\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\title{Lineare Algebra 2: Übungsblatt 4}
\author{Dominik Daniel, Christian Merten}

\usepackage[]{gauss}

\begin{document}

\punkte[16]

\begin{aufgabe}
    Seien $L$ und $K$ Teilkörper mit $K \subseteq L$.
    \begin{enumerate}[a)]
        \item \begin{enumerate}[(i)]
                \item Beh.: Für $f, g \in K[t]$ gilt $\text{ggT}_{L[t]}(f,g) = \text{ggT}_{K[t]}(f,g)$.
                    \begin{proof}
                        Seien $f, g \in K[t]$. Der euklid. Algorithmus in $K[t]$ liefert
                        $a_2, \ldots, a_k \in K[t]$ mit $a_k \in \text{GGT}_{K[t]}(f, g)$. Da
                        $K$ Teilkörper von $L$ ist, ist $K[t]$ Unterring von $L[t]$. Das heißt,
                        der euklid. Algorithmus kann in $L[t]$ mit den selben $a_2, \ldots a_k$
                        ausgeführt werden. Damit folgt $a_k \in \text{GGT}_{L[t]}(f,g)$.

                        Definiere $d \in K[t]$, als das normierte Polynom von $a_k$. Wegen
                        der Eindeutigkeit des größten gemeinsamen Teilers in $L[t]$ und $K[t]$ folgt damit
                        \[
                            \text{ggT}_{L[t]}(f, g) = d = \text{ggT}_{K[t]}(f,g)
                        .\] 
                   \end{proof}
               \item Beh.: Für $A, B \in M_{n, n}(K)$ so gilt
                   \[
                       A \approx B \text{ in } M_{n,n}(K)
                       \iff
                       A \approx B \text{ in } M_{n, n}(L)
                   .\] 
                   \begin{proof}
                       Seien $A, B$ in $M_{n, n}(K)$. ,,$\implies$'' ist trivial.

                       ,,$\impliedby$'': Sei $A \approx B$ in $M_{n,n}(L)$. Da
                       $P_{A} \in M_{n,n}(K[t])$ folgt
                       \begin{salign*}
                           d_{l_{L[t]}}(A) &=
                           \text{ggT}_{L[t]}\{ \underbrace{\text{det}(C)}_{\in K[t]}  \mid C \text{ ist } l \times l \text{ Untermatrix von } P_A\}  \\
                           &\stackrel{(i)}{=} \text{ggT}_{K[t]}\{ \text{det}(C) \mid C \text{ ist } l \times l \text{ Untermatrix von } P_A\}  \\
                           &= d_{l_{K[t]}}(A)
                       .\end{salign*}
                       Analog für $B$. Wegen $A \approx B$ in $M_{n,n}(L)$ gilt $\forall l=1,\ldots, n$:
                       \[
                           d_{l_{K[t]}}(A) = d_{l_{L[t]}}(A) = d_{l_{L[t]}}(B) = d_{l_{K[t]}}(B)
                       .\] Damit folgt $A \approx B$ in $M_{n,n}(K)$.
                   \end{proof}
            \end{enumerate}
        \item Beh.: Für $A \in M_{n,n}(K)$ ist $A \approx A^{T}$.
            \begin{proof}
                Es ist $Fit_{l}(P_A) = Fit_{l}((P_A)^{T})$ $\forall l = 1, \ldots, n$. Also
                $P_{A} \sim (P_A)^{T}$. Wegen $(P_A)^{T} = (tE_n - A)^{T} = tE_n - A^{T} = P_{A^{T}}$ folgt
                $P_{A} \sim P_{A^{T}}$. Damit folgt mit dem Satz von Frobenius: $A \approx A^{T}$.
            \end{proof}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Kurze Rechung ergibt
            \begin{align*}
                P_A &= \begin{gmatrix}[p] t-10 & 11 & 11 & 32 \\
                    1 & t & 2 & - 4 \\
                    -1 & 1 & t-1 & 4 \\
                    -2 & 2 & 2 & t+6
                    \rowops
                    \swap{0}{1}
                \end{gmatrix}
                \sim 
                \begin{gmatrix}[p]
                    1 & t & 2 & - 4 \\
                    t-10 & 11 & 11 & 32 \\
                    -1 & 1 & t-1 & 4 \\
                    -2 & 2 & 2 & t+6
                    \rowops
                    \add[-(t-10)]{0}{1}
                    \add{0}{2}
                    \add[2]{0}{3}
                    \colops
                    \add[-t]{0}{1}
                    \add[-2]{0}{2}
                    \add[4]{0}{3}
                \end{gmatrix} \\
                       &\sim
                \begin{gmatrix}[p] 
                    1 & 0 & 0 & 0 \\
                    0 & 11-t^2 + 10t & -8 + 4t \\
                    0 & t+1 & t+1 & 0 \\
                    0 & 2+2t & 6 & t-2
                    \rowops
                    \swap{1}{3}
                    \colops
                    \swap{1}{2}
                \end{gmatrix}
                \sim
                \begin{gmatrix}[p] 
                    1 & 0 & 0 & 0 \\
                    0 & 6 & 2+2t & t-2 \\
                    0 & t+1 & t+1 & 0 \\
                    0 & 31-2t & 11-t^2 + 10t & -8+4t
                    \rowops
                    \mult{1}{\cdot \frac{1}{6}}
                \end{gmatrix}  \\
                      &\sim 
                \begin{gmatrix}[p] 
                    1 & 0 & 0 & 0 \\
                    0 & 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3}t & \frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \\
                    0 & t+1 & t+1 & 0 \\
                    0 & 31-2t & 11-t^2+10t & -8+4t
                    \rowops
                    \add[-(t+1)]{1}{2}
                    \add[-(31-2t)]{1}{3}
                    \colops
                    \add[-\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}t \right)]{1}{2}
                    \add[-\left(\frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \right)]{1}{3}
                \end{gmatrix}
                \sim
                \begin{gmatrix}[p]
                    E_2 & 0 & 0 \\
                    0 & -\frac{1}{3} t^2+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}t & -\frac{1}{6}t^2 + \frac{1}{6}t + \frac{1}{3} \\
                    0 & \frac{2}{3} + \frac{1}{3}t - \frac{1}{3}t^2 & \frac{1}{3}t^2 - \frac{11}{6}t + \frac{7}{3}
                    \rowops
                    \add[-1]{1}{2}
                    \colops
                    \add[-\frac{1}{2}]{1}{2}
                \end{gmatrix} \\
                &\sim 
                \begin{gmatrix}[p] 
                    E_2 & 0 & 0 \\
                    0 & -\frac{1}{3}t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{2}{3} & 0 \\
                    0 & 0 & \frac{1}{2}t^2 - 2t + 2
                    \rowops
                    \mult{1}{\cdot (-3)}
                    \mult{2}{\cdot 2}
                \end{gmatrix}
                \sim
                \begin{gmatrix}[p] 
                    E_2 & 0 & 0 \\
                    0 & (t+1)(t-2) & 0 \\
                    0 & 0 & (t-2)^2
                    \rowops
                    \add{1}{2}
                    \colops
                    \add[-1]{1}{2}
                \end{gmatrix} \\
                      &\sim
                \begin{gmatrix}[p]
                    E_2 & 0 & 0 \\
                    0 & (t+1)(t-2) & -(t+1)(t-2) \\
                    0 & (t+1)(t-2) & -3t + 6
                    \rowops
                    \swap{1}{2}
                    \colops
                    \swap{1}{2}
                \end{gmatrix}
                \sim 
                \begin{gmatrix}[p]
                    E_2 & 0 & 0  \\
                    0 & -3t + 6 & (t-2)(t+1) \\
                    0 & -(t-2)(t+1) & (t-2)(t+1)
                    \rowops
                    \mult{1}{\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)}
                    \colops
                    \mult{2}{\cdot 3}
                \end{gmatrix} \\
                &\sim
                \begin{gmatrix}[p]
                    E_2 & 0 & 0 \\
                    0 & t - 2 & -(t-2)(t+1) \\
                    0 & -(t-2)(t+1) & 3(t-2)(t+1)
                    \rowops
                    \add[t+1]{1}{2}
                    \colops
                    \add[t+1]{1}{2}
                \end{gmatrix}
                \sim
                \begin{gmatrix}[p]
                    E_2 & 0 & 0 \\
                    0 & t-2 & 0 \\
                    0 & 0 & (t-2)^2(t+1)
                \end{gmatrix} 
            .\end{align*}
            Damit folgen als Invariantenteiler: $c_1 = c_2 = 1$, $c_3 = t- 2$ und $c_4 = (t-2)^2(t+1)$.
            Die Determinantenteiler sind damit $d_1 = 1$, $d_2 = 1$, $d_3 = t-2$ und $d_4 = (t-2)^{3}(t+1)$.
        \item Hier ist sofort ersichtlich:
            \begin{align*}
            \text{det}(P_B)
            = \begin{gmatrix}[v]
                t+5 & 3 & -5 \\
                0 & t-1 & 1 \\
                8 & 4 & t-7
            \end{gmatrix}
            = (t-1)^{3}
            \neq
            (t-2)(t-1)(t+1)
            =
            \begin{gmatrix}[v]
                t+3 & -8 & -12 \\
                -1 & t+2 & 3 \\
                2 & -4 & t-7
            \end{gmatrix} 
            = \text{det}(P_C) 
            .\end{align*}
            Damit ist $d_3_{B} \neq d_3_{C}$, also sind nach Invariantenteilersatz
            $B$ und $C$ nicht ähnlich.
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
