\documentclass[uebung]{../../../lecture}

\begin{document}

\title{Theo II: Übungsblatt 2}
\author{Christian Merten}

\begin{aufgabe}
    Zwangsbedingung ist $f(a,b,c) = abc - V \stackrel{!}{=} 0$

    Notwendige Bedingung für Minimum:
    \begin{align*}
        \vec{\nabla} (E + \lambda f) \cdot \delta \vec{x} = 0
    .\end{align*}
    Mit
    \begin{align*}
        E(a,b,c) &= \frac{h^2}{8m}\left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) 
        \intertext{folgt}
        \vec{\nabla} E &= -\frac{h^2}{4m} \begin{pmatrix} \frac{1}{a^{3}} \\ \frac{1}{b^{3}} \\ \frac{1}{c^{3}} \end{pmatrix} \\
        \vec{\nabla} f &= \begin{pmatrix} bc \\ ac \\ ab \end{pmatrix}
    .\end{align*}
    Damit folgt mit $V = abc$
    \begin{align*}
        -\frac{h^2}{4m} \begin{pmatrix} \frac{1}{a^{3}} \\ \frac{1}{b^{3}} \\ \frac{1}{c^{3}} \end{pmatrix}
        + \lambda \begin{pmatrix} bc \\ ac \\ ab \end{pmatrix} = 0
        \implies -\frac{h^2}{4ma^{3}} + \lambda \frac{V}{a} = 0 \implies \lambda = \frac{h^2}{4Vma^{2}}
        \implies \begin{cases}
            b^2 = a^2 \\
            c^2 = a^2
        \end{cases}
    .\end{align*}
    Mit $a, b, c > 0$ und $V = abc$ folgt $a = b = c = \sqrt[3]{V}$.

    Überprüfung ob ein Minimum vorliegt:
    \begin{align*}
        H E(a,b,c) = \frac{h^2}{4m} \begin{pmatrix} \frac{3}{a^{4}} & 0 & 0 \\
        0 & \frac{3}{b^{4}} & 0 \\
        0 & 0 & \frac{3}{c^{4}}
    \end{pmatrix} 
    .\end{align*}
    $H E(a,b,c)$ nach Hauptminorenkriterium positiv definit, damit liegt bei $a = b = c = \sqrt[3]{V}$
    ein Minimum vor.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Für die Zwangsbedingung gilt
            \[
                \tan \alpha = \frac{z}{x - \xi(t)} \implies x \sin \alpha - \xi(t) \sin \alpha - z \cos \alpha = 0. \qquad (*)
            \] 
        \item Damit folgen die Langrange-Gleichungen 1. Art:
            \[
                \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -mg \end{pmatrix} - m\ddot{\vec{x}} + \lambda \begin{pmatrix} \sin \alpha \\ 0 \\ -\cos\alpha \end{pmatrix} = 0 \implies
                \begin{cases}
                    -m\ddot{x} + \lambda \sin \alpha = 0 \implies \lambda = \frac{m}{\sin\alpha} \ddot{x} \\
                    m\ddot{y} = 0 \qquad \stackrel{\vec{x}(0) = \dot{\vec{x}}(0) = 0} \implies \qquad y = 0\\
                    mg + m\ddot{z} + \lamdba \cos\alpha = 0
                \end{cases}
            .\] Mit $(*)$ folgt
            \[
                x = \xi + z \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \implies \ddot{x}
                = \ddot{\xi} + \ddot{z} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
            .\] Damit folgt für $z$:
            \begin{align*}
                &g + \ddot{z} +
                \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\left( \ddot{\xi} + \ddot{z} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)
                = 0 \\
                \implies
                &\ddot{z} = - g \sin^2\alpha - \sin\alpha \cos\alpha \ddot{\xi}
                \intertext{Mit $\vec{x}(0) = 0$, $\dot{\vec{x}}(0) = 0$, $\xi(0) = 0$ und $\dot{\xi}(0) = 0$
                folgt}
                &z = -\frac{1}{2}g\sin^2\alpha \cdot t^2 - \frac{1}{2}\sin(2\alpha)\xi
                \intertext{Eingesetzt in $(*)$ folgt für $x$}
                &x = \sin^2\alpha \cdot \xi - \frac{1}{4} g \sin(2 \alpha) t^2
                \intertext{Damit folgt insgesamt}
                &\vec{x} = \begin{pmatrix} \sin^2\alpha \cdot \xi - \frac{1}{4} g \sin(2 \alpha) t^2 \\
                0 \\
                -\frac{1}{2}g\sin^2\alpha \cdot t^2 - \frac{1}{2}\sin(2\alpha)\xi
            \end{pmatrix} 
            .\end{align*}
        \item Die Zwangskraft ist gegeben durch
            \begin{align*}
                \vec{Z} &= \lambda \vec{\nabla} f = \lambda \begin{pmatrix} \sin\alpha \\ 0 \\ -\cos\alpha \end{pmatrix} 
                \intertext{Mit $\lambda = \frac{m}{\sin\alpha}\ddot{x}$ folgt direkt}
                \vec{Z} &= \begin{pmatrix} m \ddot{\xi} \sin^2\alpha - \frac{1}{2} mg \sin(2\alpha) \\
                0 \\
                - \frac{m}{2} \ddot{\xi} \sin(2\alpha) + mg \cos^2\alpha
            \end{pmatrix}
            .\end{align*}
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
    \begin{enumerate}[(a)]
        \item Es liege ein Potential mit $\vec{F} = - \vec{\nabla} V(\vec{x})$ vor. Damit gilt
            Energieerhaltung und es folgt
            \begin{align*}
                &\frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2 + V(\vec{x}) = E \\
                \implies & \left|\frac{\text{d}\vec{x}}{\d t}\right| = \sqrt{\frac{2}{m}(E - V(\vec{x}))}
                \intertext{Durch Trennung der Variablen folgt}
                &\d t = \frac{|\text{d}\vec{x}|}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - V(\vec{x}))}}
                \implies \Delta t = \int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}_E}
                \frac{|\text{d}\vec{x}|}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - V(\vec{x}))}}
                \intertext{Mit $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ -f(x) \end{pmatrix} $ folgt}
                & \frac{\text{d}\vec{x}}{\d x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -f'(x) \end{pmatrix}
                \implies \left| \frac{\text{d}\vec{x}}{\d x}\right| = \sqrt{1 + f'(x)^2} 
                \intertext{Zusammen folgt}
                &\Delta t = \int_{x_0}^{x_E} \frac{\sqrt{1 + f'(x)^2}}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - V(\vec{x}))}} \d x
            .\end{align*}
        \item Mit $V(z) = mgz$, $E = \frac{m}{2} v_0^2$, $x_0 = 0$, $x_E = 1$ und $f(x) = x$ folgt
            \[
                \Delta t = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{\frac{2}{m} (\frac{m}{2}v_0^2 + mgx)} } \d x
            = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{v_0^2 + 2 g x} } \d x = 2 \cdot \frac{1}{2g} \cdot \sqrt{2} \sqrt{v_0^2 + 2gx} \Big|_{0}^{1}  \d x 
            .\] 
    \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\end{document}
