, k_n} - a| \le \frac{1}{n} + |a_{n, k_n} - a| \to 0
    .\] 
    $\implies a = \lim_{n \to \infty} a_n$

    $\Q$ ist dicht in $\R$, d.h.
    \[
        \forall a \in \R \text{ gilt } \forall \epsilon > 0 \exists q_\epsilon
        \in \Q \text{ s.d. } |a - q_\epsilon| \le  \epsilon
    .\] 

    Nach Konstruktion von $\R$ folgt:
    \begin{align*}
        \forall \text{C.F.} (a_n)_{n\in\N} a_n \in \Q: \\
        \exists a \in \R: a = \lim_{n \to \infty} a_n
    .\end{align*}
    $\implies \forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon$ $|a_n - a| < \epsilon \forall n \ge n_\epsilon$
\end{proof}

\begin{bem}[Archimedisches Axiom]
    \begin{align*}
        \forall a \in \R: \exists n \in \N: \text{s.d.} n - a > 0 \\
        \implies \forall \epsilon > 0 \exists n \in \N \text{s.d. } n - \frac{1}{\epsilon} > 0 \\
        \implies \frac{1}{n} < \epsilon
    .\end{align*}
\end{bem}

\section{Wichtige Aussage}

$\R$ ist vollständig, da alle C.F. in $\R$ haben einen Grenzwert in $\R$.

\section{Weitere Möglichkeiten, die Vollständigkeit von $\R$ zu charakterisieren}

\begin{definition}[Maximum, Minimum, obere/untere Schranke, Supremum, Infimum]
    Sei $M \subset \R, M \neq \emptyset$.

    Maximum:
    \[
        \text{max} M := b \in M: b \ge x, \forall x \in M
    .\] 
    Minimum:
    \[
        \text{min} M := a \in M: x \ge a, \forall x \in M
    .\] 
    Obere Schranke:
    \[
        b \in \R, \text{ s.d. } b \ge x, \forall x \in M
    .\] 
    Untere Schranke:
    \[
        a \in \R, \text{ s.d. } x \ge a, \forall x \in M
    .\] 
    Eine Menge $M$ heißt nach oben (unten) beschränkt, falls eine obere (untere) Schranke von $M$ existiert.

    Supremum: kleinste obere Schranke

    Infimum: größte untere Schranke
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{itemize}
        \item $\N$ ist von unten beschränkt, z.B. mit 0. $\text{min} \N = 1$, von oben unbeschränkt.
        \item $M = \{x \in \R  \mid x^2 < 2\} $: obere Schranke ist $\sqrt{2} $ und untere Schranke ist
            $ - \sqrt{2} $, aber $M$ besitzt kein Maximum bzw. Minimum.
            $\sqrt{2}$ ist Supremum und $-\sqrt{2} $ ist Infimum
    \end{itemize}
\end{bsp}

\begin{bem}
    Falls $b = \text{sup} M \iff$:
    \begin{enumerate}
        \item $b$ ist eine obere Schranke von $M$, d.h. $\forall x \in M: x \le b$ und
        \item Jede Zahl $c < b$ ist keine obere Schranke von M, d.h. $\forall c \in M, c < b, \exists x \in M$: $c < x$
            (oder $\forall \epsilon > 0 \exists x \in M\colon x > b - \epsilon$)
    \end{enumerate}

    Analog für $a = \text{inf}M$
\end{bem}

\begin{bsp}
     \[
         I = (a, b) := \{x \in \R  \mid a < x < b\} 
     .\] dann gilt $\text{sup} I = b, \text{inf} I = a$.
\end{bsp}

\begin{bem}
    Das Supremum (Infimum) muss nicht zur Menge $M$ gehören, aber falls 
    $\text{sup}M \in M$, dann $\text{sup}M = \text{max} M$.
\end{bem}

\begin{satz}[Vollständigkeit in $\R$ Nr. 2]
    $\R$ vollständig $\iff$ jede nichtleere beschränkte Teilmenge $M \in \R$ besitzt ein Supremum bzw. Infimum    
\end{satz}

\begin{definition}[Intervalle]
    \[
        [a, b] := \{x \in \R  \mid a \le x \le b\}  \text{ abgeschlossenes Intervall}
    .\] 
    \[
        (a, b) := \{x \in \R  \mid a < x < b\} \text{ offenes Intervall} 
    .\] 
    \[
        (a, b] := \{x \in \R  \mid a < x \le b\}  \text{ halboffenes Interval} 
    .\] 
    \[
        [a, b) \text{ analog} 
    .\] 
\end{definition}

\begin{definition}[Intervallschachtelung]
    ist eine Folge von abgeschlossenen Intervallen $I_n := [a_n, b_n] := \{ x \in \R  \mid a_n \le x \le b_n\}, n \in \N $
    mit Eigenschaften.
    1) $I_{n+1} \subset I_n n \in \N$ (bedeutet $a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_n$
    2) $\forall \epsilon > 0, \exists I_{n}$ mit der Länge
    \[
        |b_n - a_n| < \epsilon \text{ d.h. } |b_n - a_n| \to 0, n \to \infty
    .\] 
\end{definition}

\begin{satz}[Vollständigkeit in $\R$ Nr. 3]
    Vollständigkeit in $\R$ $\iff$ Intervallschachtelungseigenschaft d.h. für jede Intervallschachtelung.
    \[
        (I_n)_{n\in\N} \in \R, \exists c \in \R
    \] so dass
    \[
        {c} = \bigcap_{n = 1}^{\infty} I_n := \{x \in \R | x \in I_n \forall n \in \N\} 
    .\] 
    Diese Aussage ist verwandt mit dem Axiom vom Dedekindischen Schnitt
\end{satz}

\begin{satz}[Trennungseigenschaft]
    Seien $A, B \subset \R, A \neq \emptyset, B \neq \emptyset$ mit
    $a < b \forall a \in A, b \in B$

    Dann existiert immer ein $c \in \R$, welches A und B trennt:
    \[
        \forall a \in A, b \in B \text{ gilt } a \le  c \le b
    .\] 
    Dies ist ebenfalls $\iff$ zur Vollständigkeit in $\R$
\end{satz}

\begin{lemma}[Existenz der $k$-ten Wurzel einer positiven reellen Zahl]
    $\forall a \in \R^{+}$ $\forall k \in \N$: existiert eine positive $k$-te Wurzel.
    Das heißt die Lösung der Gleichung
    \[
        x^{k} = a
    .\] ist $\sqrt[k]{a}$ (Bezeichnung).
\end{lemma}

\begin{proof}
    1) Die Eindeutigkeit der $\sqrt[k]{a}$ (falls sie existiert)
    
    Seien $x_1, x_2 \in \R$ zwei $k$-te Wurzeln des $a \in R^{+}$ :
    \[
    x_1^{k} = a = x_2^{k}
    .\] 
    Dann gilt:
    \[
        0 = x_1^{k} - x_2^{k} = (x_1 - x_2) \underbrace{\sum_{m=0}^{k-1} x_1^{k-1-m} x_2^{m}}_{> 0}
    .\] mit dieser Hilfsformel
    \[
        x^{n} - y^{n} = (x - y) \sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k}y^{k}
    .\] $\implies$ $x_1 - x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$

    2) Existenz:
    $a = 1 \implies \sqrt[k]{1} = 1$ ($1^{k} = 1$ )
    Sei $a > 1$ und Annahme, dass $\exists$ Wurzel für $0 < a' < 1$
    Dann definiere:
    \[
        \sqrt[k]{a} := \frac{1}{\sqrt[k]{\frac{1}{a}} }
    .\] 
    \[
        \left( \sqrt[k]{a}  \right) ^{k} = \left( \frac{1}{\sqrt[k]{a'} } \right)^{k} = \frac{1}{\sqrt[k]{a'}^{k} } = \frac{1}{a'} = a
    .\] 
    Es bleibt zu zeigen: $\exists \sqrt[k]{a} $ für $0 < a < 1$.
\end{proof}

\end{document}