\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\usepackage{gauss}

\begin{document}

\title{Lineare Algebra II: Übungsblatt 3}
\author{Dominik Daniel, Christian Merten}

\punkte[12]

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Seien $m, n \in \Z$. Beh.: Folgende Aussagen sind äquivalent
            \begin{enumerate}[(i)]
                \item $\overline{m}$ ist eine Einheit in $\Z / n \Z$
                \item $\text{ggT}(m,n) = 1$
            \end{enumerate}
            \begin{proof}
                (i)$\implies$(ii): Sei $\overline{m} \in \left( \Z / n \Z \right)^{\times}$. Dann
                existiert ein $l \in \Z$ mit $\overline{m} \cdot \overline{l} = \overline{1}$.
                Also ist $ml - 1 \in n \Z$ und es ex. $k \in \Z$ mit
                $ml - 1 = kn \implies 1 = ml - kn$. Sei nun $d \in \Z$ mit
                $d  \mid m$ und $d  \mid n$. Dann folgt
                $d  \mid (ml - kn) = 1$. Wegen $d \in \Z$, folgt $d = \pm 1$. Damit ist
                $\text{ggT}(m,n) = 1$.

                (ii)$\implies$(i): Sei $\text{ggT}(m,n) = 1$. Dann folgt
                mit dem Erw. Euklid. Alg.: $\exists u, v \in \Z$ mit
                $um + vn = 1 \implies \overline{um} + \underbrace{\overline{vn}}_{= \overline{0}} = 1
                \implies \overline{u} \cdot \overline{m} = 1 \implies \overline{m} \in (\Z / n \Z)^{\times}$.
            \end{proof}
        \item Es ist mit Euklidischem Algorithmus
            \begin{align*}
                51 &= 1 \cdot 42 + 9 \\
                42 &= 4 \cdot 9 + 6 \\
                9 &= 1 \cdot 6 + 3 \\
                6 &= 2\cdot 3
                \intertext{Also ist $\text{ggT}(51, 42) = 3 \implies \overline{42} \not\in (\Z / 51 \Z)^{\times}$.}
                55 &= 1\cdot 42 + 13 \\
                42 &= 3 \cdot 13 + 3\\
                13 &= 4\cdot 3 + 1 \\
                3 &= 3 \cdot 1
            \end{align*}
            Also ist $\text{ggT}(55, 42) = 1 \implies \overline{42} \in ( \Z / 55 \Z)^{\times }$.
            Der EEA liefert:
            \begin{align*}
                1 &= 13 - 4 \cdot 3 \\
                  &= 13 - 4 (42 - 3\cdot 13) \\
                  &= 13 \cdot 13 - 4 \cdot 42 \\
                  &= 13 (55 - 42) - 4\cdot 42 \\
                  &= 13 \cdot 55 + (-17) \cdot 42
            .\end{align*}
            Es ist $-17 + 55 = 38$, also folgt $\overline{42} \cdot \overline{38} = \overline{1}$
            in $\Z / 55 \Z$.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Beh.: $\forall z \in \mathbb{C}$ ex. $a + bi \in \Z[i]$ mit
            $\delta |z - (a+bi)| \le \frac{1}{\sqrt{2} }$.
            \begin{proof}
                Mit $\text{rd}\colon \R \to \Z$
                \[
                    \text{rd}(x) = \begin{cases}
                        \left\lceil x \right\rceil & |x - \left\lceil x \right\rceil |
                        \le |x - \left\lfloor x \right\rfloor | \\
                        \left\lfloor x \right\rfloor & \text{sonst}
                    \end{cases}
                .\] Damit folgt $\forall x \in \R$ $|x - \text{rd}(x)| \le \frac{1}{2}$.

                Sei nun $z \in \mathbb{C}$ mit $c, d \in \R$ und $z = c + di$. Dann wähle $a := \text{rd}(c)$
                und $b := \text{rd}(d)$. Damit folgt
                \[
                    0 \le (\underbrace{c - a}_{\le \frac{1}{2}})^2 + (\underbrace{d - b}_{\le \frac{1}{2}})^2
                    \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
                .\] Da beide Seiten nicht negativ, folgt
                \begin{align*}
                    |z - (a + bi)| &= |c + di - (a + bi)| = |(c-a)^2 + (d-b)^2| \le \frac{1}{\sqrt{2}}
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Beh.: $\delta(xy) = \delta (x) \cdot \delta (y)$ $\forall x, y \in \Z$.
            \begin{proof}
                Durch Einsetzen der Definition und Nachrechnen, analog zum letzten Zettel.
            \end{proof}
            
            Beh.: $\forall z, w \in \Z[i]$ mit $w \neq 0$ ex. $q \in \Z[i]$ mit
            $\delta (z - q\cdot w) \le \frac{1}{2}\delta(w)$.
            \begin{proof}
                Seien $z, w \in \Z[i]$ mit $w \neq 0$. Dann ex. mit (a) ein $q \in \Z[i]$, s.d.
                \begin{align*}
                    \delta \left(\frac{z}{w} - q\right) &\le \frac{1}{2}
                .\end{align*}
                Damit folgt direkt
                \begin{align*}
                    \delta (w) \delta \left( \frac{z}{w} - q \right)
                    = \delta \left( w \left(\frac{z}{w} - q\right) \right)
                    = \delta ( z - q w)
                    &\le \frac{1}{2} \delta (w)
                .\end{align*}
            \end{proof}
        \item Beh.: $\Z[i]$ ist Euklidischer Ring.
            \begin{proof}
                Zunächst ist $\Z[i]$ nullteilerfrei. Weiter seien $f, g \in \Z[i]$ mit $g \neq 0$.
                Dann ex. mit (b) ein $q \in \Z[i]$ mit
                \[
                    \delta(f - q\cdot g) \le \frac{1}{2}\delta (g)
                .\] Mit $r := f - q\cdot g$
                folgt damit $\delta (r) \le \frac{1}{2} \delta(g)$,
                also wegen $g \neq 0$ und $\delta(r), \delta (g) \in \N_0$, $\delta (r) < \delta (g)$.

                Damit folgt
                \[
                    f = qg + r \qquad (\delta (r) < \delta (g) \text{ oder } r = 0)
                .\] 
            \end{proof}
        \item Beh.: $1 \in \text{GGT}(9, 3+4i)$.
            \begin{proof}
                Mit dem Euklid. Alg. folgt:
                \begin{align*}
                    9 &= (1 - i) (3+4i) + (2 - i) \\
                    3+4i &= 2 i \cdot (2 - i) + 1 \\
                    2 - i &= (2 - i) \cdot 1
                .\end{align*}
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    Beh.: Sei $R \neq 0$ ein Ring, dann sind äquivalent:
    \begin{enumerate}[(i)]
        \item $R$ ist ein Körper
        \item $R[t]$ ist ein Euklidischer Ring
        \item $R[t]$ ist ein Hauptidealring
    \end{enumerate}
    \begin{proof}
        (i) $\implies$ (ii): Polynomringe über Körper sind nach VL euklidisch.

        (ii) $\implies$ (iii): Jeder Euklidische Ring ist nach VL Hauptidealring.

        (iii) $\implies$ (i): Sei $R$ kein Körper. Falls
        $R$ nicht nullteilerfrei, folgt die Behauptung. Sei im Folgenden
        also $R$ nullteilerfrei. Wegen $R \neq 0$ existiert ein
        $x \in R \setminus \{0\} $ mit $xy \neq 1$ $\forall y \in R$.
        
        Beh.: $(x,t)$ ist kein Hauptideal. Ang.: $\exists f \in R[t]$ mit $(f) = (x, t)$. Dann
        ex. $h \in R[t]$ mit $x = fh$. Da $R$ nullteilerfrei, folgt
        \[
            0 = \text{deg}(x) = \text{deg}(f) + \text{deg}(h) \implies \text{deg}(f) = \text{deg}(h) = 0
        .\] Es ex. also ein $a \in R$ mit $f = a$. Außerdem ex. $g \in R[t]$
        mit $t = fg = a g$. Also ist $\text{deg}(g) = 1$ und wegen $e(t) = 1$ folgt
        \[
            1 = e(t) = e(a) \cdot e(g) = a \cdot \underbrace{e(h)}_{\in R}
        .\] Also ist $a \in \R^{\times}$ und damit $1 \in (a) = (x, t)$, denn $1 = aa^{-1}$.
        Wegen $(a) = (x, t)$, existieren $u, v \in R[t]$ mit
        \[
            1 = xu + tv \stackrel{t = 0}{\implies} 1 = x \cdot \underbrace{u(0)}_{\in R}
        .\] Damit ist $x \in R^{\times }$ $\contr$.
    \end{proof}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Rechnerei ergibt
            \begin{align*}
                &\begin{gmatrix}[p] 0 & 20 & 0 \\ 10 & 12 & 6 \\ 20 & 12 & 10
                    \rowops
                    \swap{0}{1}
                    \colops
                    \swap{0}{2}
                \end{gmatrix}
                \rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 6 & 12 & 10 \\ 0 & 20 & 0 \\ 10 & 12 & 20
                    \colops
                    \add[-2]{0}{1}
                    \rowops
                    \add[-1]{0}{2}
                    \swap{0}{2}
                \end{gmatrix}
                \rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 4 & -8 & 10 \\ 0 & 20 & 0 \\ 6 & 0 & 10
                    \rowops
                    \add[-1]{0}{2}
                    \swap{0}{2}
                    \add[-2]{0}{2}
                    \swap{0}{2}
                \end{gmatrix} \\
                &\rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 2 & 8 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & -24 & 10
                    \colops
                    \add[-4]{0}{1}
                    \rowops
                    \add{1}{2}
                    \swap{1}{2}
                    \add[-5]{1}{2}
                \end{gmatrix}
                \rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 10 \\ 0 & 0 & -50
                    \colops
                    \add[-2]{1}{2}
                    \swap{1}{2}
                \end{gmatrix}
                \rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & -50 & 0
                    \rowops
                    \add[25]{1}{2}
                    \colops
                    \add[-2]{1}{2}
                \end{gmatrix}
                \rightsquigarrow
                    \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 100
                \end{gmatrix}
            .\end{align*}
            Damit folgen mit dem Elementarteilersatz die Elementarteiler $2, 2$ und $100$.
            Also folgen die Fittingideale mit
            $\text{Fit}_1(A) = (2)$, $\text{Fit}_2(A) = (2\cdot 2) = (4)$ und
            $\text{Fit}_3(A) = (2 \cdot 2 \cdot 100) = (400)$.
        \item Noch mehr Rechnerei ergibt
            \begin{align*}
                &\begin{gmatrix}[p] 1 -t & -1 & 2 \\
                    -1 & -t & 3 \\
                    0 & -1 & 3-t
                    \rowops
                    \swap{0}{1}
                    \mult{0}{\cdot (-1)}
                \end{gmatrix}
                \rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 1 & t & -3 \\
                    1 - t & -1 & 2 \\
                    0 & -1 & 3-t
                    \colops
                    \add[-t]{0}{1}
                    \add[-3]{0}{2}
                    \rowops
                    \add[-(t-1)]{0}{1}
                \end{gmatrix}\\
                &\rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
                    0 & -1-t+t^2 & 5-3t \\
                    0 & -1 & 3-t
                    \colops
                    \rowops
                    \swap{1}{2}
                    \mult{1}{\cdot (-1)}
                \end{gmatrix}
                \rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
                    0 & 1 & -3 + t \\
                    0 & -1 -t + t^2 & 5-3t
                    \colops
                    \add[-(-3 + t)]{1}{2}
                    \rowops
                    \add[t+t-t^2]{1}{2}
                \end{gmatrix} \\
                &\rightsquigarrow
                \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
                    0 & 1 & 0 \\
                    0 & 0 & 8 + t - 4t^2 + t^3
                \end{gmatrix}
            .\end{align*}
            Damit folgen die Elementarteiler $1$, $1$ und $8 + t - 4t^2 + t^3$. Für die Fittingideale gilt
            $\text{Fit}_1(B) = (1)$, $\text{Fit}_2(B) = (1)$ und $\text{Fit}_3(B) = (8 + t - 4t^2 + t^{3})$.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
