\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\usepackage{listings}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}

\lstset{
    frame=tb,
    tabsize=4
}

\title{Übungsblatt Nr. 4}
\author{Samuel Weidemeier, Christian Merten}

\begin{document}

\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}}
    \hline
    Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline
    Punkte & & & & & & \\[5mm] \hline
\end{tabular}

\begin{aufgabe}
    Zahlendarstellung

    \begin{enumerate}[a)]
        \item Berechnung der Determinante einer $2\times 2 $ Matrix. 
            \begin{lstlisting}[language=C++, title=Berechnung der Determinante, captionpos=b]
double determinante_double(double a, double b, double c, double d) {
    return a*d - b*c;
}

float determinante(float a, float b, float c, float d) {
    return a*d - b*c;
}
            \end{lstlisting}

            Das Ergebnis bei Verwendung von \verb+float+ ist $10000$ und damit nicht exakt.
            Das liegt an der zu geringen Größe eines \verb+float+'s, der nur rund $7$ Dezimalstellen exakt
            speichern kann, danach wird gerundet. Das führt in diesem Fall zum Verlust aller
            Nachkommastellen. Bei Verwendung des Datentyps \verb+double+ reichen die rund $16$ Stellen aus, um
            das Ergebnis exakt darzustellen.
        \item Assoziativität bei \verb+float+s
            \begin{lstlisting}[language=C++, title=Vergleich der zwei Versionen, captionpos=b]
float testAssoziativitaet() {
    for (int n = 6; n <= 14; n++) {
        // (a+b)+c
        float vers1 = (pow(10, n) + pow(-10, n)) + pow(10,-n);
        // a+(b+c)
        float vers2 = pow(10, n) + (pow(-10, n) + pow(10,-n));
        print(n, vers1, vers2, 0);
    }
}
            \end{lstlisting}

            Das Ergebnis ist bereits ab $n =  5$ nicht mehr assoziativ. Das liegt daran, dass
            bei $(a+b)+c$ zunächst $10^{n} - 10^{n}$ berechnet wird, das aber immer null ist und danach
            einfach $10^{-n}$ ausgewertet wird. Dabei kann die gesamte Präzision des \verb+float+'s
            für die Nachkommastellen von $10^{-n}$ verwendet werden. Bei $a + (b+c)$ wird erst
            $-10^{n} + 10^{-n}$ berechnet. Hierbei reicht die Präzision nicht aus, um die Nachkommastellen
            darzustellen, da jetzt die Zahl bereits vor dem Komma sehr groß ist. Dadurch wird
            $-10^{n} + 10^{-n}$ auf $-10^{n}$ gerundet und dann mit $10^{n}$ addiert, was dann null ergibt.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} Effektiver Zinssatz

    Programm siehe \verb+uebung4.cpp+

    Die Ergebnisse erleiden durch Runden und den begrenzten Speicherplatz des \verb+float+'s einige
    Ungenauigkeiten. Die Differenz zum Grenzwert wird wie erwartet immer geringer.

    Die Genauigkeit der \verb+double+ Werte ist höher.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} Multiplikation im Zweierkomplement

    Zeigen Sie, dass für $n \in \N$ mit
    \[
        a, b, a \cdot b \in \left[ -2^{n-1}, 2^{n-1}- 1 \right] 
    .\] für die Multiplikation im Zweierkomplement folgendes gilt:
    \[
        d_n(a\cdot b) = s_n(d_n(a)\cdot d_n(b))
    .\] 

    \begin{proof}
        Seien $a, b \in \left[ -2^{n-1}, 2^{n-1}-1 \right] $ mit $-2^{n-1} \le a\cdot b \le 2^{n-1}-1$ beliebig.

        Fallunterscheidung:
        \begin{enumerate}[(i)]
            \item $a, b \ge 0$. Dann ist $a \cdot b \ge 0$. Damit
                \[
                    s_n(d_n(a)\cdot d_n(b)) = s_n(a\cdot b) = a\cdot b = d_n(a\cdot b)
                .\] 
            \item $a < 0, b > 0$ (analog $a > 0, b <0)$. Dann ist $a \cdot b < 0$.
                \begin{align*}
                    s_n(d_n(a)\cdot d_n(b)) &= s_n((2^{n} - |a|) \cdot b) \\
                                            &= s_n((2^{n} + a) \cdot b) \\
                                            &= s_n(2^{n} \cdot b + a\cdot b) \\
                                            &= s_n(2^{n} \cdot b - |a+b|) \\
                                            &= 2^{n} - |a+b| \\
                                            &= d_n(a\cdot b)
                .\end{align*}
            \item $a < 0, b < 0$. Dann ist  $a \cdot b > 0$.
                \begin{align*}
                    s_n(d_n(a)\cdot d_n(b)) &= s_n((2^{n} - |a|)(2^{n} - |b|) \\
                                            &= s_n((2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot b + a\cdot 2^{n} + a\cdot b) \\
                                            &= a \cdot b \\
                                            &= d_n(a\cdot b)
                .\end{align*}   
            \item $a < 0, b = 0$ (analog $a = 0, b < 0$). Dann ist  $a \cdot b = 0$.
                \begin{align*}
                    s_n(d_n(a) \cdot d_n(b)) = s_n(\left( 2^{n} - |a| \right) \cdot 0) = s_n(0) = 0 = d_n(0) = d_n(a\cdot b)
                .\end{align*}
        \end{enumerate}
    \end{proof}
    
\end{aufgabe}

\end{document}