\documentclass{../../../lecture}

\begin{document}

\begin{aufgabe}
    
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}
        \item 
        \item
        \item Beh.: Für $f : V \to V$ eine lineare Abbildung gilt
            \[
                V \stackrel{\sim }{=} \text{Bild}(f) \oplus \text{ker } f
            .\] 

            \begin{proof}
                Sei $(u_i)_{i\in I}$ Basis von $V \setminus \text{ker } f$.

                Definiere $f: V / \text{ker } f \oplus \text{ker } f \to V$ mit
                \[
                    ([u_i + \text{ker }f], k) \mapsto u_i + k
                .\] Wohldefiniert, da $([u_i + \text{ker }f])_{i \in I}$
                nach Blatt 6 Basis von $V / \text{ker }f$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
