\documentclass{../../../lecture} \usepackage{tikz} \usepackage{enumerate} \begin{document} \textbf{Heute:} Frustcafé (deswegen kürzere Plenarübung) \textbf{Nächsten Mittwoch:} Vorlesung fällt aus, aber Ersatztermin wird gesucht. \section{Reelle Zahlen} Fortsetzung Beweis: \begin{proof} \begin{enumerate} \item Zz: $\forall [ (a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$ $\exists z \in \R$ \[ z = \pm \left( z_0 + 0,d_1d_2d_3 \ldots ) \right) .\] O.B.d.A. $z > 0, a_n > 0, n \in \N$ \[ (a_n)_{n\in\N} \text{ C.F. } \implies 0 < a_n < N \text{ } \forall n \in \N .\] $\implies z_0 \in \N_0$, s.d. O.B.d.A. $(a_n)_{n\in\N} \subset I_0$ \[ I_0 := \{ x \in \Q \mid 0 \le z_0 \le x < z_0 + 1 < N\} .\] \begin{tikzpicture} \draw (0, 0) -- (10, 0); \end{tikzpicture} $I_0$ wird unterteilt in 10 Teilintervalle. Für ein $d_1 \in \{0, \ldots, 9\} $ ein Intervall \[ I_1 := \{ x \in I_0 \mid z_0 + d_1 \cdot 10^{-1} \le x < z_0 + (d_1 + 1) \cdot 10^{-1}\} .\] Sei $z_1 = z_0 + 0,d_1 $, dann \[ I_1 = \{ x \in I_0 \mid z_1 \le x < z_1 + 10^{-1}\} .\] $\implies \exists n_1$ Index s.d. $|z_1-a_{n_1}| \le 10^{-1}$ usw. $\ldots$ Ergebnis: eine Folge von Teilintervallen o.B.d.A. \[ (a_n)_{n\in\N} \subset \ldots \subset I_{k+1} \subset I_k \subset \ldots \subset I_1 \subset I_0 .\] \[ z_k := z_{k-1} + d_k \cdot 10^{-k} \in \Q .\] \[ I_k = \{x \in I_{k-1} \mid z_k \le x < z_k + 10^{-k}\} .\] $\exists n_k:$ Index s.d. $|z_k - a_{n_k}| \le 10^{-k}$ Das heißt für eine Folge \[ z_k := z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k \in \Q, k \in \N .\] existiert eine Teilfolge $(a_{n_k})_{k\in\N}$ von der C.F. $(a_n)_{n\in\N}$, s.d. $|z_k - a_{n_k}| \le 10^{-k}$, $k \in \N$ $\implies (z_k - a_{n_k})_{k \in \N}$ Nullfolge, d.h. \\ $\implies (z_k)_{k\in\N} \sim (a_{n_k})_{k\in\N}$ \\ $\implies (z_k)_{k\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N} $ \\ $\implies (z_k)_{k\in\N} \in [(a_n)_{n\in\N}]$ und der resultierende Dezimalbruch ist: \[ z := z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k \ldots \in \R .\] \end{enumerate} Wir haben gezeigt: \[ \forall [(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R} \text{: } \exists z \in \R .\] Damit: $\implies$ Abbildung ist surjektiv und damit bijektiv. \[ \implies \exists \text{ ,,inverse Abbildung''}: \overline{\R} \to \R .\] die auch bijektiv ist. Diese Abbildung ist auch verträglich mit der Addition und der Multiplikation, d.h. $[(a_n)_{n\in\N}] \mapsto a$ und $[(a_n')_{n \in \N} \mapsto a']$ Dann $[ (a_n)_{n\in\N}] + [(a'_n)_{n\in\N}] := a + a'$ \\ $[ (a_n)_{n\in\N}] \cdot [(a'_n)_{n\in\N}] := a \cdot a'$ Abbildung $\R \longleftrightarrow \overline{\R}$ ist Isomorphismus. \end{proof} \begin{bem} Die Darstellung ist durch einen Dezimalbruch ist nicht immer eindeutig. z.B.: \[ 0,9999 \ldots = 0,\overline{9} = 1 = 1,0000 \ldots .\] Deshalb, falls $z = z_0 + 0,d_1d_2 \ldots d_k 999 $ $d_k \le 8$ dann: $z := z_0 + 0, d_1 d_2 \ldots (d_k + 1) 0 \ldots$ \end{bem} \begin{bem} Der Satz gilt auch für ,,b-adische'' Brüche mit Basis $b \in \N, b \ge 2$ : $a \in \R$ besitzt eine sogenannte ,,b-adische Entwicklung'': \[ a = \pm (a_0 + 0,d_1d_2 \ldots) = \pm (a_0 + d_1 \cdot b^{-1} + d_2 \cdot b^{-2} + \ldots ) .\] mit $a_0 = g_0 + g_1 \cdot b + g_2 \cdot b^{2} + \ldots$ $\in \N_0$ mit Ziffern $d_n, g_n \in \{0, 1, \ldots, b-1\} $ Für $b=2$ : dijadische Entwicklung \end{bem} \subsubsection{Zusammenfassung} Beobachtung: Jede reelle Zahl ist ein Grenzwert von einer Folge $(a_n)_{n\in\N}$ rationaler Zahlen. Beispiel: $\sqrt{2} $ \begin{tikzpicture} \draw (0, 0) -- (10, 0) -- (10, 0.5) -- (0, 0.5) -- (0,0); \draw (2, 0) -- (8, 0) -- (8, 0.3) -- (2, 0.3) -- (2,0); \draw (4, 0) -- (6, 0) -- (6, 0.2) -- (4, 0.2) -- (4,0); \end{tikzpicture} $\forall (a_n), (b_n)$ $a_n \to a, b_n \to a \iff (a_n - b_n)_{n \in \N}$ Nullfolge. Deshalb: \begin{itemize} \item Definiere C.F. rationaler Zahlen \item Äquivalenzrelation: \[ (a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N} :\iff (a_n - b_n)_{n \in \N} \text{ Nullfolge } .\] und Äquivalenzklasse: \[ \overline{R} := \{ [(a_n)_{n\in\N}]\} .\] \item Eine Klasse aus $\overline{\R} \iff$ eine reelle Zahl \end{itemize} Konstruktion nach Cantor, 1873 Als nächstes: $\R$ ist ein angeordneter Körper mit ,,$+$ '', ,,$\cdot$'', ,,$>$'' und ist auch ,,vollständig''. \subsection{Der Körper $\R$} Seien $a \in \R, b \in \R$ und $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ zugehörige approximierende Folgen rationaler Zahlen. Alle Struktureigenschaften von $\Q$ sind über den Grenzübergang auf $\R$ übertragbar. \begin{definition}[Absolutbetrag] \[ |a| := \lim_{n \to \infty} |a_n| .\] Folglich: Begriffe ,,Konvergenz'' und ,,Cauchy-Folgen'' gelten auch für Folgen reeller Zahlen. \end{definition} \begin{definition}[Arithmetische Grundoperationen] \[ a + b := \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) .\] \[ a \cdot b := \lim_{n \to \infty} \left( a_n \cdot b_n \right) .\] \end{definition} \begin{definition}[Ordnungsrelation] \[ a > b :\iff \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) > 0 .\] und folglich: $\exists \alpha \in \Q_+$ s.d. $a_n - b_n \ge \alpha$ für fast alle $n \in \N$. \[ a \ge b :\iff a > b \text{ oder } a = b .\] \[ a < b :\iff b > a .\] \[ a \le b :\iff b \ge a .\] \end{definition} \begin{definition}[Positivität] \[ \R^{+} := \{a \in \R \mid a > 0\} .\] \end{definition} \begin{bem} Definitionen sind unabhängig von der Wahl der Folge: \begin{proof}[Beispiel für Absolutbetrag] Seien $(a_n)_{n\in\N}, (a'_n)_{n\in\N}$ zwei approximierende Folgen von $a$, d.h. $(a_n - a'_n)_{n \in \N}$ ist eine Nullfolge. Zu zeigen: \[ |a| = \lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| .\] d.h. zu zeigen: \begin{align*} &\lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| \\ \iff &\lim_{n \to \infty} \left( |a_n| - |a'_n|\right) = 0 .\end{align*} Betrachte: \[ | |a_n| - |a'_n| | \le | a_n - a_n'| < \epsilon .\] $\implies \left( |a_n| - |a'_n| \right) $ ist Nullfolge \\ $\implies |a_n| = |a_n'|$ \\ $\implies \lim_{n \to \infty} |a_n| = \lim_{n \to \infty} |a'_n| = |a|$ \end{proof} Die anderen Beweise folgen analog. \end{bem} \begin{satz}[Der vollständige Körper $\R$] \begin{enumerate} \item $(\R, +, \cdot, >)$ ist angeordneter Körper \item $\Q$ ist Unterkörper von $\R$ \item Der Körper $\Q$ ist vollständig, d.h. jede Cauchy-Folge in $\R$ hat einen Grenzwert in $\R$. \item Der Unterkörper $\Q$ ist ,,dicht'' in $\R$, d.h. \[ \forall a \in \R, \forall \epsilon > 0, \exists g_\epsilon \in \Q \text{ s.d. } |a - q_\epsilon| < \epsilon .\] \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate}[1)] \item Körperaxiome (Kommutativität, Assoziativität, Distributivität) sind trivial Neutrales Element der Addition: \[ 0 := 0, 0\ldots \text{ Klasse der Nullfolgen z.B.: } a_n = 0 \forall n \in \N .\] Neutrales Element der Multiplikation \[ 1 := 1,0 \ldots 0 \text{\hspace{10mm}} [(1)_{n \in\N}] .\] Existenz der inversen Elemente bezüglich der Addition \[ a + x = 0, a \in \R .\] \[ x = -a = \lim_{n \to \infty} (- a_n) .\] Existenz der inversen Elemente bezüglich der Multiplikation \[ b \cdot x = 1, b \in \R \setminus \{0\} .\] \[ x = \frac{1}{b} := \lim_{n \to \infty} c_n .\] \[ (c_n)_{n\in\N} = \text{ ? } .\] $b \in \R \setminus \{0\} \implies \lim_{n \to \infty} b_n = b \neq 0$ \\ $ \implies (b_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge $\implies$ fast alle Elemente $b_n \neq 0$ (Übung!) Definiere: \[ c_n := \begin{cases} 0 & b_n = 0 \\ \frac{1}{b_n} & b_n \neq 0 \end{cases} .\] Dann $(b_n \cdot c_n) $ = \[ (b_n \cdot c_n) = \begin{cases} 0 & b_n = 0 \\ 1 & b_n \neq 0 \end{cases} .\] $\implies \lim_{n \to \infty} (b_n \cdot c_n) = 1$ \item $a \in \Q$ entspricht $[(a_n)_{n \in \N}]$ mit $a_n = a$ $\forall n \in \N$ $\implies$ $\Q \subset \R$, $\Q$ Körper \\ $\implies Q$ Unterkörper von $\R$. \item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine C.F. reeller Zahlen. \[ \forall a_n \in \R \text{ } \exists \text{ approx. Folge} (a_{n, m})_{m \in \N} .\] \[ a_{n, m} \in \Q \forall n, m \in \Q .\] \[ a_n := \lim_{n \to \infty} a_{n, m} n \in \N .\] $\forall n \in \N$ wähle $k_n \in \N$ mit: \[ |a_n - a_{n, k_{n}}| < \frac{1}{n} .\] Wir zeigen, dass $(a_{n, k_n})_{n \in \N}$ rationaler Zahlen eine C.F. ist. Sei $\epsilon > 0$. Dann \end{enumerate} \end{proof} \end{document}