\documentclass[uebung]{../../../lecture} \title{Lineare Algebra I: Übungsblatt 8} \author{Christian Merten, Mert Biyikli} \begin{document} \punkte \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)] \item Beh.: $\underline{w}$ ist eine Basis von $W = K[X]_{\le 3}$ \begin{proof} Zz.: $\underline{w}$ ist linear unabhängig Seien $a, b, c, d \in K$ mit \begin{align*} a X^{0} + b (X^{0} + X^{1}) + c (X^{1} - X^{2} + X^{3} + d (X^{3} + X^{0}) &= 0 \\ \implies X^{0}(a + b + d) + X^{1} (b + c) + X^{2} (-c) + X^{3}(c + d) = 0 .\end{align*} Wegen $\underline{v}$ linear unabhängig, folgt: \begin{align*} c = 0 \implies d = 0 \implies b = 0 \implies a = 0 .\end{align*} Zz.: $\underline{w}$ ist Erzeugendensystem Sei $v \in K[X]_{\le 3}$ beliebig, dann ex. $a, b, c, d \in K$ wegen $\underline{v}$ Basis s.d. $v = a X^{0} + b X^{1} + c X^{2} + d X^{3} $. Wähle nun $\alpha := a - b - 2c - d, \beta := b + c, \gamma := -c, \delta := c+d$. Damit folgt direkt: \begin{align*} v &= \alpha X^{0} + \beta (X^{0} + x^{1}) + \gamma (X^{1} - X^{2} + X^{3}) + \delta (X^{3} + X^{0}) \\ &= a X^{0} + b X^{1} + c X^{2} + d X^{3} .\end{align*} $\implies \underline{w}$ ist Basis \end{proof} \item Seien $\phi_{\underline{v}}\colon K^{4} \to K[X]_{\le 3}$ und $\phi_{\underline{w}}\colon K^{4} \to K[X]_{\le 3}$ die kanonischen Isomorphismen. \begin{enumerate}[(i)] \item \[ M_{\underline{v}}^{\underline{v}}(\partial) = A := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} .\] \begin{proof} Zu zeigen.: $F_{\underline{v}}^{\underline{v}}(A) = \partial$. Zu überprüfen für die vier Basisvektoren von $K[X]_{\le 3}$ aus $\underline{v}$. \[ F_{\underline{v}}^{\underline{v}}(A) = \phi_{\underline{v}} \circ F_{4,4}(A) \circ \phi_{\underline{v}}^{-1} .\] \begin{enumerate} \item $v_1 = X_0$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{0}) = (1, 0, 0, 0)$ \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} .\] $\implies \phi_{\underline{v}}(0, 0,0,0) = 0 = \partial(X_0)$ \item $v_2 = X_1$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{1}) = (0, 1, 0, 0)$ \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} .\] $\implies \phi_{\underline{v}}(1, 0, 0, 0) = X^{0} = \partial(X_1)$ \item $v_3 = X_2$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{2}) = (0, 0, 1, 0)$ \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} .\] $\implies \phi_{\underline{v}}(0, 2, 0, 0) = 2X^{1} = \partial(X_2)$ \item $v_4 = X_3$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{3}) = (0, 0, 0, 1)$ \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} .\] $\implies \phi_{\underline{v}}(0, 0, 3, 0) = 3X^{2} = \partial(X_3)$ \end{enumerate} $\implies F_{\underline{v}}^{\underline{v}}(A) = \partial$ \end{proof} \item \[ M_{\underline{w}}^{\underline{v}}(id_W) = A := \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} .\] \begin{proof} Zu zeigen.: $F_{\underline{w}}^{\underline{v}}(A) = id$ Zu überprüfen für die vier Basisvektoren von $K[X]_{\le 3}$ aus $\underline{v}$. \[ F_{\underline{w}}^{\underline{v}}(A) = \phi_{\underline{w}} \circ F_{4,4}(A) \circ \phi_{\underline{v}}^{-1} .\] \begin{enumerate} \item $v_1 = X_0$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{0}) = (1, 0, 0, 0)$ \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} .\] $\implies \phi_{\underline{w}}(1, 0,0,0) = X^{0} = id_W(X^{0})$ \item $v_2 = X_1$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{1}) = (0, 1, 0, 0)$ \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} .\] $\implies \phi_{\underline{w}}(-1, 1, 0, 0) = -X^{0} + X^{0} + X^{1} = X^{1} = id_W(X^{1})$ \item $v_3 = X_2$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{2}) = (0, 0, 1, 0)$ \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} .\] $\implies \phi_{\underline{w}}(-2, 1, -1, 1) = -2X^{0} + X^{0} + X^{1} - X^{1} + X^{2} - X^{3} + X^{3} + X^{0} = X^{2} = id_W(X^{2})$ \item $v_4 = X_3$, $\phi_{\underline{v}}^{-1}(X^{3}) = (0, 0, 0, 1)$ \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} .\] $\implies \phi_{\underline{w}}(-1, 0, 0, 1) = -X^{0} + X^{3} + X^{0} = X^{3} = id_W(X^{3})$ \end{enumerate} $\implies F_{\underline{w}}^{\underline{v}}(A) = id_W$ \end{proof} \item \[ M_{\underline{v}}^{\underline{w}}(id_W) = A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} .\] \begin{proof} Erfolgt analog zu (ii). \end{proof} \item \[ M_{\underline{w}}^{\underline{w}}(\partial) = M_{\underline{w}}^{\underline{v}}(id_W) \cdot M_{\underline{v}}^{\underline{v}}(\partial) \cdot M_{\underline{v}}^{\underline{w}}(id_W)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ \end{pmatrix} .\] \item \[ M_{\underline{w}}^{\underline{v}}(\partial) = M_{\underline{w}}^{\underline{v}}(id_W) \cdot M_{\underline{v}}^{\underline{v}}(\partial) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & -6 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix} .\] \item \[ M_{\underline{v}}^{\underline{w}}(\partial) = M_{\underline{v}}^{\underline{v}}(\partial) \cdot M_{\underline{v}}^{\underline{w}}(id_W) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} .\] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Seien $f\colon U \to V$ und $g\colon V \to W$ lineare Abbildungen zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen. \begin{enumerate}[(a)] \item Beh.: $\text{dim } \text{ker}(g\circ f) \le \text{dim } \text{ker } g + \text{dim } \text{ker }f$ \begin{proof} Schränke $g$ auf $\text{Bild}(f)$ ein durch $g'\colon \text{Bild}(f) \to W$ mit $v \mapsto g(v)$. \begin{align*} \text{dim } \text{ker }(g \circ f) &= \text{dim } U - \text{dim}(\text{Bild}(g \circ f)) \\ &= \text{dim }U - \text{Rg}(g')\\ &= \text{Rg}(f) - \text{Rg}(g') + \text{dim }U - \text{Rg}(f) \\ &= \text{dim } \text{ker }g' + \text{dim } \text{ker }f \\ &\le \text{dim } \text{ker }g + \text{dim } \text{ker }f .\end{align*} \end{proof} \item Beh.: $\text{Rg}(f) - \text{Rg}(g \circ f) \le \text{dim } V - \text{Rg}(g)$ \begin{proof} Aus (a) folgt: \begin{align*} \text{dim } \text{ker}(g \circ f) &\le \text{dim } \text{ker}(g) + \text{dim } \text{ker}(f) \\ \implies \text{dim } U - \text{Rg}(g \circ f) &\le \text{dim } V - \text{Rg}(g) + \text{dim } U - \text{Rg}(f) \\ \implies \text{Rg}(f) - \text{Rg}(g \circ f) &\le \text{dim } V - \text{Rg}(g) .\end{align*} \end{proof} \item Beh.: Für $A \in M_{n, m}(K)$ und $B \in M_{l,n}(K)$ gilt $S\text{Rg}(A) - S\text{Rg}(B \cdot A) \le n - S\text{Rg}(B) $. \begin{proof} Seien $A \in M_{n,m}(K)$ und $B \in M_{l,n}(K)$ beliebig, dann definiere $f := F_{n, m}(A)$ und $g := F_{l, n}(B)$. Damit folgt: $F_{m, l}(B \cdot A) = g \circ f$. Dann folgt aus (b) direkt: \[ \text{Rg}(f) - \text{Rg}(g \circ f) \le \text{dim } K^{n} - \text{Rg}(g) .\] Mit $\text{Rg}(f) = S\text{Rg}(A) $, $\text{Rg}(g) = S\text{Rg}(B) $ und $\text{Rg}(g \circ f) = S\text{Rg}(A\cdot B)$ ergibt sich \[ S\text{Rg}(A) - S\text{Rg}(B \cdot A) \le n - S\text{Rg}(B) .\] \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} Sei $V$ ein Vektorraum, $U$ ein Untervektorraum und $W$ ein Komplement von $U$ in $V$. \begin{enumerate}[(a)] \item Beh.: Es existiert eine eindeutige lineare Abbildung $\pi\colon V \to V$, welche eingeschränkt auf $U$ die Identität und eingeschränkt auf $W$ konstant null ist. \begin{proof} Sei $(v_i)_{i\in I}$ Basis von $U$ und $(v_j)_{j \in J}$ mit $J \cap U = \emptyset$ Basis von $W$. Damit ist $(v_i)_{i \in I \cup J}$ Basis von $V$. Definiere $\pi\colon V \to V$ linear mit \[ \pi(v_i) = \begin{cases} v_i & \text{falls } i \in I \\ 0 & \text{falls } i \in J \end{cases} .\] Schränke nun $\pi$ auf $U$ ein: Dann ex. für alle $u \in U$ ein $(\alpha_i)_{i \in I} \in K^{(I)}$, s.d. $v = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i$. Damit: \[ \pi(v) = \sum_{i \in I} \alpha_i \pi(v_i) = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i = v .\] Schränke nun $\pi$ auf $W$ ein: Dann ex. für alle $w \in W$ ein $(\alpha_j)_{j \in J} \in K^{(J)}$, s.d. $v = \sum_{i \in J} \alpha_j v_j$. Damit \[ \pi(v) = \sum_{j \in J} \alpha_j \pi(v_j) = 0 .\] $\pi$ ist eindeutig, da eindeutig durch die Basisvektoren definiert. \end{proof} \item Beh.: Für dieses $\pi$ gilt: $\pi \circ \pi = \pi$. \begin{proof} Seien die Basen wie in (a). Sei $v \in V$ beliebig. Dann ex. ein $(\alpha_i)_{i\in I} \in K^{(I)}$ und ein $(\beta_j)_{j\in J} \in K^{(J)}$, s.d. \[ v = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i + \sum_{j \in J} \beta_j v_j .\] Damit gilt \[ \pi(v) = \sum_{i \in I} \alpha_i \pi(v_i) + \sum_{j \in J} \beta_j \pi(v_j) = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i .\] $\implies$ \[ \pi(\pi(v)) = \pi\left( \sum_{i \in I} \alpha_i v_i\right) = \sum_{i \in I} \alpha_i v_i = \pi(v) .\] $\implies \pi = \pi \circ \pi$ \end{proof} \item Beh.: Für $\pi : V \to V$ eine lineare Abbildung gilt \[ V \stackrel{\sim }{=} \text{Bild}(\pi) \oplus \text{ker } \pi .\] \begin{proof} Sei $U$ Komplement zu $\text{ker }\pi$ und $(u_i)_{i\in I}$ Basis von $U$. Wegen Homomorphiesatz gilt: $\text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi)$. Nach Blatt 6 Aufg. 3c) gilt: $(u_i + \text{ker } \pi)_{i \in I}$ ist Basis von $V / \text{ker }(\pi)$. Wegen $(u_i)_{i \in I}$ Basis von $U$, folgt also $V / \text{ker }(\pi) \stackrel{\sim }{=} U$. Damit: \[ \text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi) \stackrel{\sim }{=} U .\] Da $U$ das Komplement zu $\text{ker }\pi$ ist, folgt daraus direkt: \[ \text{Bild}(\pi) \oplus \text{ker }\pi \stackrel{\sim }{=} U \oplus \text{ker }\pi \stackrel{\sim }{=} V .\] \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} \[ A_1 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A_2 := \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A_3 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .\] \begin{proof} Sei $\underline{e}$ die kanonische Basis des $V := \Q^{2}$. \begin{enumerate} \item Wähle $U = V$ und $W = \{0\} $ und wähle $\pi = id$ in der kanonischen Basis, damit gilt \[ A_1 := M(\pi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} .\] Die Eigenschaften sind für die Einheitsmatrix offensichtlich erfüllt. \item Wähle die Basis $\underline{v} =\{(1, 1), (1, 0)\}$ und damit $U = \text{Lin}((1,1))$ und $W = \text{Lin}((1,0))$. Nun definiere $\pi: V \to V$ mit $\pi((1,1)) = (1,1)$ und $\pi((1,0)) = (0,0)$. Die Darstellungsmatrix von $\underline{v}$ nach $\underline{e}$ ergibt sich damit durch: \[ A_2 := M_{\underline{e}}^{\underline{v}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} .\] \[ A_2 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A_2 .\] \[ A_2 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (1,1)^{t} .\] \item Wähle die Basis $\underline{v} =\{(0, 1), (1, 1)\}$ und damit $U = \text{Lin}((1,1))$ und $W = \text{Lin}((0,1))$. Nun definiere $\pi: V \to V$ mit $\pi((1,1)) = (1,1)$ und $\pi((0,1)) = (0,0)$. Die Darstellungsmatrix von $\underline{v}$ nach $\underline{e}$ ergibt sich damit durch: \[ A_3 := M_{\underline{e}}^{\underline{v}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ A_3 \cdot A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A_3 .\] \[ A_3 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (1,1)^{t} .\] \end{enumerate} \end{proof} \end{aufgabe} \end{document}