\documentclass[uebung]{../../../lecture} \title{Algebra I: Übungsblatt 5} \author{Lukas Nullmeier, Christian Merten} \begin{document} \punkte \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)] \item Beh.: $L$ ist ein Zerfällungskörper von $X^{4} - 2 \in \Q[X]$. \begin{proof} Es ist zunächst \[ X^{4} - 2 = (X^2 - \sqrt{2} )(X^2 + \sqrt{2}) = (X - \sqrt[4]{2})(X + \sqrt[4]{2})(X + i \sqrt[4]{2})(X - i \sqrt[4]{2}) .\] Weiter ist $i \in \Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2})$, denn \[ \Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}) \ni \frac{1}{2} \sqrt[4]{2} (i \sqrt[4]{2} )(\sqrt[4]{2})^2 = i .\] Also $\Q(\sqrt[4]{2}, i\sqrt[4]{2}) = \Q(\sqrt[4]{2}, i) = L$, also $L$ Zerfällungskörper von $X^{4} - 2$. \end{proof} \item Es ist $\Q \subseteq L$ endliche Körpererweiterung und $\text{char}(\Q) = 0$, also folgt mit dem letzten Zettel \[ 8 = [ L \colon \Q] = [ L \colon \Q]_s = \# \text{Hom}_\Q(L, \overline{\Q}) \] mit $\overline{\Q}$ ein algebraischer Abschluss von $\Q$. Da jeder $\Q$-Automorphismus von $L \subseteq \overline{Q}$ insbesondere $\Q$-Homomorphismus $L \to \overline{Q}$, folgt \[ \# \text{Aut}_\Q(L, L) \le 8 .\] Sei $x \in \Q(L, L)$. Dann gilt für $a_0, \ldots, a_7 \in \Q$: \[ x = a_0 + i a_1 + \sqrt[4]{2} a_2 + \sqrt[4]{2}^{3} a_3 + \sqrt{2} a_4 + i \sqrt[4]{2} a_5 + i \sqrt{2} a_6 + i \sqrt[4]{2} a_7 .\] Diese Darstellung ist eindeutig, da die Vorfaktoren der $a_i$ eine $\Q$ Basis von $L$ darstellen. Sei nun $\tau_i \colon L \to L$ für $i \ge 1$ mit $\tau_i$ ändert Vorzeichen des $i$-ten Koeffizienten. Dabei bezeichne $\tau_0 = \text{id}_L$. Da $\sigma \colon \Q \to \Q, r \mapsto -r$ ein Körperhomomorphismus folgt durch Nachrechnen, dass die $\tau_i$ ebenfalls Körperhomomorphismen sind. Dabei ist $\tau_i \mid_\Q = \text{id}$, da für $x \in \Q$ folgt $x = a_0$ und damit $\tau_i(x) = \tau_i(a_0) = a_0 = x$. Die $\tau_i$ sind bereits $8$ $\Q$-Automorphismen von $L$, d.h. mit der Vorüberlegung alle $\Q$-Automorphismen von $L$. \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(i)] \item $L = \Q(\sqrt{2} e^{i \pi /4}, -\sqrt{2}e^{i \pi /4}, \sqrt{2} e^{- i \pi / 4}, - \sqrt{2} e^{- i \pi / 4} $, denn \[ X^{4} + 4 = (X^2 - 2i)(X^2 + 2i) = (X - \sqrt{2} e^{\pi i /4}) (X + \sqrt{2} e^{\pi i /4})(X - \sqrt{2}e^{- \pi i /4}) (X + \sqrt{2} e^{- \pi i/4}) .\] \item $L = \Q\left(\left( \exp\left( \frac{k \pi}{4} \right) \right)_{k=1}^{8}\right)$, denn das sind gerade die $8$-ten Einheitswurzeln, also folgt \[ X^{8} - 1 = \prod_{k=1}^{8} (X - e^{k \pi i /4}) .\] \item $L = \Q\left(\sqrt{\sqrt{3} -1}, - \sqrt{\sqrt{3} -1}, \sqrt{-\sqrt{3} -1}, - \sqrt{-\sqrt{3} - 1} \right)$ , denn \begin{salign*} X^{4} + 2 X^2 -2 &= (X^2 + 1 - \sqrt{3}) (X^2 +1 + \sqrt{3}) \\ &= \left(X - \sqrt{\sqrt{3} -1} \right) \left( X + \sqrt{-1 + \sqrt{3} } \right) \left( X - \sqrt{-1 - \sqrt{3} } \right) \left( X + \sqrt{-1 - \sqrt{3} } \right) .\end{salign*} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe} \begin{enumerate}[(a)] \item Beh.: $L = K(\alpha)$. \begin{proof} Es ist $[L \colon K] = n$. Da $\sigma_i$ $K$-Automorphismus, ist $\sigma \coloneqq \sigma_i |_K = \text{id}$. Sei nun $f$ Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$. Dann ist $f^{\sigma} = f^{\text{id}} = f$. Betrachte $\sigma_i'\colon K(\alpha) \to L$ mit $\sigma_i' = \sigma_i|_{K(\alpha)}$. Dann setzt $\sigma_i'$ $\sigma$ fort, es folgt also mit 3.40 $\sigma_i'(\alpha)$ Nullstelle von $f^{\sigma} = f$. Da die $\sigma_i'(\alpha)$ paarweise verschieden, folgt $\text{deg}(f) \ge n$. Da $\text{deg}(f) = [K(\alpha) \colon K] \le [ L \colon K] = n$ folgt $\text{deg}(f) = n$. Damit folgt mit Gradsatz \[ n = [L \colon K] = [ L \colon K(\alpha)] [ K(\alpha) \colon K] = [L \colon K(\alpha) ] n \implies [ L \colon K(\alpha)] = 1 .\] Also $L = K(\alpha)$. \end{proof} \item Beh.: Jeder $K$ Homomorphismus $\sigma\colon L \to L$ ist Automorphismus. \begin{proof} Sei $\sigma\colon L \to L$ ein $K$-Hom. Sei $\alpha \in L$ und $f \in K[X]$ Minimalpolynom von $\alpha$ über $L$. Seien weiter $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ Nullstellen von $f$ über $L$ mit $\Gamma \coloneqq \{ \gamma_1, \ldots, \gamma_r\} $. Dann gilt, da $\sigma|_K = \text{id}$ und $\sigma$ Ringhom, folgt \[ f(\sigma(\gamma)) = \sigma (f(\gamma)) = \sigma(0) = 0 \qquad \forall \gamma \in \Gamma .\] Damit gilt $\sigma(\Gamma) \subseteq \Gamma$. Da $\sigma$ als Körperhom. injektiv und $\Gamma$ endlich (da $\# \Gamma \le \text{deg}(f) < \infty$) folgt $\sigma(\Gamma) = \Gamma$, also $\exists \gamma \in \Gamma\colon \sigma(\gamma) = \alpha$. Also ist $\sigma$ auch surjektiv und damit bijektiv. \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \begin{aufgabe}[] \begin{enumerate}[(a)] \item Sei $K \subseteq R \subseteq L$ Unterring. Beh.: $R$ Körper. \begin{proof} Sei $\alpha \in R \setminus \{0\} $. Dann ist $\alpha \in L$ algebraisch über $K$, also sei $f \in K[X]$ Minimalpolynom zu $\alpha$ mit \[ f = X^{n} + c_{n-1} X^{n-1} + \ldots + c_0 \] für $c_i \in K$. Es ist $c_0 \neq 0$, da $f$ irreduzibel. In $L$ existiert $\alpha ^{-1}$. Damit folgt \begin{salign*} 0 = \alpha ^{-1}f(\alpha) = \alpha ^{-1} (\alpha^{n} + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \ldots + c_0) = \alpha^{n-1}+ c_{n-1}\alpha^{n-2} + \ldots + c_0 \alpha^{-1} .\end{salign*} Da $c_0 \neq 0$ folgt \begin{salign*} \alpha^{-1} = - c_0^{-1} (\alpha^{n-1}+c_{n-1}\alpha^{n-2} + \ldots + c_1) .\end{salign*} Da $\alpha \in R$, $c_i \in K$ und $R$ Ring mit $K \subseteq R$ folgt $\alpha^{-1} \in R$. \end{proof} \item Es bezeichne $R$ die Menge aus der Aufgabenstellung. Beh.: $EF = R$. \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item Z.z.: $R$ Ring. Da $K \subseteq E, F$ ist $1 = 1_K 1_K \in R$ und $0 = 0_K 0_K \in R$. Weiter seien $x, y \in R$ mit $x = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$ und $y = \sum_{i=1}^{m} c_i d_i$ mit $a_i, c_i \in E$, $b_i, d_i \in F$. Durch Ergänzung der $a_i$ und $b_i$ am Ende durch $c_i$ bzw. $d_i$ folgt direkt \[ x + y = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i + \sum_{i=1}^{m} c_i d_i = \sum_{i=1}^{n+m} a_i b_i \in R .\] Für $x y$ entstehen durch Ausmultiplizieren Summanden der Form $a_i b_i c_j d_j = \underbrace{a_i c_j}_{\in E} \underbrace{b_i d_j}_{\in F}$, also folgt durch Umbenennung $xy \in R$ aus $x + y \in R$. Da $E$ und $F$ Körper übertragen sich Assoziativ und Distributivgesetz direkt auf $R$. Auch additive Inverse existieren, da $E, F$ Körper sind folgt \[ x + \underbrace{\sum_{i=1}^{n} -(a_i b_i)}_{=: -x} = \sum_{i=1}^{n} (a_i b_i - a_i b_i) = 0 .\] Also $-x \in R$. \item Sei nun $H \subseteq L$ Körper, der $E$ und $F$ enthält, dann folgt insbesondere $R \subseteq H$. \item Nach (i) ist $R$ Ring und offensichtlich Teilring von $L$, damit nach (a) Körper und wegen (ii) kleinster Teilkörper von $L$, der $E$ und $F$ enthält. Also $EF = R$. \end{enumerate} \end{proof} \item Beh.: Sind $[ E \colon K]$ und $[F \colon K]$ endlich, so auch $[EF \colon K]$ und es gilt \[ [EF \colon K] \le [ E \colon K ] [ F \colon K] .\] \begin{proof} Seien $[E \colon K]$, $[F \colon K]$ endlich. Dann sind $E$ und $F$ e.d. als $K$ VR, insbesondere existieren $\alpha_i$, $\beta_i$, s.d. $(\alpha_i)_{i=1}^{n}$ Basis von $E$ und $(\beta_i)_{i=1}^{m}$ Basis von $F$. Wegen (b) ist damit $(\alpha_i \beta_j)_{i, j =1}^{n, m}$ endliches Erzeugendensystem von $EF$ der Länge $nm$. Damit folgen beide Behauptungen. \end{proof} \end{enumerate} \end{aufgabe} \end{document}