\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\begin{satz}[monoton + beschränkt $\implies$ konvergent]
    Eine monoton wachsende (fallende) nach oben (unten) beschränkte Folge konvergiert
    gegen ihr Supremum:
    \[
    \sup_{n \in \N} a_n := \sup \{a_n | n \in \N\} = \min \{c \in \R | a_n \le c\} 
    .\] bzw. ihr Infimum:
    \[
    \inf_{n \in \N} a_n := \inf \{a_n  \mid n \in \N\} = \max \{c \in \R  \mid a_n \ge  c\} 
    .\] 
\end{satz}

\begin{proof}
    Gegeben $a_n \le a_{n+1}$ $\forall n \in \N$, $a_n \le c$ $\forall n \in \N$.
    Definiere $s := \text{sup}_{n \in \N} a_n$.

    Z.z.: $a_n \to s$. Sei $\epsilon > 0$. Dann $s - \epsilon$ keine obere
    Schranke, d.h. $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $s - \epsilon < a_{n_\epsilon}$.

    Damit $s - \epsilon < a_{n_\epsilon} \le a_n \le s < s + \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$  \\
    $\implies |a_n - s| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon \implies a_n \to s$
    
\end{proof}

\begin{satz}[Bolzano-Weierstraß]
    Jede beschränkte Folge besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge.
\end{satz}

\begin{proof}
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ beschränkt, d.h. $\exists a, b \in \R$, s.d. $a \le a_n \le b$ $\forall n \in \N$.

    Konstruiere induktiv eine Folge von abgeschlossenen Intervallen $I_k := [a_k, b_k]$ mit:
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item $I_k$ enthält unendlich viele Folgenelemente von $(a_n)_{n\in\N}$.
        \item $I_k \subset I_{k - 1}$ $\forall k \in \N, k \ge 2$
        \item $(b_k - a_k) \le 2^{1-k} (b_1 - a_1)$ $\forall k \in \N$
    \end{enumerate}

    Für $k = 1$ wähle $a_1 := a$, $b_1 := b$.\\
    $k \to k+1$ : Intervall $I_k := [a_k, b_k]$ mit Eigenschaften (1)-(3) sei konstruiert.

    Berechne  $M := \frac{a_k + b_k}{2}$ (Mitte des Intervalls $I_k$). Wegen (1): $[a_k, M]$
    oder $[M, b_k]$ enthält unendlich viele Folgenelemente.

    Setze:
    \begin{align*}
        I_{k+1} := \begin{cases}
            [a_{k}, M] & \text{falls } [a_k, M] \text{ unendlich viele Folgenelemente enthält} \\
            [M, b_k] & \text{falls } [M, b_k] \text{ unendlich viele Folgenelemente enthält}
        \end{cases}
        \intertext{in beiden Fällen:}
        b_{k+1} - a_{k+1} = \frac{b_k - a_k}{2} \stackrel{(3)}{\le } \frac{1}{2} 2^{1-k}(b_1 - a_1) = 2^{-k}(b_1 - a_1)
    .\end{align*} $\implies$ (1) - (3) erfüllt für $I_{k+1}$.

    Wir definieren eine Teilfolge $(a_{n_k})$ mit $a_{n_k} \in I_k$ $\forall k \in \N$ :\\
    $k = 1$ : Setze $a_{n_1} := a, n_1 := 1$.\\
    $k \to k+1$ : Wegen (1) ex. ein Index $n_{k+1} > n_k$ mit $a_{n_{k+1}} \in I_{k+1}$.

    $I_k$ bilden eine Intervallschachtelung:
    \[
        \implies \underbrace{a_k}_{\to a} \le a_{n_k} \le \underbrace{b_k}_{\to a} \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} a_{n_k} \to a, k \to \infty
    .\] 
\end{proof}

\begin{bsp}
    $a_n = (-1)^{n}$. Teilfolge: $(1,1,1,1, \ldots) \to 1$, $(-1,-1,-1, \ldots) \to -1$.
\end{bsp}

\begin{definition}[Häufungspunkt]
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\R$. Dann heißt $a \in \R$ Häufungspunkt der Folge,
    falls $\forall \epsilon > 0$ gilt $|a_n - a| < \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item $a_n = (-1)^{n}$ hat zwei Häufungspunkte $1$ und $-1$.
        \item Falls $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, dann ist $a$ Häufungspunkt von $(a_n)_{n\in\N}$.
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{bem}
    Zu jedem Häufungspunkt $a$ ex. eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k \in \N}$ von $(a_n)_{n\in\N}$, die
    gegen $a$ konvergiert, also $a = \lim_{k \to \infty} a_{n_k}$:
    \[
    a \text{ Häufungspunkt} \iff a = \lim_{k \to \infty} a_{n_k} \text{ für eine } (a_{n_k})_{k \in\N}
    .\] 
\end{bem}

\begin{proof}
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item ,,$\implies$'': Sei $a$ Häufungspunkt (HP). Wähle $n_1 \in \N$ mit
            $a_{n_1} \in D_1(a) = \{x  \mid  |x - a| < 1\} $.

            Sei $n_1, \ldots, n_{k-1}$ bereits gewählt.\\
            Wähle $n_k > n_{k-1}$, s.d. gilt:
            \[
                a_{n_k} \in D_{\frac{1}{k}}(a) = \left\{x  \mid  |x-a| < \frac{1}{k}\right\} 
            .\] 

            Dann ist $(a_{n_k})_{k \in\N}$ eine Teilfolge, $|a_{n_k} - a | < \frac{1}{k}$.\\
            $\implies a_{n_k} \to a, k \to \infty$.
        \item ,,$\impliedby$ '': Sei $(a_{n_k})_{k\in\N}$ eine Teilfolge mit $\lim_{k \to \infty} a_{n_k} = a$.

            Zu zeigen: $a$ ist HP.

            Sei $\epsilon > 0$. Dann ex. $k_\epsilon \in \N $, s.d. $\forall k \ge k_\epsilon$ gilt:
            \[
                |a_{n_k} - a| < \epsilon \implies \forall k \ge k_\epsilon \quad a_{n_k} \in D_\epsilon(a)
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{bem}
    Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, dass jede beschränkte Folge in $\R$ mindestens einen $HP$ besitzt.
\end{bem}

\begin{definition}[Limes Superior]
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\R$. Ist $(a_n)_{n\in\N}$ nach oben beschränkt, dann
    definiere eine reelle Folge $(s_n)_{n \in N}$ durch $s_n := \text{sup}\{a_k  \mid  k \ge n\} $.

    $(s_n)_{n\in\N}$ ist monoton fallend. Ist $(s_{n})_{n \in \N}$ nach unten beschränkt, dann definiere
    \[
    \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \text{sup}\{a_k  \mid  k \ge n\} 
    .\] 

    Falls $(a_n)_{n\in\N}$ nicht nach oben beschränkt ist, setzte $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := + \infty$.

    Falls $(a_n)_{n\in\N}$ nach oben beschränkt, aber $(s_n)_{n\in\N}$ \textit{nicht} nach unten beschränkt ist, \\
    setze $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n := - \infty$.
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item $\lim_{n \to \infty} a_n = a \implies \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = a$.
        \item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } (-1)^{n} = \lim_{n \to \infty} \text{sup }\{(-1)^{k}  \mid k \ge n\} = 1 $
        \item $\lim_{n \to \infty} \text{sup }n = + \infty$\\
            $\lim_{n \to \infty} \text{sup } (-n) = - \infty$
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{definition}[Limes Inferior]
    Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen. Dann setze:
    \[
        \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n := - \lim_{n \to \infty} \text{sup } (-a_n)
    .\] 
\end{definition}

\begin{bsp}
    \begin{enumerate}
        \item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } (n^{2}) = + \infty$\\
            $\lim_{n \to \infty} \text{inf } (n^2) = -\lim_{n \to \infty} \text{sup }\{-k^{2}  \mid  k \ge n\}
            = - \lim_{n \to \infty} (-n^2) = +\infty$
        \item \[
        a_n := \begin{cases}
            \frac{n}{2} & n \text{ gerade} \\
            0 & n \text{ ungerade}
        \end{cases}
        .\] $(a_n) = (0,1,0,2,0,3, \ldots)$ 

        $\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = 0$ \\
        $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = + \infty$
    \end{enumerate}
\end{bsp}

\begin{satz}[Charakterisierung von $\lim \text{sup}$ und $\lim \text{inf}$]
    \label{charakterisierung}
    Es sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller Zahlen.
    \begin{enumerate}
        \item $\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = a \in \R \iff$ \\
            $\forall \epsilon > 0$ gilt:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item $a_n < a+ \epsilon$ für fast alle $n \in N$.
                \item $a_n > a - \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
            \end{enumerate}
        \item $\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = a \in \R \iff$  \\
            $\forall \epsilon > 0$ gilt:
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item $a_n > a - \epsilon$ für fast alle $n \in \N$
                \item $a_n < a + \epsilon$ für unendlich viele $n \in \N$.
            \end{enumerate}
        \item $(a_n)_{n \in \N}$ ist genau dann konvergent, wenn:
            \[
            \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = a \in \R
            .\] In diesem Fall gilt: $\lim_{n \to \infty} a_n = a$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bem}
    Satz \ref{charakterisierung} impliziert:
    \begin{align*}
        \lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n = \text{sup } \{\text{HP von} (a_n)_{n\in\N}\} \\
        \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n = \text{inf } \{\text{HP von } (a_n)_{n\in\N}\} 
    .\end{align*}

    $\forall \epsilon > 0$ liegen unendlich viele Folgenelemente im offenen Intervall
    \[
        \left(\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n\right) - \epsilon < a_n < \left(\lim_{n \to \infty} \text{sup } a_n\right) + \epsilon \qquad (\text{1 (i) (ii)})
    .\] bzw.
    \[
        \left(\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n\right) -\epsilon < a_n < \left( \lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n \right) + \epsilon \qquad (\text{2 (i) (ii)})
    .\] 
    Fast alle Folgenelemente erfüllen:
    \[
        \left(\lim_{n \to \infty} \text{inf } a_n\right) - \epsilon < a_n < \left( \lim_{n \to \infty} \text{inf }a_n \right)  +\epsilon \qquad (\text{1 (i) und 2 (i)})
    .\] 
\end{bem}

\end{document}