\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\usepackage{gauss}

\begin{document}

\author{Leon Burgard, Christian Merten}
\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 3}

\punkte

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Einheitssphäre
            \begin{figure}[h!]
                \centering
                \begin{tikzpicture}[scale=2]
                    \draw (-1.5,0) edge[-latex] (1.5,0) (0,-1.5) edge[-latex] (0,1.5);
                    \draw (1, 0.1) -- (1, -0.1);
                    \node at (1, -0.2) {$1$};
                    \draw (0.1, 1) -- (-0.1, 1);
                    \node at (-0.2, 1) {$1$};
                    \draw[red] (0,0) circle (1);
                    \draw[blue, rotate around={45:(0,0)}] (-1/1.41,-1/1.41) rectangle (1/1.41, 1/1.41);
                    \draw[green, fill] (1,0) circle (0.02);
                    \draw[green, fill] (0,1) circle (0.02);
                    \draw[green, fill] (-1,0) circle (0.02);
                    \draw[green, fill] (0,-1) circle (0.02);
                    \node at (1.5, -0.2) {$x_1$};
                    \node at (-0.2, 1.5) {$x_2$};
                \end{tikzpicture}
                \caption{Blau: $\Vert \cdot \Vert_1$, Rot: $\Vert \cdot \Vert_2$, Grün:
                $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$}
            \end{figure}
        \item Sei $x \in \R^{n}$ beliebig. Dann ist
            \begin{align*}
                \Vert x \Vert_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k \cdot 1|
                \quad &\stackrel{\text{C.S.U.}}{\le } \quad
                \Vert x \Vert_2 \cdot \Vert 1 \Vert_2 = \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 \\
                \Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2}
                &\le \sqrt{\sum_{k=1}^{n} \Vert x_{\infty}\Vert^2}
                = \sqrt{n \Vert x\Vert_\infty^2} = \sqrt{n} \Vert x \Vert_{\infty}
            .\end{align*}
            Außerdem ist
            \begin{align*}
            &\Vert x \Vert_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k|
            = \Vert x \Vert_2  \left( \sum_{k=1}^{n} \underbrace{\frac{|x_k|}{\Vert x \Vert_2}}_{\le 1} \right)
            \ge \Vert x \Vert_2 \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{|x_k|^{2}}{\Vert x \Vert_2^2} \right)
            = \Vert x \Vert_2 \frac{\Vert x \Vert_2^2}{\Vert_x \Vert_2^2} = \Vert x \Vert_2 \\
            &\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2} \ge \sqrt{\Vert x \Vert_{\infty}^2}
            = \Vert x \Vert_{\infty}
            .\end{align*}
            Damit folgt
            \begin{align*}
            &\Vert x \Vert_2 \le \Vert x \Vert_1 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 \\
            &\Vert x \Vert_\infty \le \Vert x \Vert_2 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_\infty
            .\end{align*}
            Die anderen Kombinationen folgen durch Multiplikation mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$.
            Für $n \to \infty$ ist $\sqrt{n} \to \infty$.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \[
        f(x) = \frac{1 - \cos x}{x}
    .\]
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Es ist
            \[
            \frac{\d f}{\d x} = \frac{x \sin x - 1 + \cos x}{x^2}
            .\] Damit folgt
            \[
            k = \frac{x \sin x - 1 + \cos x}{1 - \cos x}
            .\] Für $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ ist
            \[
                k = \frac{x - 1}{1} = x - 1 \xrightarrow{k \to \infty} \infty
            ,\] also $f$ schlecht konditioniert.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Die Matrix ist eine $N-1\times N-1$ Matrix, da eine Gleichung für jeden Knoten
            bis auf den Referenzknoten existiert.
        \item Jeder Knoten hat entweder 2 (Ecken), 3 (Außenkanten) oder 4 (im Inneren) ein oder
            ausgehende Kanten. Die mit der Pumpe verbundenen Knoten, haben jeweils eine Kante mehr.
            Die zugehörigen Zeilen haben damit immer $1$ $+$ Anzahl der verbundenen Kanten Einträge ungleich
            $0$.
        \item Die Matrix ist quadratisch und hat vollen Rang und hat damit eine eindeutige Lösung, wenn
            $q_p \neq 0$.
        \item
            \begin{align*}
                \begin{pmatrix} 
                    3 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
                    -1 & 2 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
                    0 & 0 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
                    -1 & 0 & -1 & 4 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
                    0 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & -1 \\
                    0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 0 \\
                    0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 3 & -1 \\
                    0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 2
                \end{pmatrix} 
                \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ p_4 \\ p_5 \\ p_6 \\ p_7 \\ p_8 \end{pmatrix}
                =
                \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ q_p \end{pmatrix} 
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[a)]
        \item Sei $x \in \R^{n} \setminus \{0\}$. Dann ist
            \begin{align*}
                (A_s x, x)_2 &= \left( \frac{1}{2}Ax + \frac{1}{2}A^{T}x, x \right)_2
                = \frac{1}{2} (Ax, x) + \frac{1}{2} (A^{T}x, x)
                = \frac{1}{2} x^{T}A^{T}x + \frac{1}{2} x^{T}Ax \\
                &= \frac{1}{2} x^{T} A^{T} x + \frac{1}{2} \left( x^{T} (Ax) \right)^{T}
                = \frac{1}{2} x^{T}A^{T}x + \frac{1}{2} x^{T}A^{T}x
                = x^{T}A^{T}x
                = (Ax, x)_2
            .\end{align*}
            Damit folgt die Behauptung.
        \item Sei $X \subseteq \{1, 2, \ldots, n\} $ beliebig und $A_X$ nicht positiv definit. Dann
            ex. ein $\widetilde{x} \in \R^{|x|} \setminus \{0\} $ mit $A_X x \le 0$. Dann
            ergänze $\widetilde{x}$ zu $x \in \R^{n}$ mit
            \[
            x_i := \begin{cases}
                x_i & i \in X \\
                0 & \text{sonst}
            \end{cases}
            .\] Dann ist $x^{T}Ax = \widetilde{x}^{T}A_X\widetilde{x} \le 0$, also ist $A$ nicht positiv
            definit.
        \item Mit (a) folgt: $A$ g.d. positiv definit, wenn
            \[
                A_S = \begin{pmatrix} 2 & - \frac{\alpha}{2} \\ - \frac{\alpha}{2} & 2 \end{pmatrix} 
            .\] positiv definit ist. Dies ist mit dem Hauptminorenkriterium für symmetrische
            Matrizen g.d der Fall, wenn
            \begin{align*}
                &\begin{gmatrix}[v]
                    2 & - \frac{\alpha}{2} \\ - \frac{\alpha}{2} & 2
                \end{gmatrix} 
                = 4 - \frac{\alpha^2}{4} > 0
                \\
                \iff &16 - \alpha^2 > 0 \\
                \iff &|\alpha| < 4
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
